Ruch po okręgu

Zasada bezwładności

Zgodnie z pierwaszą zasadą dynamiki sformułowaną przez Newtona:

"Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, jeśli siły przyłożone nie zmuszajż ciała do zmiany tego stanu."

Aby więc ciało pozostawało w ruchu po okręgu konieczne jest działanie siły!

⇒siła dośrodkowa

Ruch po okręgu może być wynikiem działania różnego rodzaju sił. Mogą to być

• siły zewnętrzne

  • siła Lorenza (pole magnetyczne)

  • siły sprężystości

• siły reakcji więzów (kulka na nitce)

• wypadkowej sił reakcji i sił zewnętrznych (regulator Watta, kulka w wirującym naczyniu...)

Siła dośrodkowa

Rozważmy dla ustalenia uwagi cząstkę naładowaną poruszającą się w jednorodnym polu magnetycznym prostopadłym do kierunku prędkości . Promień toru cząstki (promień cyklotronowy) dany jest wzorem:

Siła Lorentza działająca na cząstke

dla cząstki poruszającej się prostopadle do lini pola () ma wartość:

Przekształcając wyrażenie na siłę możemy powiązać jej wartość z promieniem toru

Ostatecznie otrzymujemy

Jet to ogólne wyrażenie na wartość siły dośrodkowej w ruch jednostajnym po okręgu.

W poniższych dwóch przykładach siła dośrodkowa jest wypadkową siły reakcji i siły ciężkości.

Regulator Watta						Kulka w wirującym naczyniu

Przyspieszenie dośrodkowe

Uzyskane wyrażenie na siłę dośrodkową odpowiada (wspomnianemu już wcześniej) przyspieszeniu dośrodkowemu. Dla ruchu jednostajnego po okręgu:

składowe przyspieszenia (metodą dwukrotnego różniczkowania) wynoszą

Tym samym spełniona jest zależność:

Wyrażenie na wartość przyspieszenia dośrodkowego w ruchu jednostajnym po okręgu można też wyprowadzić wiążąc zmianę wektora prędkości z przesunięciem kątowym:

W zapisie wektorowym (przyjmyjąc )

gdzie jest położeniem w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola.

Przykład

Rozważmy ponownie kulkę w wirującym naczyniu. Pozostaje ona w ruchu po okręgu pod wpływam działania siły ciężkości oraz siły reakcji

Siła dośrodkowa musi być skierowana poziomo (prostopadle do osi obrotu), zatem ze składania sił na kierunku pionowym mamy:

i możemy siłę dośrodkową powiązać z kątem wychylenia kulki:

Z równania ruchu:

Przyrównując obie zależności otrzymujemy zależność kąta wychylenia od prędkości wirowania naczynia:

To proste wyrażenie ma głęboki sens fizyczny. Wiemy, że . Dla małych prędkości wirowania naczynia kulka będzie spoczywała na jego dnie, dokładnie na osi obrotu! Odchyli się dopiero dla

gdzie odpowiada częstość drgań wahadła matematycznego o długości r