Testowanie, WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH


WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

PODSTAWOWE POJĘCIA

Def. Przez hipotezę statystyczną rozumiemy dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość przypuszczenia oceniana jest na podstawie wyników próby losowej.

Def. Zbiór hipotez dopuszczalnych jest zbiorem rozkładów,

o których wiemy, że mogą charakteryzować populację generalną.

Typy hipotez:

hipotezy proste

hipotezy złożone

hipotezy parametryczne

hipotezy nieparametryczne

Def. Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania, która każdej możliwej próbie losowej pobranej z populacji generalnej przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub odrzucenia stawianej hipotezy.

ZASADY KONSTRUKCJI TESTÓW STATYSTYCZNYCH

formułujemy hipotezę, która podlega weryfikacji (tzw. hipotezę zerową) i zapisujemy ją jako:

0x01 graphic

formułujemy hipotezę będącą zaprzeczeniem hipotezy zerowej (tzw. hipotezę alternatywną), którą przyjmuje się za prawdziwą w przypadku odrzucenia tej pierwszej i zapisujemy ją jako:

0x01 graphic

oznaczamy przez W zbiór wszystkich możliwych wyników n-elementowej próby (tzw. przestrzeń próby) oraz przez 0x01 graphic
pewną próbę (tzw. punkt przestrzeni próby).

określamy taki obszar przestrzeni próby w, że:

- jeśli 0x01 graphic
(tzn. wynik próby znajdzie się w tym obszarze) to sprawdzaną hipotezę zerową odrzucamy,

- jeśli 0x01 graphic
(tzn. wynik próby nie znajdzie się w tym obszarze) to hipotezę zerową przyjmujemy.

Def. Obszar w nazywamy obszarem odrzucenia hipotezy lub obszarem krytycznym testu.

Def. Obszar W-w nazywamy obszarem przyjęcia hipotezy zerowej.

BŁĘDY W TESTOWANIU HIPOTEZ

STATYSTYCZNYCH

Def. Błędem I rodzaju nazywamy błąd polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej pomimo, że jest ona prawdziwa.

Prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju definiujemy jako:

0x01 graphic

Def. Błędem II rodzaju nazywamy błąd polegający na przyjęciu hipotezy zerowej pomimo, że jest ona fałszywa.

Prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju definiujemy jako:

0x01 graphic

Testy najmocniejsze - testy minimalizujące prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju 0x01 graphic
przy ustalonym z góry poziomie prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju 0x01 graphic
.

Moc testu M (w) - prawdopodobieństwo odrzucenia fałszywej hipotezy H0 i przyjęcia w to miejsce prawdziwej hipotezy alternatywnej:

0x01 graphic

Związek między mocą testu i prawdopodobieństwem błędu II rodzaju:

0x01 graphic

ZASADY BUDOWY TESTÓW ISTOTNOŚCI

formułujemy hipotezę zerową 0x01 graphic
oraz hipotezę alternatywną 0x01 graphic
,

na podstawie próby losowej 0x01 graphic
wyznaczamy pewną statystykę 0x01 graphic
(sprawdzian hipotezy 0x01 graphic
), której rozkład określa się przy założeniu, że hipoteza 0x01 graphic
jest prawdziwa,

wyznaczamy taki obszar wartości statystyki 0x01 graphic
oznaczany jako (tzw. obszar krytyczny testu), aby dla z góry określonego małego prawdopodobieństwa (tzw. poziom istotności) był spełniony warunek:

0x01 graphic

jeżeli otrzymana w wyniku konkretnej próby wartość 0x01 graphic
statystyki 0x01 graphic
:

- przyjmie wartość z obszaru , sprawdzaną hipotezę 0x01 graphic
odrzucamy na korzyść hipotezy 0x01 graphic
,

- znajdzie się poza obszarem , stwierdzamy jedynie, że nie ma podstaw do odrzucenia sprawdzanej hipotezy 0x01 graphic
.

TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARTOŚCI ŚREDNIEJ

W POPULACJI

A

Założenia

- populacja generalna ma rozkład normalny o nieznanej wartości średniej m oraz znanym odchyleniu standardowym

- hipotezę weryfikujemy za pomocą n-elementowej

próby

Etapy weryfikacji:

stawiamy hipotezę zerową, że średnia m ma wartość 0x01 graphic
, tzn:

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej:

10 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

za sprawdzian hipotezy przyjmujemy średnią arytmetyczną 0x01 graphic

jeżeli 0x01 graphic
jest prawdziwa to statystyka o postaci:

0x01 graphic

ma rozkład 0x01 graphic
,

0x01 graphic

ustalamy wartość 0x01 graphic
(tzw. wartość krytyczna), której nie powinien przekraczać moduł statystyki U, określając ją w taki sposób w rozkładzie 0x01 graphic
, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

0x01 graphic

wartości zmiennej u spełniające nierówność 0x01 graphic
są obszarem krytycznym testu, tzn.:

0x01 graphic

Obszar krytyczny (dwustronny)

0x08 graphic
ϕ(u)

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
0 0x01 graphic
u

0x01 graphic

ustalamy wartość 0x01 graphic
, której nie powinna przekraczać statystyka U, określając ją w taki sposób w rozkładzie 0x01 graphic
, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

0x01 graphic

wartości zmiennej U spełniające nierówność 0x01 graphic
stanowią obszar krytyczny testu, tzn.:

0x01 graphic

Obszar krytyczny (prawostronny)

0x08 graphic
ϕ(u)

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0 uα u

0x01 graphic

ustalamy wartość 0x01 graphic
, od której powinna być większa statystyka U, określając ją w taki sposób w rozkładzie 0x01 graphic
, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

0x01 graphic

wartości zmiennej U spełniające nierówność 0x01 graphic
stanowią obszar krytyczny testu, tzn.:

0x01 graphic

Obszar krytyczny (lewostronny)

0x08 graphic
ϕ(u)

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
-uα 0 u

Jeżeli z próby uzyskamy taką wartość statystyki u, że

- 0x01 graphic
to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

- 0x01 graphic
to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

B

Założenia

- populacja generalna ma rozkład normalny o nieznanej wartości średniej m oraz nieznanym odchyleniu standardowym ,

- hipotezę weryfikujemy za pomocą małej, n-elementowej próby (n<120).

Etapy weryfikacji

stawiamy hipotezę zerową, że średnia m ma wartość 0x01 graphic
, tzn.:

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej

0x01 graphic
,

do weryfikacji hipotezy wykorzystujemy zmienną o postaci 0x01 graphic
, która ma rozkład t-Studenta o n-1 stopniach swobody,

ustalamy wartość krytyczną 0x01 graphic
, której nie powinien przekraczać moduł statystyki t, określając ją w taki sposób w rozkładzie t-Studenta, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

0x01 graphic

wartości zmiennej t spełniające nierówność 0x01 graphic
są obszarem krytycznym testu, tzn.:

0x01 graphic

Jeżeli z próby uzyskamy taką wartość statystyki t, że:

- 0x01 graphic
to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

- 0x01 graphic
to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia 0x01 graphic

C

Założenia

- populacja generalna ma dowolny rozkład z nieznanymi parametrami,

- hipotezę weryfikujemy za pomocą dużej, n-elementowej próby (n>120).

Etapy weryfikacji:

Stawiamy hipotezę zerową, że średnia m ma wartość 0x01 graphic
, tzn.:

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej:

0x01 graphic

za sprawdzian hipotezy przyjmujemy średnią arytmetyczną 0x01 graphic
mającą asymptotyczny rozkład 0x01 graphic
,

jeżeli 0x01 graphic
jest prawdziawa to statystyka o postaci

0x01 graphic

ma asymptotyczny rozkład 0x01 graphic

TEST ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH WARIANCJI

Założenia

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
,

Etapy weryfikacji

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

ma rozkład F-Snedecora o 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
stopniach swobody

