MATEMATYKA

Wykład 2

$$\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}a_{n} = \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{5}{n + 3} = 0$$

Przykład 7.

$$\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}} = \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} = 0$$

$$\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\sqrt[n]{8} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ oraz\ \ \ \ \ \ \ \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{10} = 1}$$

$$\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}(1 + \frac{4}{n})^{n} = \left\lbrack \left. \ (1 + \frac{1}{\frac{n}{4}})^{\frac{n}{4}} \right\rbrack\ ^{4} = e^{4}\ \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\left( 1 + \frac{1}{a_{n}} \right)\ ^{a_{n}} = e\ ,\ \ \ \ gdzie\ a_{n}{\overset{\rightarrow}{\ } \pm \infty} \\ \left( a^{k} \right)\ ^{m} = a^{\text{km}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\left( \left. \ \frac{4n + 2}{4n + 1} \right) \right.\ \ ^{2n + 3} = \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\left( \left. \ \frac{4n + 2}{4n + 1} \right) \right.\ = \left\lbrack \left. \ 1^{\infty} \right\rbrack \right.\ = \ {\text{li}m}_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{4 + \frac{2}{n}}{4 + \frac{1}{n}} = \frac{4}{4} = 1,\ \ \text{gdzie\ \ }\frac{2}{n}\text{\ i}\ \frac{1}{n}\text{\ \ }\overset{\rightarrow}{\ }0$$

$$\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\left( \left. \ \frac{4n + 2}{4n + 1} \right) \right.\ \ ^{2n + 3} = \left( \left( \left. \ \left. \ 1 + \frac{1}{4n + 1} \right)\ ^{4n + 1} \right)\ ^{\frac{2n + 3}{4n + 1}} = \right.\ \right.\ \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{2n + 3}{4n + 1} = \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{2 + \frac{3}{n}}{4 + \frac{1}{n}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\ \ \ \ \ g\text{dzie\ }\frac{3}{n}\text{\ i\ }\frac{1}{n}\overset{\rightarrow}{\ }0$$

$$\frac{4n + 2}{4n + 1} = \frac{4n + 1 + 1}{4n + 1}\ \ \ - \ \ \ w\ liczniku\ musi\ byc\ mianownik\ tylko,\ gdy\ mamy\ 1^{\infty}$$

$$\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\left( \left. \ \frac{n + 5}{2n + 1} \right) \right.\ \ ^{n} = \left\lbrack \left( \left. \ \left. \ \frac{1}{2} \right)\ ^{\infty} \right\rbrack = 0 \right.\ \right.\ $$

Twierdzenie 5. O trzech ciągach.

Jeżeli od pewnego n₀ , dla każdej liczby n, takiej, że n > n₀ zachodzą nierówności:

$$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}\text{\ \ \ \ \ \ oraz\ \ \ \ \ \ }\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}a_{n} = \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}c_{n} = g$$

Przykład 8.

Oblicz:

1. $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{( - 1)\ ^{n}}{n},\ \ \ \ gdzie\ n\ \overset{\rightarrow}{\ }\text{nie\ ma\ granicy}$

2. $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}}$

3. $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{\text{si}n_{n}}{n}$

1. $\frac{- 1}{n} \leq \frac{\left( - 1 \right)\ ^{n}}{n} \leq \frac{1}{n}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ oraz\ \ \ \ \ \ }\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{- 1}{n} = 0\ \ \ \ i\ \ \ \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{1}{n} = 0\ \overset{\Rightarrow}{\ }\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{\left( - 1 \right)\ ^{4}}{n} = 0$

2. $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}} = \left( 2^{n} + 3^{n} \right)\ ^{\frac{1}{n}} = \left\lbrack \infty^{0} \right\rbrack\ \ - \ \ \ symbol\ nieoznaczony$

$$3 = \sqrt[n]{3^{n} \leq}\sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}} \leq \sqrt[n]{3^{n} + 3^{n}\ } = \ \sqrt[n]{2 \bullet 3^{n} = 3 \bullet \sqrt[n]{2} = 3}$$

oraz

$$\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}3 \bullet \sqrt[n]{2} = 3 \bullet 1 = 3\ \ \overset{\Rightarrow}{\ }\ \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}} = 3$$

1. $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{\text{si}n_{n}}{n} = 0$

$$\frac{- 1}{n}\text{\ \ \ \ \ \ } \leq \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{\text{si}n_{n}}{n}\text{\ \ \ \ \ \ } \leq \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{1}{n}$$

| |$\text{\ \ }n\overset{\rightarrow}{\ }0$ |

0 0 0

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots\ \ \ \ malejacy\ ciag\ geometryczny = 1$$

SZEREGI LICZBOWE

Definicja 1. Szeregu liczbowego nieskończonego. Szeregiem liczbowym o wyrazach a_n nazywamy ciąg sum częściowych (S_n), gdzie S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n i oznaczamy go symbolem

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n} =}a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n} + \ldots$$

Przykład 1.

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} + \ldots}}$$

Oraz

$$s_{1} = 1,\ \ \ s_{2} = 1 + \frac{1}{2},\ \ \ s_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3},\ \ \ s_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$$

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n} = \infty}$$

Definicja 2. Zbieżności szeregu liczbowego.

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n} = S{\overset{\Leftrightarrow}{\ }\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}S_{n} = S\ \land \ - \infty \neq S \neq \infty}}$$

UWAGA!

