Pomiar temperaturowej zależności współczynnika przewodzenia ciepła λ

 

1. Cel i zakres ćwiczenia

Proces przewodzenia ciepła polega na przenoszeniu energii cieplnej w układzie wykazującym różnicę temperatury. Proces ten,  charakterystyczny przede wszystkim  dla ciał stałych, może zachodzić wewnątrz jednego ośrodka lub pomiędzy pozostającymi w kontakcie różnymi ośrodkami, o ile występuje różnica temperatury.

 

2. Metody pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła λ

Podstawowym prawem opisującym przewodzenie ciepła jest prawo Fouriera, wg którego gęstość przewodzonego strumienia ciepła jest wprost proporcjonalna do gradientu temperatury. W warunkach ustalonego przepływu ciepła prawo Fouriera zapisuje się w postaci:

                                                                                                    (1)

gdzie:

    -  współczynnik proporcjonalności, zwany współczynnikiem przewodzenia  ciepła lub przewodnością cieplną,  [W/(m K)],

 - gradient temperatury w kierunku prostopadłym do powierzchni izotermicznej, [K/m].

Stosowane metody pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła materiałów izolacyjnych można ogólnie podzielić na dwie grupy:

-   grupa, w której podczas pomiaru realizuje się ustalony, promieniowy przepływ ciepła przez próbkę cylindryczną,

-   grupa, w której podczas pomiaru realizuje się ustalony przepływ ciepła przez próbkę w  kształcie płyty.

Ogólny schemat kilku metod pierwszej grupy  przedstawiono na Rys. 1:

a -   metoda, w której cylindryczna próbka, traktowana jako nieskończonej długości, nagrzewana jest centralnym grzejnikiem, umieszczonym w osi próbki; w czasie pomiaru rejestruje się moc wydzielaną przez grzejnik i temperaturę w  poprzecznym przekroju próbki,  w różnych odległościach od osi układu,

b -   metoda, w której cylindryczna próbka posiada izolację (lub dodatkowe dogrzewanie)  czołowych powierzchni dla zminimalizowania osiowego przeływu ciepła; w czasie pomiaru rejestruje się moc wydzieloną przez grzejnik i temperaturę w przekroju poprzecznym próbki , w różnych odległościach od osi układu,

c -   metoda porównawcza, w której dwie koncentryczne, cylindryczne próbki o znanym i nieznanym współczynniku przewodzenia ciepła nagrzewane są centralnym źródłem ciepła, umieszczonym w osi układu; w czasie pomiaru rejestruje się moc wydzieloną przez grzejnik oraz temperaturę w przekroju poprzecznym obu próbek, w różnych odległościach od osi układu.

 

 

Rys. 1. Schematy metod pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła

 

Równanie ujmujące zależność współczynnika przewodzenia ciepła od rozkładu temperatury w próbce przy promieniowym przepływie ciepła , w stanie ustalonym, bez wewnętrznego źródła, bez osiowego przepływu ciepła  oraz dla materiału homogenicznego i izotropowego - może być  napisane w następującej postaci:

                                                                                                                 (2)

lub:

                                                                                                               (3)

gdzie:  T      -    temperatura w odległości   r   od osi próbki.

Dwukrotne całkowanie równania (4) prowadzi do następujących zależności:

                                                                                           (4)

lub

                                                                                                         (5)

 

oraz                                                                                                      (6)

gdzie: C₁ i C₂ -   stałe całkowania.

Stałe całkowania C₁ i C₂ , zgodnie ze schematem pola temperatury przedstawionego na Rys. 2, oblicza się z zależności:

 

 

                        dla T = T_w           r = r_w                           dla T = T_z            r = r_z

 

                                                                                                                     (7)

                                                                                          (8)

 

Ostatecznie wzór na pole temperatury wewnątrz próbki, po wstawieniu do (6) zależności (7) i (8), przyjmuje postać:

 

 

Rys. 2. Pole temperatury przewodzącej ciepło ścianki cylindrycznej

 

 

                                                                                      (9)

lub w postaci bezwymiarowej:

                                                                                                        (10)

Elementarną ilość ciepła, która przepływa przez próbkę w jednostce czasu, umuje wzór:

                                                                                                     (11)

gdzie:               l: długość próbki, m.

 

Po wykonaniu całkowania (12) i przekształceniu otrzymuje się następującą zależność:

                                                                                                       (12)

 

gdzie q - jest ilością ciepła, która w ustalonym stanie przepływa w jednostce czasu przez próbkę próbkę o długości l, posiadającą na wewnętrznej powierzchni temperaturę T_w , a na zewnętrznej powierzchni temperaturę T_z .

 

3.Układ pomiarowy

Schemat aparatu stosowanego w ćwiczeniu przedstawia Rys. 3.  Badana próbka (1) umieszczona jest w stalowym cylindrze (2), przymocowanym do statywu (3). W osi próbki znajduje się grzejnik (4), którym jest silit posiadający w części grzejnej wymiary 8 x 100 mm. Czołowe powierzchnie próbki izolowane są wkładkami (5), wykonanymi z materiału będącego dobrym izolatorem ciepła. Napięcie  prądu  U_z  zasilającego  silit  doprowadzone  jest  do końcówek  zasilających 14 x 90 mm (6) za pomocą odpowiednich zacisków (7). Wewnątrz próbki  rozmieszczone są termoelementy, których spoiny pomiarowe (9) znajdują się w zagęszczonym proszku Al₂O₃ (10). Termoelementy izolowane są osłonkami szamotowymi (11). Całość zamontowana jest w rurkach kwarcowych, 5 / 3 mm (12). Schemat rozmieszczenia termoelementów w próbce przedstawia Rys. 4. Silit zasilany jest poprzez stabilizator napięcia, transformator oraz autotransformator. Moc prądu zasilającego grzejnik mierzona jest poprzez pomiar natężenia i napięcia prądu zasilającego.

