Cel i opis ćwiczenia

Celem ćwiczenia było wyznaczenie: charakterystyk hallotronu i jego czułości, a także koncentracji elektronów swobodnych oraz czułości kątowej układu.

Układ pomiarowy składał się z hallotronu umieszczonego w polu magnetycznym, podłączonego do mierników oraz zasilacza. Pomiary dotyczyły zmian napięcia Halla w stosunku do składowej prostopadłej wektora indukcji magnetycznej do wektora prędkości elektronów.

Schemat układu pomiarowego:

Wyniki pomiarów:

Wyniki pomiarów zostały zamieszczone w tabelach na trzech kolejnych stronach, odpowiednio: w tabeli 1 – wyniki pomiarów uzyskane dla natężenia równego 5mA; w tabeli 2 – wyniki pomiarów uzyskane dla natężenia równego 7mA; w tabeli 3 – wyniki pomiarów uzyskane dla natężenia równego 12mA.

Tabela 1

IS	ΔIS	α	Δα	UH	ΔUH	BN	ΔBN	γ	Δγ	$$\frac{\mathbf{\gamma}}{\mathbf{\gamma}}$$	n	Δn	$$\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{n}}$$
[mA]	[mA]	[°]	[°]	[V]	[V]	[T]	[T]	$$\left\lbrack \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{a*T}} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{a*T}} \right\rbrack$$	%	$$\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$	%
5	0,15	0	5	0,09220	0,00015	-0,500	0,051	46,7	2,15	5,40	6,69*10^22	0,65*10^22	9,60
		10		0,09170	0,00015	-0,488	0,051
		20		0,08850	0,00015	-0,46	0,05
		30		0,08270	0,00015	-0,42	0,046
		40		0,07480	0,00014	-0,369	0,042
		50		0,06270	0,00014	-0,3049	0,036
		60		0,05170	0,00013	-0,239	0,03
		70		0,03360	0,00012	-0,1509	0,022
		80		0,01730	0,00011	-0,0659	0,014
		90		-0,00360	0,0001	0,029	0,01
		100		-0,01900	0,0001	0,1089	0,018
		110		-0,04040	0,0001	0,191	0,026
		120		-0,05360	0,0001	0,269	0,033
		130		-0,06900	0,0001	0,34	0,04
		140		-0,07920	0,00007	0,397	0,044
		150		-0,08950	0,00006	0,44	0,05
		160		-0,09610	0,00006	0,48	0,05
		170		-0,10090	0,00005	0,496	0,051
		180		-0,10280	0,00005	0,499	0,051
		190		-0,10240	0,00005	0,488	0,051
		200		-0,09930	0,00006	0,46	0,05
		210		-0,09400	0,00006	0,422	0,046
		220		-0,08600	0,00006	0,369	0,042
		230		-0,07360	0,00007	0,304	0,036
		240		-0,06040	0,00007	0,23	0,03
		250		-0,04380	0,00008	0,150	0,022
		260		-0,02680	0,00009	0,065	0,014
		270		-0,0072	0,0001	-0,02	0,01
		280		0,00930	0,00011	-0,11	0,02
		290		0,02900	0,00012	-0,19	0,026
		300		0,04350	0,00013	-0,269	0,033
		310		0,05900	0,00013	-0,34	0,04
		320		0,07000	0,00014	-0,397	0,044
		330		0,07930	0,00014	-0,4437	0,048
		340		0,08520	0,00015	-0,48	0,05
		350		0,09020	0,00015	-0,496	0,051
		360		0,09200	0,00015	-0,499	0,051