1. Jeżeli $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}S_{n} = \pm \infty\ $ to mówimy, że szereg jest rozbieżny do nieskończoności.

2. Jeżeli $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}S_{n}$ nie istnieje to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

$\sum_{\mathbf{n = 1}}^{\mathbf{\infty}}{( - 1)\ ^{n}}$ - szereg rozbieżny S₁ = −1,   S₂ = 0,   S₃ =   − 1

Przykład 2.

Dany jest szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{1}{n}\text{.\ }}$ Nazywamy go szeregiem harmonicznym, gdyż

$a_{n} = \frac{2}{\frac{1}{a_{n} - 1} + \frac{1}{a_{n} + 1}}$ .

Jest to szereg rozbieżny do nieskończoności, gdyż:

$$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \ldots =$$

$$= 1 + \frac{1}{2} + \left( \left. \ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) \right.\ + \left( \left. \ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) + \ldots > \right.\ $$

$$> 1 + \frac{1}{2} + \left( \left. \ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) + \left( \left. \ \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right) + \ldots = 1 + \frac{1}{2} + \left( \left. \ \frac{1}{2} \right) + \left( \left. \ \frac{1}{2} \right) + \right.\ \ldots = \infty \right.\ \right.\ \right.\ $$

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 1}$$

Zbieżność szeregu harmonicznego rzędu α : Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywamy szereg postaci:

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{1}{n^{\alpha}} = 1 +}\frac{1}{2^{\alpha}} + \frac{1}{3^{\alpha}} + \ldots,\ gdzie\ \alpha > 0$$

Szereg ten jest zbieżny, dla α > 1, a rozbieżny dla α ≤ 1.

Przykład 3.

Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n^{3}}}\ }$jest zbieżny, a szereg postaci $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\ $ jest rozbieżny.

Definicja 3. Szeregu geometrycznego.

Szeregiem geometrycznym nazywamy ciąg (S_n) sum częściowych ciągu geometrycznego (a_n), co zapisujemy:

$$a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots = a_{1} + a_{1}q + \ldots + a_{n}q^{n - 1} + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{1}q^{n_{1} - 1}}$$

Zbieżność szeregu geometrycznego.

Szereg geometryczny jest zbieżny do sumy S, wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1 lub a₁ = 0. Wtedy:

S=$\left\{ \begin{matrix} \frac{a_{1}}{1 - q},\ \ \ gdy\ \left| q \right| < 1 \\ 0,\ \ \ gdy\ a_{1} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ ; np.: $\sum_{n = 1}^{\infty}\left( \left. \ \frac{3}{4} \right)\ ^{n} = \ \frac{a_{n} + 1}{a_{n}} = \frac{\left( \left. \ \frac{3}{4} \right)\ ^{n + 1} \right.\ }{\left( \left. \ \frac{3}{4} \right)\ ^{n} \right.\ } = \frac{\left( \left. \ \frac{3}{4} \right)\ ^{n} \bullet \left( \left. \ \frac{3}{4} \right)\ ^{1} \right.\ \right.\ }{\left( \left. \ \frac{3}{4} \right) \right.\ \ ^{n}} = \left( \left. \ \frac{3}{4} \right) \right.\ = q \right.\ $

$$S = \frac{\left( \left. \ \frac{3}{4} \right) \right.\ }{1 - \frac{3}{4}} = 3$$

Twierdzenie 1. O szeregach zbieżnych.

Jeżeli szeregi $\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n},\ }\sum_{n = 1}^{\infty}{b_{n}\ }$są zbieżne i dana jest liczba c ≠ 0, wtedy szeregi $\sum_{n = 1}^{\infty}{c \bullet a_{n},}$ $\sum_{n = 1}^{\infty}{\left( a_{n} + b_{n} \right),\ \ \sum_{n = 1}^{\infty}{{(a}_{n} - b_{n}),\ }\ }$ też są zbieżne oraz:

1. $\sum_{n = 1}^{\infty}{c \bullet a_{n} = c \bullet \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n};}}$

2. $\sum_{n = 1}^{\infty}\ \left( a_{n} + b_{n} \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n} + \sum_{n = 1}^{\infty}b_{n};$

3. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\left( a_{n} - b_{n} \right) = \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n} - \sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}}}$

Twierdzenie 2. Warunek konieczny zbieżności szeregu.

Jeżeli $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny, to $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}a_{n} = 0$.

UWAGA!

1. Jeżeli $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}a_{n} = 0$, to szereg może być zbieżny lub rozbieżny.

2. Jeżeli $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}a_{n} \neq 0$, to szereg jest rozbieżny.

Przykład 4.

Dane są szeregi harmoniczne:

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n};\ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.$ Ponieważ $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{1}{n} = 0$ oraz $\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{1}{n^{2}} = 0$, to spełniają one warunek konieczny. Jednak z twierdzenia o zbieżności szeregu harmonicznego wynika, że:

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$ jest rozbieżny, a szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ jest zbieżny.

Przykład 5.

Korzystając z warunku koniecznego sprawdź zbieżność szeregów:

1. $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2n}{n^{2} + 3}$

$$\lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}a_{n} = \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{2n}{n^{2} + 3} = \lim_{n\overset{\rightarrow}{\ }\infty}\frac{\frac{2}{n}}{1 + \frac{3}{n^{2}}} = 0$$

1. $\sum_{n = 1}^{\mathbf{\infty}}\frac{4n^{2}}{8n^{2} + 6n}$

WAŻNE: Szereg MOŻE być zbieżny lub rozbieżny.