 

4. Opracowanie wyników pomiaru

4.1. Średnia wartość współczynnika przewodzenia ciepła 

Dla warunków ćwiczenia  - Rys. 3, wzór (12) przyjmuje postać:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 3. Schemat aparatu do oznaczania współczynnika przewodzenia ciepła

Rys. 4a. Schemat rozmieszczenia termoelementów w próbce

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 4b. Schemat do określania wartości “n” wykładnika paraboli

 

                                                                                                          (13)

gdzie:

   -   średnia wartość współczynnika przewodzenia ciepła dla zakresu temperatury  , mierzonej w stanie ustalonym  w odległości  od osi aparatu,

P_p   -    moc prądu wydzielającego się w grzejnej części silitu, W.

Ponieważ w czasie pomiaru mierzona jest moc prądu doprowadzanego do końcówek przyłączeniowych, należy przeprowadzić cechowanie grzejnika dla określenia mocy prądu wydzielającej się na długości próbki:

 

                                    P_p = K_u P_z             P_z = U_z I                                  (14)

gdzie:

U_z      -   napięcie doprowadzone do końcówek przyłączeniowych silitu,

U_p      -   napięcie wydzielające się w części grzejnej silitu, równej długości próbki,

I         -   natężenie prądu przepływającego przez silit.

Po uwzględnieniu (14) wzór (13) przyjmuje postać:

                                    (                                                                  (15)

lub

                                                                                                                    (16)

gdzie:

                                                                                                            (17)

Dla  poszczególnych  zakresów  temperatury, zgodnie  z  oznaczeniami  na Rys. 4, współczynnik Kλij obliczamy z zależności:

                                   

                                                                                                      (18)

                                   

Po uwzględnieniu zależności (18) otrzymujemy następujące wzory robocze do obliczania średnich wartości współczynnika przewodzenia ciepła odpowiadających spadkom temperatury :

                                   

                                   

                                                                                                                                                (19)

                                   

                                   

 

4.2. Średnia wartość temperatury dla zakresu T_i-T_j

Średnie wartości temperatury, którym odpowiadają średnie wartości współczynnika przewodzenia ciepła  , oblicza się w oparciu o założenie parabolicznego rozkładu temperatury  w próbce [1]:

 

                                                                                                    (20)

 

                                                                                              (21)

n   -      wykładnik paraboli opisującej pole temperatury w ustalonym stanie w przekroju            badanej próbki.

Wartość wykładnika "n" określa się metodą planimetryczną, zgodnie ze schematem zamieszczonym na Rys. 4.

Dla kolejnych zakresów temperatury współczynnik  obliczamy ze wzorów:

                                   

                                   

                                                                                                                                                (22)

                                                                                                                                       

Po podstawieniu zależności (22) do (21) wzory robocze do obliczania średnich całkowych wartości temperatury odpowiadających średnim wartościom współczynnika przewodze­nia ciepła przyjmą postać:

                                                                                                (23)

 

5. Wykonanie ćwiczenia

5.1. Przygotowanie próbki

Przygotowanie próbki do pomiaru odbywa się w następującej kolejności :

a)    przygotowanie termoelementów oraz ich  zamontowanie w rurkach kwarcowych zgodnie z Rys. 3 i 4a,

b)    wykonanie cechowania silitu, który będzie stosowany podczas ćwiczenia,

c)    odważenie odpowiedniej ilości próbki stosownie do założonego stopnia zagęszczenia próbki,

d)    zamontowanie termoelementów i silitu oraz zagęszczenie próbki w aparacie,

e)    zamontowanie wkładek izolacyjnych; przyłączenie zapięcia do końcówek zasilających sili­tu; przyłączenie termoelementów do miernika napięcia temperatury.

 

5.2.  Przeprowadzenie pomiaru

Nagrzewanie próbki przeprowadza się przy pięciu wartościach mocy prądu zasilającego silit. Dla każdej mocy P_z nagrzewanie prowadzi się do momentu ustalenia się pola temperatury w próbce. Po odczytaniu wartości temperatury , pomiar prowadzi się dla kolej­nej, zwiększonej mocy prądu grzejnego. Po zakończeniu pomiaru, ostygnięciu próbki i roz­montowaniu aparatu należy ponownie wykonać cechowanie silitu, w związku z możliwością zmiany charakterystyki prądowej silitu w czasie ćwiczenia.

 

5.3. Przygotowanie pomiaru

Obliczenia, których wyniki zapisuje się w arkuszu obliczeniowym, wykonuje się w nastę­pującej kolejności :

a)    obliczenie współczynnika mocy prądu K_u, w oparciu o cechowanie silitu,

b)    wykreślenie pola temperatury oraz obliczenie wykładnika paraboli, opisującej pole temperatury w przekroju próbki , dla każdej z pięciu wartości mocy prądu grzejnego,

c)    obliczenie współczynników    do wzorów roboczych na średnią całkową wartość temperatury z zakresu   oraz na odpowiadającą temu zakresowi średnią wartość współczynnika przewodzenia ciepła   ,

e)    wykreślne przedstawienie zależności .

 

 

LITERATURA

1. Longa W. : Krzepnięcie odlewów w kokilach. Katowice, Śląsk, 1978. Rozdz. 6,  p. 1.4.4 , str. 518.