Egzamin 2000.04.08

Zadanie 1.

Treść

Które z poniższych równań jest prawdziwe:

• 
  

• 
  

• 
  

• A) tylko
  

• B) tylko
  

• C) tylko
  

• D)
  ,
  oraz
  

• E) żadna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest prawdziwa

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Będę po kolei próbował przekształcać lewą stronę w prawą.

Niech
oraz
. Z Równości

mam:

Zatem:

Co daje, że prawidłowa odpowiedzią jest A.

Zadanie 2.

Treść

Wyznacz
, jeżeli wiadomo że
oraz
dane jest wzorem:

dla

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E) żadna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest prawdziwa

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Mamy, że:



Zatem:


Komisja pomyliła się, nie mam poprawnej odpowiedzi.

Zadanie 3.

Treść

Pożyczka w wysokości
będzie spłacona za pomocą
rat dokonywanych na końcu każdego kwartału każda w wysokości X. Oprocentowanie pożyczki wynosi
przy półrocznej kapitalizacji odsetek. Prawdziwe są na stępujące stwierdzenia:

• I Rata wynosi
  

• II Spłata kapitału w ostatniej racie wynosi
  

• III Całkowity koszt odsetek zapłaconych przez okres spłaty pożyczki wynosi
  

• IV Spłata kapitału po raz pierwszy przewyższy spłatę odsetek w
  racie

• A) tylko I i II

• B) tylko II i III

• C) tylko I, II i III

• D) I, II, III i IV

• E) żadna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest poprawna

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Zacznę do wyznaczenia wysokości spłaty kredytu:


Policzę teraz wartość z punku I.




Zatem można przekształci powyższe wyrażenie w następujący sposób:


Co daje, że I jest prawidłowe.
II także jest prawidłowe. Istotnie, po przed ostatniej spłacie pozostaje do spłacenia $X$ za kwartał. Także dyskontując go dostajemy pozostały kapitał do spłacenia:
.
III stwierdzenie jest prawdziwe, gdyż kwota
określa ile kredytobiorca wpłacił do banku, a 1000 jest zaciągniętym kredytem. Także ich różnica jest wysokością odsetek.
IV Sprawdzę teraz, w której racie po raz pierwszy spłata kapitału przewyższy spłatę odsetek. Niech
oznacza momenty płatności
-szej raty. Wówczas zadłużenie w momencie
(po
-tej spłacie) będzie się równać zdyskontowanych na ten moment przyszłych spłat:


Mnożąc
przez
otrzymam odsetki zapłacone w n-tej racie. Zatem różnica
oznacza część kapitałową w n-tej racie. Dzieląc powyższe powyższe przez X i przyrównując do
będę mógł wyznaczyć n dla którego rata kapitałowa równa się racie odstekowej. Zatem:


Zatem w 18 spłacie po raz pierwszy rata kapitałowa przewyższyła ratę odsetkową. Zatem tylko I,II i III są poprawne co daje odpowiedź C.

Zadanie 4.

Treść

Ile wynosi wartość 1 wypłacanej na koniec roku 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31 i 35.
Odpowiedź:

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Obliczę najpierw wartość bieżącą renty zdefiniowanej w zadaniu:


Będę teraz przekształcał wyrażenia z odpowiedzi tak aby można było je ławo porównać z powyższym wzorem.

Najprostszym sposobem sprawdzania czy nie zachodzi równość jest porównywanie stopni przy .Dla podpunktu B. mamy:

Co daje, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź B.

Zadanie 5.

Treść

Dany jest ciąg płatności
dla
oraz
dla
. Znajdź obecną płatność przy stopie
.
Odpowiedź (podaj najbliższą wartość):

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Karolina Dziedzic

Rozwiązanie

Niech
będzie stopą procentową oraz
dla
,
dla
ciągiem płatności. W zadaniu nie jest powiedziane wprost czy płatności są z góry (dołu). Przyjmę, że płatności są z dołu (zawsze będziemy tak przyjmować gdy nie będzie wprost powiedziane). Wówczas dyskontując każdą płatnośc na moment zero mamy:

Co daje, że prawidłową odpowiedzią jest D.

Zadanie 6.

Treść

Kredytobiorca chce zaciągnąć kredyt w wysokości 12000 złotych na okres jednego roku. W banku przedstawiono mu dwie propozycje spłaty takiego kredytu:

• oferta A zobowiązuje go do spłaty po roku kwoty kredytu wraz z odsetkami naliczanymi przy stopie
  ,

• oferta B zobowiązuje go do spłaty malejących rat (stała rata kapitałowa plus odsetki należne za dany okres) na koniec każdego miesiąca.

