MODEL

EKONOMETRYCZNY

Spis treści

• Postać modelu …………………………………………………………………………………… 2

1. Dane ……………………………………………………………………………………… 2

2. Dobór zmiennych objaśniających metodą Hellwig'a …………………………………………… 3

3. Oszacowanie parametrów strukturalnych ……………………………………………………….. 5

3.1 Interpretacja oszacowanych parametrów strukturalnych ………………………………… 5

3.2 Interpretacja błędów szacunku parametrów ……………………………………………… 6

4. Badanie właściwości koincydencji ……………………………………………………………….. 6

5. Normalność rozkładu składnika losowego ……………………………………………………….. 6

5.1 Test Jarcque'a-Bera ………………………………………………………………………. 6

6. Autokorelacja składnika losowego ……………………………………………………………….. 7

6.1 Test Durbin'a-Watson'a ………………………………………………………………….. 7

6.2 Test Lagrange'a ................................................................................................................... 7

7. Heteroskedastyczność składnika losowego ..................................................................................... 7

7.1 Test White'a ........................................................................................................................ 7

8. Współliniowość zmiennych objaśniających .................................................................................... 8

9. Istotność zmiennych objaśniających ............................................................................................... 9

• test t-Studenta

10. Współczynnik determinacji ..............................................................................................................9

11.1 Skorygowanty współczynnik determinacji ....................................................................... 9

10. Prognozy ......................................................................................................................................... 9

11.1 Test stabilności Chow'a .................................................................................................... 9

11.2 Prognoza ......................................................................................................................... 10

12. Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu liniowego. ....................................... 10

12.1 Prognoza P na okres 20 (2004r.) ........................................................................................................ 10

1.Postać modelu

P_t = α₀ + α₁M_t + α₂F_t + α₃B_t

P_t - ogólna liczba ludności w Polsce w tysiącach w Polsce w latach 1985-2000, w tys.

M_t - liczba zawieranych małżeństw w Polsce w latach 1985-2000

F_t - liczba mieszkań oddanych do użytku w latach 1985-2000, w tys.

B_t - liczba urodzeń żywych dzieci ogółem w latach 1985-2000

α_j - parametry strukturalne, j=0,1,2,3,

ε_t - składnik losowy

1. Dane

Dane do modelu obejmują 16 obserwacji od 1985 do 2000 roku:

t	Pt	Mt	Ft	Bt
1985	37341	266816	190,4	685305
1986	37572	257887	185	642221
1987	37764	252819	191	612458
1988	37885	246791	189,6	594249
1989	38038,4	255643	150,2	568569
1990	38183,2	255369	134,2	551660
1991	38309,2	233206	136,8	551455
1992	38418,1	217240	133	518669
1993	38504,7	207674	94,4	497708
1994	38580,6	207689	76,1	485098
1995	38609,4	207081	67,1	436312
1996	38639,3	203641	62,1	431211
1997	38660	204850	73,7	415166
1998	38667	209430	80,0	398103
1999	38653,6	219398	82,0	384379
2000	38644,2	211150	88,0	380476

2. Dobór zmiennych objaśniających metodą Hellwig'a

-----------------------------------------------------------------------

Correlation matrix

-----------------------------------------------------------------------

P M F B

P 1.0000 -0.92347 -0.94034 -0.94880

M -0.92347 1.0000 0.91344 0.87815

F -0.94034 0.91344 1.0000 0.92227

B -0.94880 0.87815 0.92227 1.0000

-----------------------------------------------------------------------

-0,92347 1 0,91344 0,87815

R₀ = -0,94034 , R = 0,91344 1 0,92227 -0,94880 0,87815 0,92227 1

gdzie:

R₀ = r_j - macierz współczynników korelacji liniowej pomiędzy j. zmienną objaśniającą, a zmienną objaśnianą, j = 1, 2, ....... , k

R = r_ij - macierz współczynników korelacji liniowej pomiędzy i. a j. zmienną objaśniającą, i = 1, 2, ..., k, j = 1, 2, ..., k,

k - liczba zmiennych objaśniających w modelu.

