12. Transformacja Galileusza, a transformacja Lorentza

Układ inercjalny – Układ odniesienia związany z ciałem poruszającym się ruchem jednostajnie prostoliniowym, tj gdy v(t) = const, nazywamy inercjalnym układem odniesienia. Poszczególne inercjalne układy poruszają się względem siebie ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Często przyjmuje się, że Ziemia jest układem inercjalnym lub zakłada się istnienie tzw gwiazd stałych!

Transformacje Galilusza

Zakładamy, że mamy układy inercjalne poruszające się względem siebie. W chwili t w punkcie P zachodzi zjawisko fizyczne, które nazwiemy zdarzeniem. W układzie S obserwator opisze to zjawisko współrzędnymi x, y, z Natomiast obserwator w układzie S’ poruszającym się z prędkością u względem S, opisze to zdarzenie współrzędnymi x’, y’, z’
Transformacja Galileusza wiążąca ze sobą współrzędne zdarzenia w obu układach:

Czas w obu układach płynie tak samo: t’ = t ; Transformacja przyspieszenia:

Zasada względności Galileusza – Prawa mechaniki muszą być takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, czyli są niezmienne względem transformacji Galileusza.

Uwagi: Nie da się stwierdzić doświadczalnie czy ukł. się porusza ruchem jednostajnym czy stoi (względem innego ukł. odniesienia)

Transformacje Lorentza

Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów przekładających spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znaleźć transformację współrzędnych ale taką, w której obiekt poruszający się z prędkością równą c w układzie nieruchomym (x, y, z, t), również w układzie (x', y', z', t') poruszającym się z prędkością V wzdłuż osi x będzie poruszać się z prędkością c.

Transformacja współrzędnych, która uwzględnia niezależność prędkości światła od układu odniesienia ma postać

(11.3)

gdzie β = V/c. Te równania noszą nazwę transformacji Lorentza.

Omówimy teraz niektóre wnioski wynikające z transformacji Lorentza.

Przyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi x' (czyli także wzdłuż osi x, bo zakładamy, e te osie s równoległe) pewne dwa zdarzenia zachodzą równocześnie Δt' = t₂' ‑ t₁' = 0, ale w rożnych miejscach x₂' ‑ x₁' = Δx' ≠ 0. Sprawdźmy, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora w spoczynku. Z transformacji Lorentza wynika, że

Łącząc oba powyższe równania otrzymujemy związek

(11.4)

Jeżeli teraz uwzględnimy fakt, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą są jednoczesne Δt' = 0 to otrzymamy ostatecznie

(11.5)

Widzimy, że równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna, w układzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie są jednoczesne.

Skrócenie długości

Teraz rozpatrzmy inny przykład. W rakiecie poruszającej się z prędkością V, wzdłuż osi x' leży pręt o długości L'. Sprawdźmy jaką dugość tego pręta zaobserwuje obserwator w układzie nieruchomym.

Pomiar dugości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się na końcach pręta to Δx' = L'. Ponadto żarówki zapalają się w tym samym czasie (dla obserwatora w układzie spoczywającym ) to dodatkowo Δt = 0. Uwzględniając te warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza

x jest długością pręta L w układzie nieruchomym więc

Okazuje się, że pręt ma mniejszą dugość, jest krótszy.

Źródło zeszyt {

Warunki jakie muszą spełniać transformacje lorentza:

1. Nie zmiennicze względem odwrócenia przy zamianie V-> -V to transformacje muszą być takie same

2. Jeżeli jakieś zdarzenie zaszło w pierwszym układzie w „skończoności” to musi zajść w skończoności w układzie.

3. Prędkość światła w obu układach jest jednakowa i równa „c”.}