1. Szeregi Taylora i Maclaurina

Definicja (Szeregu Taylora)

Niech funkcja f ma w punkcie x₀ pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy

nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x₀. Jeżeli x₀=0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.

Uwaga

Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.

Twierdzenie (O rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).

Jeżeli:

1. funkcja f ma w otoczeniu U(x₀) pochodne dowolnego rzędu,

2. dla każdego x∈U(x₀)
   , gdzie

oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f.

Wówczas:

dla każdego x∈U(x₀).

Uwaga

Zamiast założenia (20 można przyjąć:

(2') wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, tzn.

Twierdzenie (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)

Jeżeli
dla każdego x z pewnego otoczenia U(x₀), to
dla n=0,1,2,…

2. Ciągi i szeregi ortogonalne

Niech V={f:[a,b]→R; f-całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]}. V jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę. W przestrzeni V określamy iloczyn skalarny następująco:

;

oraz określamy normę kwadratową funkcji f:

.

Definicja

Ciąg funkcyjny {f_n}_n∈N nazywamy ortogonalnym na [a,b], jeżeli (f_n,f_m)=0 dla n≠m i
dla wszystkich n.

Definicja

Jeżeli {c_n}_n∈N jest ciągiem liczbowym, zaś {f_n}_n∈N jest ciągiem funkcyjnym ortogonalnym w przedziale [a,b], to szereg funkcyjny
nazywamy szeregiem ortogonalnym.

Twierdzenie (O szeregu ortogonalnym)

Jeżeli szereg ortogonalny
jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a,b] i funkcja ta jest całkowalna na [a,b], to współczynniki c_n wyrażają się wzorami:

Uwaga

Dla każdego ciągu ortogonalnego w przedziale [a,b] i funkcji f całkowalnej w tym przedziale istnieje więc co najwyżej jeden taki szeteg ortogonalny, który jest jednocześnie zbieżny w tym przedziale do funkcji f. Jeżeli taki szereg istnieje, to jest nim szereg
, gdzie
.

Liczby c_n określone powyższymi wzorami nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f względem ciągu {f_n}_n∈N.

---