Tabela 2

IS	ΔIS	α	Δα	UH	ΔUH	BN	ΔBN	γ	Δγ	$$\frac{\mathbf{\gamma}}{\mathbf{\gamma}}$$	n	Δn	$$\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{n}}$$
[mA]	[mA]	[°]	[°]	[V]	[V]	[T]	[T]	$$\left\lbrack \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{a*T}} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{a*T}} \right\rbrack$$	%	$$\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$	%
7	0,15	0	5	0,13390	0,00017	-0,500	0,051	39,88	2,27	5,69	7,84*10^22	0,84*10^22	10,69
		10		0,13310	0,00017	-0,488	0,051
		20		0,12840	0,00017	-0,46	0,05
		30		0,11840	0,00016	-0,42	0,046
		40		0,10570	0,00016	-0,369	0,042
		50		0,08910	0,00015	-0,3049	0,036
		60		0,07210	0,00014	-0,239	0,03
		70		0,04790	0,00013	-0,1509	0,022
		80		0,02000	0,00011	-0,0659	0,014
		90		-0,0074	0,0001	0,029	0,01
		100		-0,0265	0,0001	0,1089	0,018
		110		-0,0513	0,0001	0,191	0,026
		120		-0,07880	0,00007	0,269	0,033
		130		-0,09830	0,00006	0,34	0,04
		140		-0,11100	0,00005	0,397	0,044
		150		-0,12410	0,00004	0,44	0,05
		160		-0,13320	0,00004	0,48	0,05
		170		-0,14000	0,00003	0,496	0,051
		180		-0,14440	0,00003	0,499	0,051
		190		-0,14390	0,00003	0,488	0,051
		200		-0,14030	0,00003	0,46	0,05
		210		-0,13230	0,00003	0,422	0,046
		220		-0,12090	0,00004	0,369	0,042
		230		-0,10390	0,00005	0,304	0,036
		240		-0,08510	0,00006	0,23	0,03
		250		-0,06210	0,00007	0,150	0,022
		260		-0,03750	0,00009	0,065	0,014
		270		-0,0130	0,0001	-0,02	0,01
		280		0,01590	0,00011	-0,11	0,02
		290		0,03770	0,00012	-0,19	0,026
		300		0,06030	0,00013	-0,269	0,033
		310		0,07880	0,00014	-0,34	0,04
		320		0,09300	0,00015	-0,397	0,044
		330		0,10650	0,00016	-0,4437	0,048
		340		0,11450	0,00016	-0,48	0,05
		350		0,12790	0,00017	-0,496	0,051
		360		0,13240	0,00017	-0,499	0,051

Tabela 3

IS	ΔIS	α	Δα	UH	ΔUH	BN	ΔBN	γ	Δγ	$$\frac{\mathbf{\gamma}}{\mathbf{\gamma}}$$	n	Δn	$$\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{n}}$$
[mA]	[mA]	[°]	[°]	[V]	[V]	[T]	[T]	$$\left\lbrack \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{a*T}} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{a*T}} \right\rbrack$$	%	$$\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$	%
12	0,15	0	5	0,22740	0,00022	-0,500	0,051	39,95	2,16	4,58	7,82*10^22	0,82*10^22	10,41
		10		0,22640	0,00022	-0,488	0,051
		20		0,21790	0,00021	-0,46	0,05
		30		0,2009	0,0002	-0,42	0,046
		40		0,1797	0,0002	-0,369	0,042
		50		0,1523	0,0002	-0,3049	0,036
		60		0,11830	0,00016	-0,239	0,03
		70		0,08310	0,00015	-0,1509	0,022
		80		0,04290	0,00013	-0,0659	0,014
		90		-0,0024	0,0001	0,029	0,01
		100		-0,04870	0,00008	0,1089	0,018
		110		-0,08630	0,00006	0,191	0,026
		120		-0,12650	0,00004	0,269	0,033
		130		-0,16310	0,00002	0,34	0,04
		140		-0,19250	0,00004	0,397	0,044
		150		-0,21580	0,00008	0,44	0,05
		160		-0,23540	0,00002	0,48	0,05
		170		-0,22740	0,00002	0,496	0,051
		180		-0,2520	0,00003	0,499	0,051
		190		-0,25120	0,00003	0,488	0,051
		200		-0,24210	0,00003	0,46	0,05
		210		-0,22830	0,00002	0,422	0,046
		220		-0,20310	0,00002	0,369	0,042
		230		-0,1740	0,00002	0,304	0,036
		240		-0,14190	0,00003	0,23	0,03
		250		-0,10570	0,00005	0,150	0,022
		260		-0,06140	0,00007	0,065	0,014
		270		-0,0191	0,0001	-0,02	0,01
		280		0,02270	0,00012	-0,11	0,02
		290		0,06640	0,00014	-0,19	0,026
		300		0,1014	0,0002	-0,269	0,033
		310		0,1374	0,0002	-0,34	0,04
		320		0,168	0,0002	-0,397	0,044
		330		0,1899	0,0002	-0,4437	0,048
		340		0,20960	0,00021	-0,48	0,05
		350		0,22050	0,00021	-0,496	0,051
		360		0,22610	0,00022	-0,499	0,051

Przyrządy pomiarowe:

Amperomierz analogowy klasa: 0,5 zakres: 30mA

Woltomierz V531 ziarno: 0,0001 zakres: 1V

Δ= 0,05% rdg + 0,01% zakresu

α₀ = 87,5 [°]

Δα=5 [°]

B₀=0,5 [T]

ΔB₀=0,05 [T]

Wzory i przykładowe obliczenia:

Przykładowe obliczenia są oparte o dane z tabeli 1.

