1. Podaj warianty zasady racjonalnego gospodarowania i główne typy zagadnień optymalizacyjnych w przedsiębiorstwie:

- wydajnościowy - maksymalizacja efektów przy określonej wielkości zasobów

(np. maksymalizacja udziału w rynku, problem wyboru wariantu inwestycji)

- oszczędnościowy - minimalizacja nakładów przy uzyskiwaniu określonego efektu

(np. jak najmniejsze zużycie paliwa do rozwiezienia danego towaru , wybór asortymentu produkcji, problem mieszanki, rozkroju)

2. Podaj przykłady pięciu funkcji celu realizowanych w przedsiębiorstwie:

-maksymalizacja zysku

- przychodu

- udziału w rynku

wielkości produkcji

wykorzystanie odpowiednich grup zasobów

-minimalizacja kosztów (różne kategorie kosztów)

- funduszy płac

- czasu pracy

3. Badania operacyjne a programowanie matematyczne - wyjaśnij różnice między pojęciami

BO to dziedzina ekonomiczna, związana z rozwiązywaniem zagadnień ekonomicznych (z problemu zapisanego słownie stworzenie modelu matematycznego, trzeba dobrać model do zagadnienia), programowanie matematyczne to dział matematyki zajmujący się rozwiązywaniem zagadnień optymalizacyjnych - decyzyjnych (dostarcza metody matematyczne)

4. Model ekonometryczny a model decyzyjny: podobieństwa i różnice.

BO - stanowią zespół zagadnień decyzyjnych, które powinny być w jakiś sposób rozwiązane

Programowanie matematyczne - (optymalne) metody rozwiązywania zagadnień decyzyjnych

Podobieństwa:

- jakaś formuła matematyczna zapisująca jakieś zależności matematyczne, zmienne, parametry

Różnice:

- występuje zmienna objaśniana i objaśniająca w ekonomicznym, a w BO występuje zmienna decyzyjna, zmienne ekonomiczne mają wiele różnych wartości w ekonometrii (np. w czasie lub w przestrzeni) jak kształtując się jedna z nich wpływa na resztę….w MD występują zmienne jako iksy i rozwiązanie jako konkretna wartość

- w ME szacujemy wielkość parametru w MD mamy parametry i ustalamy konkretną wartość

- mamy kryterium wg którego ustalamy wynik w MD (zależne od funkcji celu) w ME tego nie ma (MD- znane zmienne, ME - znane parametry)

5. Klasyfikacja modeli decyzyjnych

Kryterium:

* postać funkcji celu i warunków ograniczających:

- liniowe - wszystkie zmienne decyzyjne występują w pierwszej potędze

- nieliniowe - gdy parametry występują w innej niż 1 potędze

Modele liniowe rozwiązuje się za pomocą programowania liniowego, a nieliniowe za pomocą programowania nieliniowego.

*charakter parametrów:

-deterministyczne - wszystkie parametry są znane i ustalone; są zmiennymi nielosowymi

-stochastyczne - gdy co najmniej jeden parametr jest zmienna losową

+probabilistyczne - gdy co najmniej jeden parametr jest zmienna losową o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa, lub znanej funkcji gęstości. Rozwiązujemy je za pomocą rachunku prawdopodobieństwa

+statystyczne - gdy co najmniej jeden parametr jest zmienna losową o nieznanym rozkładzie prawdopodobieństwa, jednak rozkład ten można statystycznie oszacować na podstawie dodatkowych informacji. Rozwiązujemy je za pomocą metod statystyki matematycznej

+strategiczne - gdy co najmniej jeden parametr jest zmienna losową o nieznanym rozkładzie prawdopodobieństwa i nie można tego rozkładu oszacować, wiemy tylko z jakiego przedziału może przyjmować wartości. Modele takie rozwiązujemy za pomocą teorii gier.

*postać zmiennych

-ciągłe

-dyskretne (całoliczbowe, binarne, mieszane)

*liczba stopni procesu decyzyjnego

-jednokryterialne

-wielokryterialne

* na treść problemów których dotyczą zagadnienia

- wyboru asortymentu produkcji (struktury produkcji)

- wyboru procesu technologicznego

- mieszane

- zadania transportowe

• liczba funkcji celu:

- jednokryterialne

- wielokryterialne

6. Geometryczna metoda rozwiązywania zagadnień programowania matematycznego

Przedstawić w układzie współrzędnych problem decyzyjny w taki sposób, aby warunki były przedstawione przez proste lub półproste. Wówczas część wspólna obszarów(odpowiadająca warunkom) to zbiór rozwiązań dopuszczalnych na którego wierzchołkach znajdują się rozwiązania bazowe, wśród których poszukujemy rozwiązania optymalnego poprzez przesuwanie linii izocelowej.

7. Jakie cechy musi mieć zadanie aby można je było rozwiązać metodą geometryczną

- 2 zmienne decyzyjne

- skończona liczbę ograniczeń

- musi mieć rozwiązanie ( układ nie jest sprzeczny, funkcja celu musi być ograniczona)

- musi istnieć część wspólna danych warunków

8. Obszar rozwiązań dopuszczalnych, linia izocelowa, reprezentacja warunków brzegowych w metodzie geometrycznej

Obszar rozwiązań dopuszczalnych - płaska figura będąca częścią wspólną współpłaszczyzn wyznaczonych przez warunki (nierówności)

Linia izocelowa - poziomica funkcji celu (linia funkcji celu), linia łącząca wartości tej samej funkcji celu

Reprezentacja warunków brzegowych - rozwiązań poszukujemy tylko i wyłącznie w I ćwiartce układu współrzędnych, interesują nas punkty które mają znak nieujemny

9. Kiedy zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest pusty, a kiedy funkcja celu nie jest ograniczona z góry?

