TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI

MODEL I

Założenia

- populacja generalna ma rozkład normalny o nieznanej wartości średniej m oraz znanym odchyleniu standardowym

- hipotezę weryfikujemy za pomocą n-elementowej próby

Etapy weryfikacji:

stawiamy hipotezę zerową, że średnia m ma wartość
, tzn:

wobec hipotezy alternatywnej:

1
2
3

za sprawdzian hipotezy przyjmujemy średnią arytmetyczną

jeżeli
jest prawdziwa to statystyka o postaci:

ma rozkład
,

1

ustalamy wartość
(tzw. wartość krytyczna), której nie powinien przekraczać moduł statystyki U, określając ją w taki sposób w rozkładzie
, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

wartości zmiennej u spełniające nierówność
są obszarem krytycznym testu, tzn.:

Obszar krytyczny (dwustronny)

ϕ(u)

0
u

2

ustalamy wartość
, której nie powinna przekraczać statystyka U, określając ją w taki sposób w rozkładzie
, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

wartości zmiennej U spełniające nierówność
stanowią obszar krytyczny testu, tzn.:

Obszar krytyczny (prawostronny)

ϕ(u)

0 u_α u

3

ustalamy wartość
, od której powinna być większa statystyka U, określając ją w taki sposób w rozkładzie
, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

wartości zmiennej U spełniające nierówność
stanowią obszar krytyczny testu, tzn.:

Obszar krytyczny (lewostronny)

ϕ(u)

-u_α 0 u

Jeżeli z próby uzyskamy taką wartość statystyki u, że

-
to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

-
to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

MODEL II

Założenia

- populacja generalna ma rozkład normalny o nieznanej wartości średniej m oraz nieznanym odchyleniu standardowym ,

- hipotezę weryfikujemy za pomocą małej, n-elementowej próby (n<120).

Etapy weryfikacji

stawiamy hipotezę zerową, że średnia m ma wartość
, tzn.:

wobec hipotezy alternatywnej

,

do weryfikacji hipotezy wykorzystujemy zmienną o postaci
, która ma rozkład t-Studenta o n-1 stopniach swobody,

ustalamy wartość krytyczną
, której nie powinien przekraczać moduł statystyki t, określając ją w taki sposób w rozkładzie t-Studenta, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

wartości zmiennej t spełniające nierówność
są obszarem krytycznym testu, tzn.:

Jeżeli z próby uzyskamy taką wartość statystyki t, że:

-
to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

-
to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia

MODEL III

Założenia

- populacja generalna ma dowolny rozkład z nieznanymi parametrami,

- hipotezę weryfikujemy za pomocą dużej, n-elementowej próby (n>120).

Etapy weryfikacji:

Stawiamy hipotezę zerową, że średnia m ma wartość
, tzn.:

wobec hipotezy alternatywnej:

za sprawdzian hipotezy przyjmujemy średnią arytmetyczną
mającą asymptotyczny rozkład
,

jeżeli
jest prawdziawa to statystyka o postaci

ma asymptotyczny rozkład

TESTY ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH WARTOŚCI OCZEKIWANYCH

Etapy weryfikacji

stawiamy hipotezę zerową, że średnia m₁ jest równa m₂, tzn.:

wobec hipotezy alternatywnej

, lub
, lub

MODEL I

Założenia:

• badane cechy maja rozkłady normalne
  oraz
  ,

• znane są odchylenia standardowe z populacji (σ₁, σ₂) tych zmiennych,

sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

charakteryzująca się rozkładem normalnym.

MODEL II

Założenia:

• badane cechy maja rozkłady normalne
  oraz
  ,

• nieznane są odchylenia standardowe z populacji (σ₁, σ₂) tych zmiennych,

• liczebności prób są małe n_k ≤ 30,

1. wariancje w obu populacjach są jednakowe.

sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

która ma rozkład Studenta o (n₁+n₂-2) stopniach swobody.

