25. Ruch prosty harmoniczny:

Ruch drgający prosty (harmoniczny)

1. Ruch harmoniczny jest to taki ruch drgający w którym wychylenie z położenia równowagi zmienia się wraz z upływem czasu tak jak funkcja sinus, lub:

ruch harmoniczny jest to taki ruch drgający, w którym wartość działającej siły jest wprost proporcjonalna do wychylenia a wektor siły jest zwrócony do środka drgań
Np. ruch ciężarka na końcu sprężyny lub ruch wahadła matematycznego (dla małych wychyleń).

Ruch harmoniczny jest ruchem niejednostajnie zmiennym.

2. Związek między ruchem jednostajnym po okręgu a ruchem harmonicznym: rzut punktu poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu na prostą równoległą do średnicy okręgu porusza się ruchem harmonicznym.

Z tego związku wynika, że do opisu ruchu harmonicznego można wykorzystać wielkości opisujące ruch po okręgu.

3. Wielkości opisujące ruch harmoniczny:

a) wychylenie x [m] - jest to odległość aktualnego położenia ciała od położenia równowagi (w którym działające siły się równoważą),

b) amplituda A [m] - maksymalne wychylenie z położenia równowagi,

c) faza ruchu  [rad] - kąt jednoznacznie określający położenie ciała,

d) faza początkowa ₀[rad] - kąt określający położenie początkowe ciała (najczęściej przyjmujemy ₀=0),

e) okres ruchu T [s] - czas w którym nastąpiło jedno pełne drganie,

f) częstotliwość f [Hz] - liczba pełnych drgań w ciągu jednej sekundy,

g) częstość kołowa  [Hz] - wielkość związana z częstotliwością wzorem

.

4.a) wahadło matematyczne jest to masa skupiona w jednym punkcie zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici (modelem takiego wahadła jest ciężka mała kulka zawieszona na mocnej nici).

b) wahadło fizyczne jest to dowolne ciało sztywne zawieszone powyżej środka masy, tak aby mogło wykonywać drgania.

5. Rezonans mechaniczny jest to zjawisko pobudzania ciała do drgań o rosnącej amplitudzie wskutek działania okresowo zmiennej siły zewnętrznej Okres zmian tej siły jest równy okresowi drgań własnych ciała.

Sprężyna:

Na powyższym rysunku przedstawiony jest prosty oscylator harmoniczny. Jest nim klocek o masie m przyczepiony do sprężyny o stałej sprężystości k. Pierwsza sprężyna jest rozciągnięta, druga jest w stanie równowagi, a trzecia jest ściśnięta. W każdym z trzech przypadków przedstawiona jest siła F, z jaką sprężyna działa na masę m. Zakładamy, że klocek ślizga się po doskonale gładkim poziomym stole.
Zwróć uwagę, że istnieje położenie (położenie równowagi), w którym sprężyna nie działa żadną siłą na ciało. Jeżeli ciało jest przesunięte w prawo, to sprężyna oddziałuje na ciało siłą skierowaną w lewo, wynoszącą F = -kx. Jeżeli ciało jest przesunięte w lewo, to siła działa na prawo i wynosi także F = -kx. W tym przypadku jest to siła przywracająca równowagę układowi. Ruch drgającego klocka jest ruchem harmonicznym prostym. Ruch harmoniczny prosty charakteryzuje się również tym, że granice wychyleń są jednakowe po obu stronach położenia równowagi (u nas jest to wartość x).

Stosując drugą zasadę dynamiki Newtona (F = ma), otrzymamy równanie:

Student AGH zapisałby powyższe równanie jako...

...po czym by stwierdził, że jest to proste tzw. równanie różniczkowe i znalazłby wartość x.
Dla ucznia / uczennicy szkoły średniej jest to zbyt trudne, dlatego bez wyliczania podaje się rozwiązanie równania (1), które należy zapamiętać

gdzie:

Najpierw omówimy fizyczne znaczenie stałej ω. Jeżeli w równaniu (2) zwiększymy czas t o 2π/ω, to funkcja x przyjmie postać:

Widzimy, że po czasie 2π/ω funkcja ta przyjmuje swoją poprzednią wartość. Zatem 2π/ω jest okresem T ruchu harmonicznego prostego.

Wahadło proste (matematyczne):

---