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest pusty, gdy warunki ograniczające nie mają części wspólnej na płaszczyźnie(warunki sprzeczne); mamy wtedy brak rozwiązania. Funkcja celu jest z góry nieograniczona gdy wszystkie warunki działają w tą samą stronę (w górę)

10. Czym różni się postać standardowa od postaci kanonicznej

Postać standardowa - postać pierwotna, wyjściowa, wynikająca ze sformułowania zadania, z tego jak problem wygląda w rzeczywistości (odbicie uproszczone rzeczywistości gospodarczej). Najczęściej warunki są w niej nierównościami.

L(x)= c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n->max (funkcja celu)

a₁₁x₁ +a₁₂x₂+…+a_1nx_n<=b₁ (warunki ograniczające)

x_j>=0 j=1,2…n (warunki brzegowe)

L(x)=c^Tx->max

Ax<=b

x>=0

Ta postać wystarcza gdy mamy do czynienia z metodą graficzną (geometryczną). Nie więcej niż 2 zmienne.

Postać kanoniczną uzyskujemy poprzez dodanie zmiennej x_n+1 do a₁₁x₁ +a₁₂x₂+…+a_1n<=b₁, zmienne które zostaną dopisane to zmienne uzupełniające (swobodne) maja one interpretację ekonomiczną. Powinny się znaleźć także w warunkach brzegowych.

L(x)= c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+0(x_n+1+…+x_n+m)->max

a₁₁x₁ +a₁₂x₂+…+a_1nx_n+x_n+1=b₁

a₂₁x₁ +a₂₂x₂+…+a_2nx_n+x_n+2=b₂

…

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n+x_n+m=b_m

x₁,x₂…,x_n,x_n+1>=0

L(X)=c^Tx+0x_p->max

|x |

AI|x_p|=b x>=0 x_p>=0

|0| |x_n+1| |10…0|

0=|0 x_p=|x_n+2| I=|01…0|

|..| |…| |……..|

|0| |x_n+m| |00…1|

Postać kanoniczna jest budowana po to by rozwiązać zadanie decyzyjne metoda simplex.

Ogólnie mówiąc to uzupełnienie standardowej tak aby powstał układ równań(warunki w postaci równań) poprzez dodanie zmiennych swobodnych.

11. Rozwiązanie dopuszczalne, podstawowe, optymalne - podstawowe cechy.

Rozwiązanie dopuszczalne - punkt wypukłego zbioru, którego współrzędne spełniają warunki uboczne i brzegowe równania

Rozwiązanie podstawowe (bazowe, wierzchołkowe, pierwszołukowe) - takie rozwiązanie dopuszczalne, które zawiera co najwyżej m dodatnich wartości xj (lub jak kto woli: rozwiązanie układu równań Ax=b powstałe przez przyjęcie n zmiennych decyzyjnych za równe 0, przy czym wyznacznik współczynników dla wyróżnionych m zmiennych bazowych jest różny od 0)

Rozwiązaniem bazowym niezdegenerowanym nazywamy takie rozwiązanie w którym wszystkie rozróżniane zmienne będą różne od 0.

Rozwiązanie optymalne - jest to takie dopuszczalne rozwiązanie bazowe dla którego funkcja celu (kryterialna) przyjmuje wartość ekstremalną (max lub min)

10. Wyjaśnij pojęcie rozwiązania bazowego? Dlaczego rozwiązania bazowe są tak istotne w procedurze rozwiązywania zagadnień programowania liniowego.

Gdyż wśród rozwiązań bazowych znajdziemy rozwiązanie optymalne; jeśli mamy rozwiązanie optymalne to jest to właśnie rozwiązanie bazowe.

Algorytm Simpleks:

_m

A_j = Σ A_i z_ij wzór na współczynnik kombinacji liniowej (nieznane)

ⁱ⁼¹

(wprowadzenie wektora Aj powoduje wyzerowanie się jednej zmiennej decyzyjnej co powoduje że jeden z wektorów Ai zniknie)

_m

Δ_j = Σ c_i z_ij - c_ij wzór na wyznaczanie wskaźnika optymalności

ⁱ⁼¹

x_j (Θ) = Θ = min (x_ij/z_ij) , z_ij>0 wyznaczenie nowej zmiennej decyzyjnej

x_i (Θ) = x_i - Θ z_ij wzór na wyznaczanie zmiennych decyzyjnych rozwiązania ulepszonego

Interpretacja wskaźnika Δj:

• Δj >= 0 oznacza to że jeśli dla j = m+1 , m+2, …, n Δj>= to badane rozwiązanie jest optymalne i nie da się go ulepszyć

• Δj< 0 gdy dla pewnego j Δj< 0 i dla wszystkich odpowiadających temu indeksowi wartości z_j <= 0 wówczas zadanie nie ma rozwiązania bo funkcja celu jest nieograniczona z góry.

• Δj < 0 gdy dla niektórych j i dla każdego takiego j wielkość

z_j> 0 wówczas rozwiązanie można ulepszyć

4

---