Ćwiczenie nr 2

Doświadczalne wyznaczanie masowego momentu bezwładności

Układ pierwszy (pręt):

m = 235g = 0,235kg

l = 281mm = 0,281m

a = $\frac{1}{2}*0,281m = 0,1405m$

d = 12mm = 0,012m r = 6mm = 0,006m

1. Metoda analityczna:

$$I = \ \frac{1}{3}\text{\ m\ }L^{2}$$

$$\mathbf{I = \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{*0,235\ kg*\ }{\mathbf{(0,281}\mathbf{m)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 0,0062}\mathbf{kg*m}^{\mathbf{2}}$$

1. Metoda doświadczalna:

$I = \ \frac{\text{mga}T^{2}}{4\pi^{2}}$

$$T_{1} = \ \frac{3,55s}{5} = 0,71s$$

$T_{2} = \ \frac{3,54s}{5} = 0,708s$ $Tsr = \ \frac{3,54s}{5} = 0,708s\ $

$$T_{3} = \ \frac{3,53s}{5} = 0,706s$$

$$\mathbf{I =}\frac{\mathbf{0,235}\mathbf{kg*9,81}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}\mathbf{*0,1405}\mathbf{m*}{\mathbf{(0,708}\mathbf{s)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4*}\mathbf{3,14}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 0,0041\ kg*}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\ }$$

Układ drugi (pręt + walec):

m_w = 829,0 g = 0,829kg

m_p = 0,235 kg

m_pw = m_w + m_p = 1,064 kg

L_w = 65 mm = 0,065m

L_p = 281mm = 0,281m

2r = 78mm = 0,078m r = 39mm = 0,039m

1. Metoda analityczna

śc = $\frac{\text{mp} + \left( \frac{1}{2} \right)\ \text{lp} + \text{mw} (\left( \frac{1}{2} \right)\text{lw} + \text{lp})}{\text{mpw}}$ = $\frac{0,235\text{kg} + \ \frac{1}{2}\ 0,281m + 0,829\text{kg}\ \ (\frac{1}{2}\ 0,065 + 0,281)}{1,064\ \text{kg}}$ = 0,2753 m

$$I_{w} = \frac{1}{12}*m_{w}*(3r^{2} + {L_{w}}^{2})$$

$$I_{w} = \frac{1}{12}*0,829kg*\left( 3{*\left( 0,039m \right)}^{2} + \left( 0,065m \right)^{2} \right) = \ {6,071*10}^{- 4}kg*m^{2}$$

$$I_{p} = \ \frac{1}{12}m*{L_{p}}^{2}$$

$$I_{p} = \frac{1}{12}*0,235*(0,281m)^{2} = 0,0015\ kg*m^{2}$$

I_pw = I_p + I_w

I = 0, 0015 kg * m²â€…+ 0, 0006071kg * m²â€„= 0, 00211 kg * m²

I_ukÅ‚ = I_pw + m_pw · Å›c²

I_ukÅ‚ = 0,00211 kg*m² + 1,064kg*(0,2753m)² = 0,0828 kg*m²

1. Metoda doświadczalna

$$I = \ \frac{\text{mga}T^{2}}{4\pi^{2}}$$

T₁ = $\frac{4,68}{5}$ s = 0,936 s

T₂ = $\frac{4,65}{5}$ s = 0,930 s TÅ›r = $\frac{T1 + T2 + T3}{3}$ = $\frac{0,936 + 0,930 + 0,910}{3}$ s = 0,925 s

T₃ = $\frac{4,55}{5}$ s = 0,910 s

I_ukÅ‚ = $\frac{\mathbf{\text{mpw}}\mathbf{\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{g}\mathbf{\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{\text{SC}}{\mathbf{\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{T}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}}$ = $\frac{\mathbf{1,064}\mathbf{\ }\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\ }\mathbf{}\mathbf{\ 9,81}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ }\mathbf{}\mathbf{\ 0,2753}\mathbf{m}\mathbf{\ }\mathbf{}{\mathbf{\ }\left( \mathbf{0,925}\mathbf{s} \right)}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4\ }\mathbf{}\mathbf{3,14}^{\mathbf{2}}}$ = 0,0624 kg · m²

Układ trzeci (półpierścień):

m = 597,4g = 0,5974kg

2R = 332mm = 0,332m R = 0,166m

2r = 290m = 0,29m r = 0,145m

d = 24mm = 0,024m

1. Metoda analityczna:

$$I = \frac{1}{2}m\ \left( R^{2} + r^{2} \right)$$

$$I = \frac{1}{2}*0,5974\text{kg}*\left( {0,166m}^{2} + {0,145m}^{2} \right) = \ 0,0145\ {\text{kg}*m}^{2}$$

I_x-moment bezwładności po przesunięciu jego środka ciężkości

x_c=R

$$y_{c} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{A_{i}*y_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}A_{i}}$$

A – powierzchnia figury wyznaczona ze wzoru: $\frac{\pi*r^{2}}{2}$

środek ciężkości półkola to: $\frac{4r}{3\pi}$

$$y_{c} = \frac{4*(R^{3} - r^{3})}{3*\pi*(R^{2} - r^{2})} = \frac{4*({0,166}^{3} - {0,145}^{3})}{3\pi*({0,166}^{2} - {0,145}^{2})} = 0,099145 \cong 0,1\ m$$

a=$\sqrt{R^{2} + {y_{c}}^{2}} = \ \sqrt{{0,166}^{2} + {0,0991}^{2}} = 0,193\text{\ m}$

I_x = I + ma²

I_x=0,0145kg*m²+0,5974kg*(0,193m)²=0,0368 kg*m²

1. Metoda doświadczalna:

$$I = \ \frac{\text{mga}T^{2}}{4\pi^{2}}$$

$$T_{1} = \ \frac{4,16s}{5} = 0,832s$$

$T_{2} = \ \frac{4,11s}{5} = 0,822s$ Tsr =  0, 818s

$$T_{3} = \ \frac{0,8s}{5} = 0,8s$$

$$\mathbf{I = \ }\frac{\mathbf{0,5974}\mathbf{kg*9,81}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}\mathbf{*0,193}\mathbf{m*(0,818}\mathbf{s}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4*}\mathbf{3,14}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 0,0192\ kg}\mathbf{*}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

Zestawienie wyników:

	pręt	pręt+walec	półpierścień
m [kg]	0,235	1,064	0,5974
l [m]	0,281	0,346	-
R [m]	-	-	0,166
r [m]	-	-	0,145
Tśr [s]	0,708	0,925	0,818
Ianalit [kg*m^2]	0,0062	0,0828	0,0368
Idośw [kg*m^2]	0,0041	0,0624	0,0192
różnica [%]	34	15	48

Wnioski:

Podsumowując wyniki, możemy zauważyć, że masowy moment bezwładności wyznaczony analitycznie różni się od momentu bezwładności wyznaczonego doświadczalnie. Im bardziej nieregularny kształt ma bryła tym większa jest różnica. Może być ona spowodowana oporem powietrza przy wyznaczaniu doświadczalnym, przez co ruch wahadła fizycznego był tłumiony. Innym powodem mogło być niewłaściwe przymocowanie lub niedokładność pomiaru okresów drgań wahadła brył. Wyznaczanie masowego momentu bezwładności metoda analityczną jest dokładniejsze, ponieważ unika się wyżej wymienionych błędów, jednak często z powodu bardzo skomplikowanych kształtów znacznie łatwiej jest wyznaczyć moment bezwładności brył doświadczalnie.