Liczby i funkcje elementarne Agnieszka Kolesiak
11 listopada 2008
1
Działania na liczbach
1.1
Zbiór liczb rzeczywistych
• struktura zbioru liczb rzeczywistych
• oznaczenia
Przykład 1.1. Przedstaw w postaci ułamka zwykłego 0, (5) + 1, (23) 1.2
Wartość bezwzględna
• definicja algebraiczna i geometryczna
• równania i nierówności
Przykład 1.2. Rozwiąż równanie: |4x + 4| + |2 − x| = 8.
Przykład 1.3. Rozwiąż nierówności:
• x + 3 > 4
• |x − 3| − |2 − x| > 2
• |x| ≥ x + 1
Przykład 1.4. Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem f (x) = ||x − 1| − 3|.
1
Potęgowanie i pierwiastkowanie
• definicja
• prawa działań na potęgach
• potęgi o wykładniku wymiernym q
√
Przykład 1.5. Zapisz podane wyrażenie w postaci ax: a−2 · 3 a.
a−3
1.4
Wzór dwumianowy Newtona
• definicja silni
• definicja symbolu Newtona
• definicja dwumianu Newtona Przykład 1.6. Oblicz:
• 119!
(5!)!
(6)+(6)
•
2
3
(6)
0
Przykład 1.7. Uprość wyrażenie:
• (n+1)!
(n−1)!
( n )
•
n−2
( n )
n−1
Przykład 1.8. Udowodnij tożsamość:
•
n +
n = n+1
k
k+1
k+1
• Pn
n = 2n
k=0
k
Przykład 1.9. Znajdź współczynnik znajdujący się przy x w rozwinięciu
√
dwumianu Newtona ( 3 x + 2)12.
2
Funkcje i ich własności Definicje:
• funkcja
• dziedzina, dziedzina naturalna
• miejsce zerowe funkcji
• równość funkcji
• funkcja monotoniczna
• funkcja okresowa
• funkcja parzysta i nieparzysta
√
0,25−x2
Przykład 2.1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia
√
.
x2+1
Przykład 2.2. Czy dane funkcje są równe? f (x) = 1 , g(x) =
x
.
x−5
x2−5x
Przykład 2.3. Udowodnij, że w przedziale (0, 3) funkcja f (x) =
x2
jest
x2−9
malejąca.
Przykład 2.4. Poniższa implikacja jest prawdziwa: Jeżeli funkcja f jest funkcją nieparzystą, to wykres funkcji f ma środek symetrii. Sformułuj implikację do niej odwrotną i sprawdź jej prawdziwość.
Przykład 2.5. Czy dane funkcje są parzyste lub nieparzyste?
• f (x) = −x|x|
• g(x) = |x2 − x|.
Definicja 2.6 (złożenie funkcji). Złożeniem funkcji f : X → Y i g: Y → Z
nazywamy funkcję h: X → Z daną wzorem h(x) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x).
Przykład 2.7. Dane są funkcje f : R → R i g: R → R dane wzorami f (x) =
x3 − 1, g(x) = x − 2. Wyznacz złożenia g ◦ f , f ◦ g oraz f ◦ f .
Definicje:
3
• funkcja „na”
• bijekcja
• funkcja odwrotna
Przykład 2.8. Funkcja f (x) = ax2 + bx + c jest różnowartościowa. Jakie warunki spełniają wówczas współczynniki a, b i c?
Przykład 2.9. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji f (x) = −3x + 5 (jeśli istnieje). Zaznacz obie funkcje na wykresie. Co zauważasz?
4