0x01 graphic

0x01 graphic

TEST ZGODNOŚCI 0x01 graphic

stawiamy hipotezę zerową, że populacja generalna ma rozkład określony pewną dystrybuantą 0x01 graphic

0x01 graphic
,

wobec hipotezy alternatywnej:

0x01 graphic

losujemy z populacji dużą próbę, z której wyniki porządkujemy w rozkład empiryczny, przez utworzenie r rozłącznych klas wartości badanej zmiennej w próbie,

przyjmując, że 0x01 graphic
jest prawdziwa, tzn., że rozkład populacji generalnej opisany jest dystrybuantą 0x01 graphic
, liczymy prawdopodobieństwo 0x01 graphic
tego, że zmienna losowa przyjmuje wartości z i-tej klasy,

oceniamy zgodność rozkładu empirycznego z rozkładem hipotetycznym poprzez obserwację różnic pomiędzy liczebnościami empirycznymi 0x01 graphic
a liczebnościami teoretycznymi (hipotetycznymi) 0x01 graphic
w oparciu o statystykę o postaci:

0x01 graphic

która przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej ma asymptotyczny rozkład 0x01 graphic
o 0x01 graphic
stopniach swobody, gdzie k oznacza liczbę parametrów rozkładu, które zostały oszacowane na podstawie rozkładu empirycznego

ustalamy wartość krytyczną 0x01 graphic
, której nie powinna przekraczać statystyka 0x01 graphic
, określając ją w taki sposób w rozkładzie Chi-kwadrat, aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:

0x01 graphic

wartości zmiennej 0x01 graphic
spełniające nierówność 0x01 graphic
są obszarem krytycznym testu, tzn.:

0x01 graphic

jeżeli uzyskamy taką wartość statystyki 0x01 graphic
, że

- 0x01 graphic
to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

- 0x01 graphic
to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

TESTY ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH ŚREDNICH

A

Założenia

Etapy weryfikacji

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej

10 0x01 graphic
20 0x01 graphic
30 0x01 graphic

0x01 graphic

ma rozkład N(0;1)

TESTY ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH ŚREDNICH

B

Założenia

Etapy weryfikacji

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej

10 0x01 graphic
20 0x01 graphic
30 0x01 graphic

za sprawdzian hipotezy przyjmuje statystykę o postaci:

0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic

TESTY ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH ŚREDNICH

C

Założenia

Etapy weryfikacji

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej

10 0x01 graphic
20 0x01 graphic
30 0x01 graphic

0x01 graphic

ma rozkład N(0;1)

TESTY ISTOTNOŚCI ŚREDNIEJ RÓŻNICY

DOBIERANYCH PAR WARTOŚCI

D

Założenia

Etapy weryfikacji

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej

10 0x01 graphic
20 0x01 graphic
30 0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic

TESTY ISTOTNOŚCI DLA FRAKCJI

Założenia

Etapy weryfikacji

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej:

10 0x01 graphic
20 0x01 graphic
30 0x01 graphic

0x01 graphic
,

gdzie X jest zmienną losową oznaczającą liczbę wyróżnionych elementów w próbie mającą asymptotyczny rozkład 0x01 graphic

ma asymptotyczny rozkład N(0;1)

TESTY ISTOTNOŚCI DLA RÓŻNICY DWÓCH FRAKCJI

Założenia

Etapy weryfikacji

0x01 graphic

10 0x01 graphic
20 0x01 graphic
30 0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, która posiada asymptotyczny rozkład 0x01 graphic

0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic

ma rozkład N(0;1)



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Weryfikacja hipotez statystycznych
w7i8, Weryfikacja hipotez statystycznych
5 Weryfikacja hipotez statystycznych z wykorzystaniem testˇw parametrycznych
Ćwiczenia 7 weryfikacja hipotez statystycznych
3 zadania, zadania weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych 2, SQL, Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez 3 (2 średnie), Semestr II, Statystyka matematyczna
Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez- Średnia Duża próba, Semestr II, Statystyka matematyczna

więcej podobnych podstron