Politechnika Wrocławska Instytut Fizyki	Sprawozdanie ćw nr 57c Temat: Badanie efektu Halla
Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Rok I	Data wykonania ćw: 31.03.2009r.

1. Wstęp teoretyczny.

Efekt Halla to zjawisko fizyczne, odkryte w 1879 roku przez Edwina H. Halla. Jeżeli płytkę z metalu lub półprzewodnika włączymy w obwód prądu stałego i umieścimy ją w polu magnetycznym o wektorze indukcji prostopadłym do powierzchni płytki i do kierunku płynącego przez nią prądu, to pomiędzy punktami A i B wytworzy się różnica potencjałów, zwana napięciem Halla.

Jeśli wzdłuż płytki płynie prąd o natężeniu I_s (nadając nośnikom prądu prędkość unoszenia v), zaś prostopadle do powierzchni przewodnika skierowane jest pole magnetyczne o indukcji , zakładając, że nośnikami są elektrony swobodne(dla metali i półprzewodników typu n), to na nośniki prądu o ładunku e działa siła Lorentza:

$$\mathbf{F}_{\mathbf{L}}\mathbf{= - e(}\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{\times}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{)}$$

W skutek działania siły Lorentza tor ruchu elektronów zostanie zakrzywiony, co spowoduje gromadzenie się elektronów na jednej krawędzi płytki, a na drugiej jej krawędzi-niedobór elektronów. Powoduje to wytwarzanie się poprzecznego, w przybliżeniu jednorodnego pola elektrycznego o natężeniu E. Pole to działa na elektrony siłą:

F_E= − eE

Dla warunku równowagi możemy zapisać:

F_L=F_E

Wówczas:

U_H = γI_sB , gdzie: γ = 1/end

n- koncentracja nośników

d-grubość płytki

Z powyższych wzorów wynika, że dokonując pomiarów napięcia i natężenia prądu płynącego przez płytkę, oraz znając współczynnik proporcjonalności γ można wyznaczyć indukcje magnetyczną B. Urządzenie dokonujące takich pomiarów nazywane jest hallotronem, dla którego γ jest jego czułością.

2.Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie: charakterystyk hallotronu, jego czułości, koncentracji elektronów swobodnych oraz czułości kątowej układu.

3.Opis ćwiczenia.

Układ pomiarowy składał się z hallotronu wyposażonego w magnesy, podłączonego do mierników oraz zasilacza. Pomiary dotyczyły zmian napięcia Halla w stosunku do składowej prostopadłej wektora indukcji magnetycznej do wektora prędkości elektronów.

Schemat układu pomiarowego:

Część podstawowa:

4.Wyniki pomiarów.

I_s=10[mA]

B_o=0,5[T] ΔB_o=0,05[T]

Δα= ± 5 [°]

Lp.	α[°]	UH[V]	ΔUH[V]	Bn[T]	ΔBn[T]	γ[V/AT]
1.	0	-0,0419	0,0001	0,044	0,048	-96,15
2.	10	0,0055	0,0001	-0,044	0,048	-12,62
3.	20	0,0505	0,0001	-0,130	0,056	-39,02
4.	30	0,0967	0,0002	-0,211	0,061	-45,76
5.	40	0,1363	0,0002	-0,287	0,065	-47,53
6.	50	0,1728	0,0002	-0,354	0,067	-48,88
7.	60	0,2054	0,0003	-0,410	0,066	-50,15
8.	70	0,2300	0,0003	-0,453	0,064	-50,76
9.	80	0,2476	0,0003	-0,483	0,060	-51,27
10.	90	0,2566	0,0003	-0,498	0,054	-51,52
11.	100	0,2568	0,0003	-0,498	0,054	-51,56
12.	110	0,2468	0,0003	-0,483	0,060	-51,10
13.	120	0,2288	0,0003	-0,453	0,064	-50,49
14.	130	0,2063	0,0002	-0,410	0,067	-50,37
15.	140	0,1769	0,0002	-0,354	0,067	-50,03
16.	150	0,1434	0,0002	-0,287	0,065	-50,00
17.	160	0,1038	0,0002	-0,211	0,061	-49,12
18.	170	0,0640	0,0001	-0,129	0,056	-49,46
19.	180	0,0212	0,0001	-0,044	0,048	-48,65
20.	190	-0,0241	0,0001	0,044	0,048	-55,30
21.	200	-0,0691	0,0001	0,129	0,056	-53,40
22.	210	-0,1111	0,0002	0,211	0,061	-52,58
23.	220	-0,1516	0,0002	0,287	0,065	-52,86
24.	230	-0,1872	0,0002	0,354	0,067	-52,95
25.	240	-0,2157	0,0002	0,410	0,067	-52,66
26.	250	-0,2383	0,0003	0,453	0,064	-52,59
27.	260	-0,2544	0,0003	0,483	0,060	-52,67
28.	270	-0,2619	0,0003	0,498	0,054	-52,58
29.	280	-0,2613	0,0003	0,498	0,054	-52,46
30.	290	-0,2518	0,0003	0,483	0,060	-52,14
31.	300	-0,2363	0,0003	0,453	0,064	-52,14
32.	310	-0,2143	0,0002	0,410	0,067	-52,32
33.	320	-0,1878	0,0002	0,354	0,067	-53,12
34.	330	-0,1552	0,0002	0,287	0,065	-54,12
35.	340	-0,1192	0,0002	0,211	0,061	-56,41
36.	350	-0,0802	0,0001	0,129	0,056	-61,97
37.	360	-0,0379	0,0001	0,044	0,048	-86,97