Ilość możliwych podzbiorów ze zbioru zmiennych objaśniających {M₁,F₂,B₃} (bez zbioru pustego):

S = 2^k - 1 = 2³ - 1 = 7

Te możliwe podzbiory to:

numer podzbioru (s)	podzbiór	Zbiór indeksów zmiennych tworzących dany podzbiór (Cs)
1	{M}	{1}
2	{F}	{2}
3	{B}	{3}
4	{M, F}	{1, 2}
5	{M, B}	{1, 3}
6	{F,B}	{2, 3}
7	{M, F, B}	{1, 2, 3}

Pojemność indywidualną j. zmiennej s. podzbioru określamy jako:

h_sj =


Pojemność integralna s. podzbioru to suma jego pojemności indywidualnych:

H_s =
h_fj

Pojemność integralna i indywidualna dla zbioru jednoelementowego jest identyczna:

1. {M}: h₁₁ = 0,852 = H₁

2. {F} : h₂₂ = 0,884 = H₂

3. {B}: h₃₃ = 0,901 = H₃

oraz:

(4) {M, F}: h₄₁ = 0,446

h₄₂ = 0,462

H₄ = h₄₁ + h₄₂ = 0,908

(5) {M, B}: h₅₁ = 0,454

h₅₃ = 0,48

H₅ = h₅₁ + h₅₃ = 0,934

(6) {F, B}: h₆₂ = 0,494

h₆₃ = 0,503

H₆ = h₆₂ + h₆₃ = 0,997 ~ 1,00

(7) {M, F, B}: h₇₁ = 0,305

h₇₂ = 0,317

h₇₃ = 0,306

H₇ = h₇₁ + h₇₂ + h₇₃ = 0,928

Zestawienie pojemności integralnych:

s	podzbiór	Hs
1	{M}	0,852
2	{F}	0,884
3	{B}	0,901
4	{M, F}	0,908
5	{M, B}	0,934
6	{F,B}	0,997
7	{M, F, B}	0,928

Wybieramy ten podzbiór, dla którego pojemność integralna jest największa. Zatem do modelu powinny wejść zmienne objaśniające: F, B. Biorąc jednak pod uwagę wyniki w oszacowanym modelu, widać, że krytyczny poziom istotności (t-prob) dla zmiennej objaśniającej F przekracza dopuszczalny poziom błędu (0,322>0,05). Zatem przyjmując, że zmienna objaśniająca F jest nieistotna statystycznie wyrzucamy ją z modelu. Dalej oszacowujemy model dla zmiennej objaśnianej P i zmiennych objaśniających M i B.

Następnie porównujemy krytyczny poziom istotności w obu modelach. W drugim modelu wartości są mniejsze, więc model jest bardziej prawidłowy. Dodatkowo sprawdzamy wyniki macierzy korelacyjnej. Im wartości są bardziej zbliżone do siebie, tym zmienne są bardziej współliniowe, a to oznacza, że w modelu dane są źle dobrane.

Dodatkowo współczynnik determinacji (R²) jest wyższy, co potwierdza nasz wybór dotyczący zmiennych w modelu.

3. Oszacowanie parametrów strukturalnych

Pakiet PcGive podaje wyniki:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Coefficient Std.Error t-value t-prob Part.R^2

Constant 41350.9 369.5 112. 0.000 0.9990

M -0.00737628 0.002746 -2.69 0.019 0.3569

B -0.00271944 0.0006630 -4.10 0.001 0.5641

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

sigma 118.349 RSS 182085.201

R^2 0.935835 F(2,13) = 94.8 [0.000]**

log-likelihood -97.4201 DW 0.404

no. of observations 16 no. of parameters 3

mean(P) 38279.4 var(P) 177360

Oszacowany metodą najmniejszych kwadratów model przyjmuje zatem postać:

P = 41530,9 - 0,00737628 M - 0,00271944 B

[369,5]
[0,002746] [0,0006630]

W nawiasach podano średnie błędy szacunku.

3.1 Interpretacja oszacowanych parametrów strukturalnych

α₁- (- 0,00737628) - wzrost ilości zawartych małżeństw o jednostkę (ceteris paribus - przy pozostałych warunkach niezmienionych) wywoła spadek liczby ludności o 7,38 tys.

α₂ - (-0,00271944) - wzrost liczby urodzeń o jednostkę (ceteris paribus) powoduje spadek ogólnej liczby ludności o 2,72 tys.

3.2 Interpretacja błędów szacunku parametru

S_α0 - 369,5 - szacując α₀ na poziomie 41530,9 mylimy się średnio o +/- 369,5

S_α1 - 0,0027 - szacując α₁ na poziomie (-0,0074) mylimy się średnio o +/- 0,0027

S_α3 - 0,0007 - szacując α₂ na poziomie (-0,0027) mylimy się średnio o +/- 0,0007

4. Badanie własności koincydencji

Model jest koincydentny, gdy spełniony jest warunek:

sgn r_j = sgn α_j, j = 1, 2, ..., k

sgn (r₁ = -0,92347) = „-„ oraz sgn (α₁ = -0,0074) = „-„

sgn (r₂ = -0,9488) = „-„ oraz sgn (α₂ = -0,0027) = „-„

Ponieważ dla wszystkich par znaki są zgodne, zatem model spełnia postulat koincydencji.

