Zastosowanie matematyki w technice – pytania z drugiego terminu

1. Czym kierując się dobiera się współczynniki aproksymacji sygnału uogólnionym szeregiem Fouriera?

$f\left( t \right) = \sum_{i = 1}^{\infty}{c_{i}x_{i}(t)}$ – uogólniony szereg Fouriera

Współczynniki c_i dobieramy tak, aby wartość błędu była jak najmniejsza, co zachodzi wtedy, gdy

$\frac{{\partial E}_{e}}{\partial c_{i}} = 0$ z tego otrzymujemy wzór na współczynnik c_i:

$c_{i} = \frac{\int_{t_{1}}^{t_{2}}{f\left( t \right)x_{i}\left( t \right)\text{dt}}}{\int_{t_{1}}^{t_{2}}{x_{i}^{2}\left( t \right)\text{dt}}}$

2. Jakie twierdzenie znane Ci z geometrii przypomina twierdzenie Parcevala? Przytocz oba.

Twierdzenie Parsevala:

$E_{f} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}f^{2}\left( t \right)dt = \sum_{i = 1}^{\infty}c_{i}^{2}x_{i}^{2}(t)$

Twierdzenie pokazuje jak można przedstawić funkcję za pomocą szeregu sygnałów ortogonalnych, gdzie warunek ortogonalności:

$\int_{t_{1}}^{t_{2}}x_{n}\left( t \right)x_{m}\left( t \right)dt = \left\{ \begin{matrix} 0\ gdy\ n \neq m \\ E_{e}\ gdy\ n = m \\ \end{matrix} \right.\ $

jest podobny do warunku prostopadłości wektorów:

f • x = 0 – iloczyn skalarny wektorów f i x

3. Jaka jest rola macierzy tranzycyjnej ? Rozwiązując wektorowe równanie różniczkowe jaką drogą można określić jej postać?

Macierz tranzycyjna $e^{At} = I + At + A^{2}\frac{t^{2}}{2!} + \ldots$ jest elementem całki ogólnej i całki szczególnej wektorowego równania różniczkowego, a wyliczyć ją można wykorzystując powyższy wzór lub metodą Laplace’a.

4. Jak dobiera się funkcję Lapunowa w liniowych, stacjonarnych układach dynamicznych?

Dobieramy ją tak, aby odzwierciedlała zachowanie układu dynamicznego. Funkcja musi spełniać określone warunki (V(x,t) dodatnio określona itd.).

Możemy ją obliczyć z wzoru:

V(x) = x^TPx

gdzie P jest macierzą i korzystając z twierdzenia Sylvestra, że gdy wszystkie podwyznaczniki i główny wyznacznik macierzy P jest większy od 0, to V(x) jest dodatnio określona.

5. Podaj przykład zastosowania operatorów genetycznych w kolejnych iteracjach algorytmu genetycznego.

Te operatory genetyczne to krzyżowanie i mutacja. Najpierw krzyżujemy geny rodziców np. dla pozycji krzyżowania l_k=2

rodzice: [11100] [10011]

potomstwo: [11011] [10100]

Następnie występuje ewentualna mutacja, czyli losowa zmiana jednego z genów z 1 na 0 lub 0 na 1. Iteracje są wykonywane tak długo aż osiągniemy fenotyp, dla którego wartość funkcji oceniającej fenotyp osiągnie maksimum.

6. Co to znaczy nauczyć sztuczną sieć neuronową? Jak się to wykonuje?

Nauczyć sztuczną sieć neuronową oznacza to, że perceptron będzie prawidłowo dopasowywał do zbiorów zarówno sygnały uczące jak i te, które nie należały do zbioru sygnałów uczących.

Uczenie polega na tym, że wprowadzamy do perceptronu sygnał wejściowy (o znanej wartości). Jeżeli perceptron przypisze wartość sygnału niezgodną z prawdą (np. gdy sygnał ma wartość y=1 a perceptron przypisze go do zbioru L₂ (y= –1), to wprowadzamy korektę korzystając z algorytmu uczenia:

w(n+1) = w(n) + η[d(n)−y(n)]u(n)

gdzie w – współczynnik wagowy sygnału

η – korekta

d(n) – funkcja korygująca

u(n) – sygnał wejściowy