U_H=0(α_o=5° ν α_o=185°)

5.Wzory i przykładowe obliczenia.

ΔU_H=±0,05%rdg±0,01%pełnej skali

ΔU_H1=( ± 0, 05%*0,0419±0, 01%*10^−3)V≈0, 0001V

B_n=B_osin(α-α_o)

B_n1=0,5*sin(-5°)=0,043578T≈0,0436[T]

ΔB=|sin(α-α₀)ΔB₀|+|B₀cos( α-α₀)Δα|

ΔB₁=|sin(-5°)*0,05|+|0,5cos(-5°)*5°|≈0,0479[T]

Czułość hallotronu:

• Ze wzoru:

$$\gamma = \frac{U}{I_{s}B}$$

$\gamma_{27} = \frac{- 0,2544}{0,01*0,483} \approx$-52,67 [V/AT]

• Z regresji liniowej:

a=γI_s

a=-0,524 => γ=-0,524/0,01=-52,4[ V/AT ]

Δa=$\frac{U}{B} = \left| \frac{- 0,1516 + 0,1111}{0,286788218 - 0,211309131} \right| \approx -$0,536( dla pomiaru 22. i 23.)

Z pochodnej logarytmicznej wyznaczam niepewność czułości hallotronu:

lna=lnγ+lnI_s

$$\frac{\text{Δa}}{a} = \frac{\gamma}{\gamma} + \frac{I_{s}}{I_{s}}$$

Δγ=$\pm \gamma(\frac{a}{a} + \frac{I_{s}}{I_{s}})$

$\gamma = \pm 52,4(\frac{0,53657}{52,4} + \frac{0,15}{10}) \approx$1,4[ V/AT ]

$$\mathbf{\gamma =}\left( \mathbf{- 52,4 \pm 1,4} \right)\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{\text{AT}}}\mathbf{\rbrack}$$

$\frac{\text{Δγ}}{\gamma}$=$\frac{1,323}{52,4}*100\% \approx$2,53[%]

Koncentracja elektronów:

e = 1,6·10^-19 C – ładunek elektronu

d = 2 μm ­– grubość płytki hallotronu

$n = \frac{1}{\text{edγ}}$=$\frac{1}{1,6*10^{- 19}*2*10^{- 6}*52,4} \approx 5,964*10^{22}\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$

Niepewność koncentracji elektronów(za pomocą różniczki zupełnej):

$\Delta n = \left| \frac{\partial n}{\partial\gamma}\Delta\gamma \right| = |\frac{- \Delta\gamma}{\text{ed}\gamma^{2}}$|+|$\frac{- \Delta d}{\text{eγ}d^{2}}|$

$\Delta n = \left| \frac{- 1,323}{1,6*10^{- 19}*2*10^{- 6}*{52,4}^{2}} \right| + |\frac{- 0,05}{1,6*10^{- 19}*2*10^{- 6}*{52,4}^{}}$|$\approx 0,449*10^{22}\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$

$$\mathbf{n = (5,964 \pm 0,449) \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{22}}\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\rbrack}$$

$$\frac{\text{Δn}}{n} = \frac{0,449*10^{22}}{5,964*10^{22}}*100\% \approx 7,52\lbrack\%\rbrack$$

Część dodatkowa:

4.Wyniki pomiarów.

Dla α=10° i α_o=185°:

Lp.	I[mA]	U[V]	ΔUH [V]	γ [V/AT]
1.	1	0,0002	0,0001	-4,589
2.	2	0,0005	0,0001	-5,737
3.	3	0,0008	0,0001	-6,119
4.	4	0,0011	0,0001	-6,310
5.	5	0,0013	0,0001	-5,966
6.	6	0,0016	0,0001	-6,119
7.	7	0,0019	0,0001	-6,228
8.	8	0,0022	0,0001	-6,310
9.	9	0,0025	0,0001	-6,374
10.	10	0,0028	0,0001	-6,425
11.	11	0,0031	0,0001	-6,467
12.	12	0,0034	0,0001	-6,502
13.	13	0,0037	0,0001	-6,531
14.	14	0,004	0,0001	-6,556
15.	15	0,0043	0,0001	-6,578

5.Wzory oraz przykładowe obliczenia.