Obie wielkości: r_j i α_j, są ujemne w obu przypadkach. Oznacza to, że rosnącym wartościom zmiennej P towarzyszą malejące wartości zmiennych objaśniających.

5. Normalność rozkładu składnika losowego

5.1 Test Jarque-Bera

PcGive podaje wyniki testu normalności reszt opartego na rozkładzie chi-kwadrat.

Formułujemy hipotezę dotyczącą normalności rozkładu reszt:

H₀ - reszty mają rozkład normalny

H₁ - reszty nie mają rozkładu normalnego

-------------------------------------------------

Normality test for Residuals

Observations 16

Mean 0.00000

Std.Devn. 106.68

Skewness 0.44184

Excess Kurtosis -0.59729

Minimum -178.13

Maximum 216.20

Asymptotic test: Chi^2(2) = 0.75843 [0.6844]

Normality test: Chi^2(2) = 0.84951 [0.6539]

--------------------------------------------------

Wniosek: Przy 65% poziomie istotności moglibyśmy odrzucić H₀, co znacznie przekracza 5% poziomu błędu. Uznajemy więc, że w naszym modelu składnik losowy ma rozkład normalny.

6. Autokorelacja składnika losowego

6.1 Test Durbin'a-Watson'a

sigma 118.349 RSS

182085.201

R^2 0.935835 F(2,13) = 94.8 [0.000]**

log-likelihood -97.4201 DW 0.404

no. of observations 16 no. of parameters 3

mean(P) 38279.4 var(P) 177360

W oszacowanym modelu wartość testu DW wynosi 0,404, czyli jest < 2.

Formułujemy hipotezy:

H₀: ρ = 0 - brak autokorelacji

H₁: ρ > 0 - dodatnia autokorelacja

T = 16, k + 1 = 3, k - ilość zmiennych objaśniających

Odczytujemy z tablic wartość dla T = 16 i 3 stopni swobody.

d_l = 0,86, a d_u = 1,73

DW należy do przedziału (0,d_l>. Na tej podstawie odrzucamy H₀, na korzyść H₁, która mówi, że istnieje dodatnia autokorelacja składnika losowego.

Ze względu na występowanie autokorelacji składnika losowego mamy do czynienia z obciążonym estymatorem metody najmniejszych kwadratów.

6.2 Test mnożnika Lagrange'a

Formułujemy hipotezy:

H₀: ρ = 0 - brak autokorelacji składnika losowego

H₁: ρ
0 - autokorelacja składnika losowego

Program PcGive podaje wyniki:

Testing for error autocorrelation from lags 1 to 1

Chi^2(1) = 8.9385 [0.0028]** and F-form F(1,12) = 15.190 [0.0021]**

Poziom istotności wynosi 0,0028, jest on mniejszy od krytycznego poziomu istotności wynoszącego 0,05, a to oznacza, że odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywne, która mówi, że istnieje autokorelacja składnika losowego.

7. Heteroskedastyczność składnika losowego

7.1 Test White'a

P_t = α₀ + α₁x_1t + α₂x_{2t +} ε_t

Szacujemy model:

e_t^{2 =} β_{0 +} β₁x_{1t +} β₂x_2t + β₃x_1t^{2 +} β₄x_2t² + ξ_t

i obliczamy R²

Obliczamy statystykę nR² i odczytujemy z tablic:

χ²_{α=0,05; df=5}

Jeżeli nR² < χ²_{α; df}, to H₀: σ²₌σ² - składnik losowy jest homoskedastyczny

Jeżeli nR² > χ²_{α; df}, to H₁: σ²₌σ² - składnik losowy jest heteroskedastyczny

Testing for heteroscedasticity using squares

Chi^2(4) = 6.7034 [0.1524] and F-form F(4,8) = 1.4421 [0.3050]

Czyli:

Na podstawie testu White'a i analizie wartości χ² przyjmujemy, że składnik losowy jest homoskedastyczny Homoskedastyczność składnika losowego oznacza, że jego estymator jest efektywny.