Błąd bezwzględny natężenia prądu:

Błąd bezwzględny napięcia Halla:

ΔU_H= 0,05% rdg + 0,01% zakresu

ΔU_H= 0,05% 0,0922+ 0,01% 1 = 0,000146 [V]

Wartość składowej normalnej indukcji:

B_N=B₀sin(α-α₀)

B_N=0,5sin(0-87,5)= -0,499524 [T]

Błąd bezwzględny składowej normalnej indukcji:

ΔB_N=|sin(α-α₀)ΔB₀|+|B₀cos( α-α₀)Δα| (metoda różniczki zupełnej)

ΔB_N=|sin(0-87, 5)0, 05|+|0, 5cos( 0-87, 5)5| = 0,050255 [T]

Czułość hallotronu:

Czułość hallotronu wyznaczono korzystając z zależności:

a=γI_s → $\gamma = \frac{a}{I_{s}}$ a – współczynnik kierunkowy prostej

$\mathrm{\gamma}\mathrm{=}\frac{\mathrm{0,2336}}{\mathrm{0,005}}\mathrm{= 46,72\ \ \lbrack V/AT\rbrack}$ (dla napięcia równego 5mA)

Niepewność czułości hallotronu:

Δγ=$\gamma\left( \left| \frac{a}{a} \right| + \left| \frac{I_{s}}{I_{s}} \right| \right)$ (metoda różniczki logarytmicznej)

$\mathrm{\text{Δγ}}\mathrm{= 46,72}\left( \left| \frac{\mathrm{0,0037}}{\mathrm{0,2336}} \right|\mathrm{+}\left| \frac{\mathrm{0,00015}}{\mathrm{0,005}} \right| \right)\mathrm{= 2,15\ \lbrack V/AT\rbrack}$

Koncentracja elektronów:

Koncentrację elektrpnów swobodnych wyznaczono ze wzoru:

$n = \frac{1}{\text{d\ γ\ e}}$

d = 2 [µm] – grubość płytki hallotronu

e = 1,6 * 10^-19 – ładunek elementarny

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}}\mathrm{= 5\%}$$

$n = \frac{1}{1,6*10^{- 19}*2*10^{- 6}*46,72} = 6,68878*10^{22}$ $\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$

Niepewność (bezwzględna i względna) koncentracji elektronów swobodnych wyznaczono przy pomocy wzoru:

$\Delta n = \left| \frac{\partial n}{\partial\gamma}\Delta\gamma \right| = |\frac{\Delta\gamma}{\text{ed}\gamma^{2}}$|+|$\frac{\text{Δd}}{\text{eγ}d^{2}}|$ (metoda różniczki zupełnej)

$n = |\frac{2,15}{1,6*10^{- 19}*2*10^{- 6}*{46,72}^{2}}$|+|$\frac{1}{1,6*10^{- 19}*2*10^{- 6}*46,72}*0,05|$ =0,6422* 10²² $\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$

$\frac{n}{n} = \frac{0,44578*10^{22}}{6,68878*\ 10^{22}}*100\% =$9,6019 [%]

Wnioski

Głównym źródłem niepewności pomiaru była niemożność dokładnego określenia kąta wychylenia magnesu. Skala pomiarowa na pokrętle magnesu rozrysowana jest aż co 5 stopni kątowych, co uniemożliwia precyzyjne ustawienie urządzenia i pomiar.

Dodatkowym problem stanowiło częste rozregulowywanie się amperomierza – natężenie prądu nie było stałe i drobne „wahnięcia” mogły mieć również wpływ na wyniki.

Analiza wyników doświadczenia pozwala zauważyć, że napięcie Halla zależy liniowo od składowej normalnej indukcji pola magnetycznego oraz, że równolegle ze wzrostem natężenia prądu płynącego w układzie zmienia się również wartość tego napięcia. Nachylenie prostej wyznaczającej liniową zależność napięcia Halla od składowej normalnej indukcji staje się coraz większe (rośnie moduł współczynnika kierunkowego prostej). Należy jednocześnie zauważyć, że na elektrony ma wpływ tylko ta składowa wektora indukcji B, która jest prostopadła do wektora prędkości elektronów poruszających się w płytce.

Wykres zależności napięcia Halla od kąta α można z powodzeniem aproksymować sinusoidą.

Uzyskane wyniki sugerują, że czułość hallotronu delikatnie wzrasta dla najmniejszych natężeń prądu.