2. wariancje w obu populacjach nie są jednakowe.

sprawdzianem hipotezy jest statystyka Cohrana i Coxa:

dla której wartość krytyczną odczytujemy według schematu:

MODEL III

Założenia:

• badane cechy mają dowolne rozkłady,

• wariancje przyjmują wartości skończone,

• nieznane są odchylenia standardowe z populacji'

• liczebności prób są duże n_k > 30

sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

charakteryzująca się rozkładem normalnym

TEST ISTOTNOSCI DLA WARIANCJI

Etapy weryfikacji

stawiamy hipotezę zerową, że wariancje σ₁ jest równa σ ₂, tzn.:

wobec hipotezy alternatywnej

, lub
, lub

Model I

Założenia:

• badana cecha ma rozkład normalny
  ,

• nieznana jest wartość oczekiwana z populacji,

• liczebność próby jest mała n ≤ 30,

sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

która ma rozkład chi - kwadrat z n - 1 stopniami swobody

Model II

Założenia:

• badana cecha ma rozkład normalny
  ,

• nieznana jest wartość oczekiwana z populacji,

• liczebność próby jest duża n > 30,

sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

która ma rozkład zbliżony do normalnego

TEST ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH WARIANCJI

Założenia

• badane są dwie populacje o rozkładach odpowiednio

oraz
,

• żaden z parametrów tych rozkładów nie jest znany,

• hipotezę weryfikujemy na podstawie dwóch niezależnych prób o liczebnościach odpowiednio n₁ i n₂.

Etapy weryfikacji

• stawiamy hipotezę zerową, że wariancje w obu populacjach są identyczne, tzn.:

wobec hipotezy alternatywnej:

• do weryfikacji hipotezy wykorzystujemy wariancje
  i
  obliczane z dwóch niezleżnych prób gdzie:

• jeżeli H₀ jest prawdziwa to statystyka o postaci:

ma rozkład F-Snedecora o
oraz
stopniach swobody

• ustalamy wartość krytyczną
  , której nie powinna przekraczać statystyka F, określając ją w taki sposób w rozkładzie F-Snedecora, aby dla ustalonego poziomu α zachodziła relacja:

• wartości zmiennej F spełniają nierówność
  są obszarem krytycznym testu, tzn.:

• jeżeli uzyskamy taką wartość statystyki F, że:

• 
  to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

• 
  to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

TEST ISTOTNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieństwem p oznaczającym, że badana cecha przyjmie wyróżnioną wartość,

• liczebność próby jest duża (n≥100) sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

która ma w przybliżeniu rozkład normalny → N(0, 1)

, q₀=1-p₀, gdzie n_i - liczba jednostek o wyróżnionej wartości cechy w badanej próbie.

Obszar odrzucenia - obustronny, prawostronny, lewostronny.

Zbiorami krytycznymi testu są przedziały:

• H₁: p≠p₀ →
  

• H₁: p>p₀ →
  

• H₁: p<p₀ →
  

TEST ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH WSKAŹNIKÓW STRUKTURY

Założenia:

• populacje generalne mają rozkłady dwupunktowe z prawdopodobieństwami p₁ i p₂ oznaczające, że badane cechy przyjmują wyróżnione wartości,

• liczebności prób są duże (n₁ ≥100 oraz n₂ ≥100) sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

która ma w przybliżeniu rozkład normalny → N(0, 1).

;
;
;
, gdzie n_ik- ilość jednostek o wyróżnionych wartościach cechy dla k-tych prób

TEST ISTOTNOŚCI DLA WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI LINIOWEJ

Współczynnik korelacji liniowej (ρ) jest nieznany

Założenia:

• dwuwymiarowy rozkład zmiennych losowych X i Y w populacji generalnej jest rozkładem normalnym N(m₁, m₂, σ₁, σ₂),

1. liczebność próby jest mała sprawdzianem hipotezy jest statystyka

która przy założeniu słuszności
ma rozkład Studenta z n - 2 stopniami swobody

2. liczebność próby jest duża sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

która przy założeniu słuszności
ma rozkład normalny → N(0, 1)

c) sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

gdzie

która przy założeniu słuszności
ma, już dla niedużych
w przybliżeniu rozkład normalny

TEST ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI LINIOWEJ

Założenia:

• dwuwymiarowy rozkład zmiennych losowych, dla których wyznaczono współczynniki korelacji r₁ i r₂ w populacji generalnej jest w przybliżeniu rozkładem normalnym,

sprawdzianem hipotezy jest statystyka

która przy założeniu słuszności
ma rozkład normalny → N(0, 1)

gdzie :

a błąd standardowy z_r wyraża się wzorem:

Zastosowanie testu w przypadku prób nawet o wyraźnej różnicy w liczebnościach jest proste, lecz interpretacja ewentualnej różnicy pomiędzy współczynnikami korelacji niezwykle trudna

Test niezależności χ²

Służy do weryfikacji hipotezy, że badane cechy są niezależne, przy czym mogą to być cechy: jakościowe, ilościowe oraz jakościowe i ilościowe. Jeżeli próba prosta ma dużą liczebność sprawdzianem hipotezy jest statystyka:

w przypadku tablicy czteropolowej

,

ma asymptotyczny rozkład χ² o (r-1)(k-1) stopniach swobody

a, b, c, d, n_ij - liczebności empiryczne w poszczególnych polach tablicy niezależności, np_ij - liczebności teoretyczne (hipotetyczne) w poszczególnych polach tablicy dwudzielnej
.