B_n=B_osin(α-α_o)=0,5sin(10°-185°)=-0,0438[T]

ΔB=|sin(α-α₀)ΔB₀|+|B₀cos( α-α₀)Δα|      (metodÄ… różniczki zupeÅ‚nej)

ΔB_n=|sin(-175°)*0,05|+|0,5*cos(-175°)|≈0,0479[T]

Wyznaczanie czułości hallotronu:

• ze wzoru:

₁₀=$\frac{0,0028}{0,01*0,400567} \approx - 6,425$[V/AT]

• wyznaczona za pomocÄ… metody regresji liniowej:

a= 0,292

a=γB

γ =0,292/(-0,0438)≈−6,704 [V/AT]

Δa=$\frac{U}{I}$=$\frac{0,0019 - 0,0016}{0,007 - 0,006} = 0,$30(dla pomiaru 6. I 7.)

Niepewność(różniczki logarytmicznej):

lna=lnγ+lnB => $\frac{a}{a} = \frac{\gamma}{\gamma} + \frac{B}{B}$

γ=$\pm \gamma(\frac{a}{a} + \frac{B}{B})$

γ=±6,704($\frac{0,3}{0,292} - \frac{0,0479}{0,0438}$)≈-0,444[V/AT]

$\frac{\text{Δγ}}{\gamma} = \frac{| - 0,44387|}{| - 6,704|} \bullet 100\%$=6,62%

$$\mathbf{\gamma =}\left( \mathbf{- 6,704 \pm 0,444} \right)\mathbf{(}\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{\text{AT}}}\mathbf{\rbrack}$$

Obliczanie koncentracji elektronów n:

n = $\frac{1}{\text{ed}\gamma}$=$\frac{1}{1,6*10^{- 19}*2*10^{- 6}*6,704} =$4,661$\bullet 10^{23}\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$

metodą różniczki zupełnej:

$\Delta n = \left| \frac{\partial n}{\partial\gamma}\Delta\gamma \right| = |\frac{- \Delta\gamma}{\text{ed}\gamma^{2}}$|+|$\frac{- \Delta d}{\text{eγ}d^{2}}|$=|$\frac{0,44387}{1,6 \bullet 10^{- 19} \bullet 2 \bullet 10^{- 6} \bullet {( - 6,704)}^{2}}| + |\frac{- 0,05}{1,6 \bullet 10^{- 19} \bullet \left( - 6,704 \right) \bullet 2 \bullet 10^{- 6}}| \approx$0,542$\bullet 10^{23}\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$

$$\mathbf{n = (4,661 \pm 0,542) \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{23}}\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\rbrack}$$

$$\frac{n}{n} \bullet 100\% \approx 11,62\%$$

6.Analiza niepewności pomiarowych.

Na niepewność wykonanych przez nas pomiarów główny wpływ miało to, że nie mogliśmy dokładnie określić kąta wychylenia magnesu, gdyż kątomierz zamontowany na pokrętle do ustawiania położenia magnesów był bardzo mało dokładany, a niepewność odczytania kąta wynosiła aż 5. Co za tym idzie nie byliśmy wstanie dokładnie określić tej części składowej wektora indukcji magnetycznej, która ma wpływ na ruch elektronów swobodnych w badanej płytce.

Na niepewność naszego doświadczenia miał też z pewnością fakt, że używaliśmy w nim słabego magnesu sztabkowego o indukcji 0,5T, a nie mocniejszego elektromagnesu, nie mamy więc pewności, jaka tak na prawdę była jego indukcja, stąd też wartość B_n obarczona jest tak dużym błędem.

7.Wnioski.

W wykonywanym przez nas ćwiczeniu zauważamy, że napięcie Halla zależy linowo od indukcji magnetycznej i natężenia płynącego prądu, ponadto zauważamy, że na elektrony ma wpływ tylko ta składowa wektora indukcji B, która jest prostopadła do wektora prędkości elektronów poruszających się w płytce..

Podczas pomiarów dowiedliśmy, że współczynnikiem proporcjonalności zależności: U_H(I_S) oraz U_H(B_n) jest czułość hallotronu. Mierząc Napięcie Halla w płytce potrafimy wyznaczyć czułość hallotronu oraz koncentrację elektronów n w płytce. Ponadto wartość czułości hallotronu wyznaczona metodą regresji liniowej jest zbliżona do tej obliczonej ze wzoru.