Ile wynosi miesięczna stopa procentowa
w ofercie B, jeżeli trzecia rata równa jest
sumy, którą należy wpłacić po roku w ofercie A. Odpowiedź:

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

W ofercie A należy zapłacić po roku:


Trzecia rata w ofercie B jest zadana wzorem:


Co daje, że prawidłową odpowiedzią jest D.

Zadanie 7.

Treść

Inwestor kupuje 20 letnią obligację o wartości nominalnej równej wartości wykupu równej 1000 przy założeniu efektywnej stopy procentowej i za kwotę 1500. Kupony są płatne rocznie a stopa kuponowa wynosi 3i (3-krotna stopa procentowa). Po 10 latach sprzedaje obligację za kwotę X przy założeniu tej samej efektywnej stopy zwrotu i. Wyznacz X (podaj najbliższą wartość):
Odpowiedź:

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Cena obligacji $1500$ dana jest wzorem:


Mamy stąd, że


Cena obligacji dana jest wzorem:


Co daje, że prawidłową odpowiedzią jest D.

Zadanie 8.

Treść

Plan sprzedaży towarzystwa ubezpieczeń zakłada sprzedaż 10 000 polis rocznie. W wyniku sprzedaży jednej polisy występuje strata na koniec pierwszego roku polisowego wysokości 100 oraz zysk na koniec każdego następnego z kolejny lat równy 20. Wyznacz minimalną początkową wysokość kapitału towarzystwa ubezpieczeń niezbędną do prowadzenia działalności, tak aby na końcu każdego roku nie spadł on poniżej minimalnej wysokości równej 10 000 000. Wpłaty na rzecz kapitału dokonywano na początku pierwszego roku, a środki finansowe są oprocentowane przy stopie procentowej 10%. Przyjęto założenie, że sprzedaż polis występuje na początku każdego roku.

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Na koniec pierwszego roku towarzystwo ma stratę w wysokości
, na koniec n-tego roku
. Zatem na koniec piątego roku kapitał spółki będzie najniższy (wystąpi ostatnia strata).Aktualizując wszystkie straty i zyski na koniec piątego roku mamy:


gdzie jest kapitałem zakładowym towarzystwa.
Skoro
to z powyższego mamy:


Co daje, że prawidłową odpowiedzią jest D.

Zadanie 9.

Treść

Pożyczka w wysokości 1000 będzie spłacana za pomocą 12 płatności każda na końcu miesiąca. Wysokość spłat wynosi 50 przez pierwsze 4 miesiące, 100 przez kolejne czteru miesiące oraz 150 przez ostatnie 4 miesiące. Wyznacz stopę procentową i jeżeli wiadomo, że
dla
. (
oznacza kwotę odsetek otrzymanych z zainwestowania 1 w chwili b na okres a)

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Skoro zachodzi
to mamy do czynienia z procentem prostym. Rozważę ciąg inwestycji określony na podziale
W momencie 0 wpłacamy 1000 w okresie
obowiązuje stopa procentowa
obowiązuje stopa procentowa i inwestujemy
. W n-tym okresie inwestujemy kwotę zainwestowanym w n-tym okresie pomniejszona o odpowiednią spłatę kredytu. Zysk z tej inwestycji wynosi:

Zatem:

gdzie

W konsekwencji mamy:

Co daje, ze poprawna odpowiedzią jest B.

Zadanie 10.

Treść

Pożyczka w wysokości
jest spłacana przez okres
lat ratami w równej wysokości
płatnymi na koniec każdego roku. Oprocentowanie pożyczki jest ustalone następująco:

- od kwoty zadłużenia nie przekraczającej


- od kwoty nadwyżki kwoty zadłużenia ponad limit

Wyznacz wysokość spłaty

Odpowiedź (podaj najbliższą wartość):

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Rozważę wartość zadłużenia po
spłacie. Oczywiście wartość zadłużenia
po
wpłacie jest równa
. Niech
będzie poszukiwaną ratą.

Po pierwszej spłacie na pewno wartość zadłużenia nie była mniejsza od
, lecz po
nie możemy być pewni. Skoro maksymalną ratą może być
to wartość zadłużenia po drugiej spłacie w tym przypadku byłaby równa

Zatem
czyli zachodzi:

Zatem wstawiając
do
do
oraz
do
mam:

Po prostych przekształceniach dostaję, że
. Zatem prawdziwa jest odpowiedź C.

---