H₀: χ² = 0 H₁: χ² > 0

Obszar odrzucenia - prawostronny. Zbiorem krytycznym testu jest przedział:

• H₁: cechy X i Y są zależne →
  

TEST SERII

Służy do zweryfikowania hipotezy o losowości próby.

Wyznaczamy medianę; po jej wyznaczeniu przyporządkowujemy dwa symbole - jeden wartościom mniejszym od mediany, drugi wartościom większym od mediany. Wartości równe medianie pomijamy (jeżeli nie obliczamy mediany, dwa różne sym­bole przyporządkowujemy - jeden elementom populacji pierwszej, drugi elementom populacji drugiej); wyznaczamy ogólną liczbę serii, przez którą rozumiemy każdy maksymalny podciąg składający się z kolejnych elementów tego samego rodzaju; z tablic rozkładu serii odczytujemy dwie wartości krytyczne k₁ i k₂, takie, że:

k₁ < K < k₂ - nie ma podstaw do odrzucenia H₀ o losowości próby,

K
k₁ lub K ≥ k₂ - odrzucamy H₀ o losowości próby.

Obszar odrzucenia - obustronny

,

Test serii. Dwie próby pobrane z populacji o dowolnym rozkładzie.

H₀ : próby pochodzą z tej samej populacji generalnej,

H₁ : próby pochodzą z dwóch różnych populacji generalnych.

Zaczynamy od oznaczenia przez a wszystkich n₁ wyników w pierwszej próbie oraz przez b wszystkich n₂ wyników w drugiej próbie. Następnie wszystkie wyniki obu prób razem porządkujemy rosnąco, co da nam analogiczny ciąg, jak w modelu poprzednim. Odmiennie niż poprzednio, budujemy tutaj lewostronny obszar krytyczny na poziomie istotności α w taki sposób, żeby

P{k ≤ k_α} = α.

Gdy k ≤ k_α , to odrzucamy H₀. To znaczy, że dwie próby istotnie pochodzą z dwóch różnych populacji generalnych

TEST ZGODNOŚCI

stawiamy hipotezę zerową, że populacja generalna ma rozkład określony pewną dystrybuantą

,

wobec hipotezy alternatywnej:

losujemy z populacji dużą próbę, z której wyniki porządkujemy w rozkład empiryczny, przez utworzenie r rozłącznych klas wartości badanej zmiennej w próbie,

przyjmując, że
jest prawdziwa, tzn., że rozkład populacji generalnej opisany jest dystrybuantą
, liczymy prawdopodobieństwo
tego, że zmienna losowa przyjmuje wartości z i-tej klasy,

oceniamy zgodność rozkładu empirycznego z rozkładem hipotetycznym poprzez obserwację różnic pomiędzy liczebnościami empirycznymi
a liczebnościami teoretycznymi (hipotetycznymi)
w oparciu o statystykę o postaci:

która przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej ma asymptotyczny rozkład
o
stopniach swobody, gdzie k oznacza liczbę parametrów rozkładu, które zostały oszacowane na podstawie rozkładu empirycznego

ustalamy wartość krytyczną
, której nie powinna przekraczać statystyka
, określając ją w taki sposób w rozkładzie Chi-kwadrat, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

wartości zmiennej
spełniające nierówność
są obszarem krytycznym testu, tzn.:

jeżeli uzyskamy taką wartość statystyki
, że

-
to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

• 
  to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Test zgodności
Kołmogorowa

sup = supremum

;
- dystrybuanty, patrz wyżej.

Jeśli
H₀ należy odrzucić

_ odczytuje się z tablic rozkładu  Kołmogorowa

w taki sposób, żeby współczynnik ufności
,

na przykład: dla α = 0,05 oraz 1 - α

Test zgodności Smirnowa-Kołmogorowa

gdzie:

gdy
to H₀ należy odrzucić

Warunki stosowania testu
Kołmogorowa:

1) zmienne ciągłe, 2) małe przedziały klasowe, 3) duża liczba przedziałów klasowych.

---