8.Współliniowość zmiennych objaśniających

Model wyjściowy:

Coefficient Std.Error t-value t-prob Part.R^2

Constant 41350.9 369.5 112. 0.000 0.9990

M -0.00737628 0.002746 -2.69 0.019 0.3569

B -0.00271944 0.0006630 -4.10 0.001 0.5641

sigma 118.349 RSS 182085.201

R^2 0.935835 F(2,13) = 94.8 [0.000]**

log-likelihood -97.4201 DW 0.404

no. of observations 16 no. of parameters 3

mean(P) 38279.4 var(P) 177360

Modele pomocnicze:

Coefficient Std.Error t-value t-prob Part.R^2

Constant 120514. 1.599e+004 7.54 0.000 0.8023

B 0.212002 0.03087 6.87 0.000 0.7712

sigma 11517.9 RSS 1.85725343e+009

R^2 0.771153 F(1,14) = 47.18 [0.000]**

log-likelihood -171.261 DW 0.665

no. of observations 16 no. of parameters 2

mean(M) 228543 var(M) 5.07231e+008

*** Warning: diagonal elements of W'W are very small or very different.

Numerical accuracy is endangered, try rescaling the data.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Coefficient Std.Error t-value t-prob Part.R^2

Constant -321753. 1.216e+005 -2.65 0.019 0.3333

M 3.63747 0.5296 6.87 0.000 0.7712

sigma 47709.1 RSS 3.1866191e+010

R^2 0.771153 F(1,14) = 47.18 [0.000]**

log-likelihood -194.001 DW 0.573

no. of observations 16 no. of parameters

mean(B) 509565 var(B) 8.70292e+009

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Po oszacowaniu dwóch nowych modeli, w których kolejno zmiennymi objaśnianymi są M i B a wartość R^2 w obu modelach wynosi 0,77.Ta wartość jest mniejsza od wartości R^2 w modelu wyjściowym, która wynosi 0,94 ,to oznacza brak współliniowości zmiennych objaśniających.

9.Istotność zmiennych objaśniających - test t-Studenta

H₀: α_j = 0 - j. zmienna jest nieistotna w modelu, j = 0, 1, 2, ..., k

H₁: α_j = 0 - j. zmienna jest istotna w modelu

Zmienna losowa ma rozkład t-Studenta z n - (k + 1) stopniami swobody.

Statystki t-Studenta oraz krytyczne (nominalne) poziomy istotności dla poszczególnych zmiennych wynoszą odpowiednio:

t-value t-prob

Constant 112. 0.000

M -2.69 0.019

B -4.10 0.001

Z analizy wartości t-prob w wynika, że każda ze zmiennych objaśniających jest istotna statystycznie, ponieważ wartości te nie przekraczają 0,05.

10.Współczynnik determinacji

Współczynnik determinacji w modelu wyjściowym wynosi 0,935.To oznacza, że około 94% zmienności ogólnej liczby ludności jest wyjaśnione przez zmienność zmiennych: liczbą urodzeń żywych oraz liczbą zawieranych małżeństw.

10.1 Skorygowany współczynnik determinacji


²= R² -
= 0,935 -
= 0,925

11. Prognozy

11.1 Test stabilności Chowa

Badamy, czy parametry są stabilne. Do tego wykorzystujemy test Chowa.

Formułujemy hipotezy:

H₀-parametry są stabilne.

H₁-parametry nie są stabilne.

PcGive podaje wyniki:

Forecast Chi^2(3) = 11.812 [0.0081]**

Chow F(3,10) = 1.2311 [0.3490]

Test Chowa wskazuje, że parametry są stabilne, ponieważ poziom istotności 0,34 znacznie przekracza krytyczny poziom istotności, który przyjęliśmy na poziomie 0,05. Dlatego nie mamy podstaw do odrzucenia H₀.

11.2 Prognoza

PcGive podaje wyniki:

Dynamic (ex ante) forecasts for Pt (SE based on error variance only)

Horizon Forecast SE Actual Error t-value

1998 38850.5 115.3 38667.0 -183.477 -1.591

1999 38873.7 115.3 38653.6 -220.116 -1.909

2000 38918.0 115.3 38644.2 -273.785 -2.374

mean(Error) = -225.79 RMSE = 228.82

SD(Error) = 37.086 MAPE = 0.58415

Model został przeszacowany. Średni błąd prognozy wynosi -225,79.

12. Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu liniowego.

PcGive podaje wyniki:

Coefficient Std.Error t-value t-prob Part.R^2

Constant 37427.8 67.26 556. 0.000 1.0000

Trend 109.266 8.474 12.9 0.000 0.9379

sigma 114.322 RSS 143764.586

R^2 0.937943 F(1,11) = 166.3 [0.000]**

log-likelihood -78.9676 DW 0.331

no. of observations 13 no. of parameters 2

mean(Pt) 38192.7 var(Pt) 178205

Oszacowany model trendu ma postać:

P = 37427.8 + 109.266t

12.1 Prognoza P na okres 20 (2004r.)

P^p₁₇ = 37427.8 + 109.266 ^. 20 = 39613.12

---