Pasmo tarczowe – kontynuacja
Repetytorium z tarcz
Przypadek szczególny z zakresu zagadnień pasm tarczowych – tarcza bardzo wysoka, tzn. b → ∞
Zbadamy graniczne wartości stałych c i d przy b → ∞ .
n
n
Przywołajmy wzory na naprężenia σ :
11
∞
∞
∞
σ
= ∑ a ⋅cosα x − ∑ a + a ⋅ c ⋅cosα x + ∑ a − a ⋅ d ⋅cosα x 11
=
n
n 1
( n n ) n
n 1
( n n ) n
n 1
2
x
b
n 1
=
n 1
=
n 1
=
oraz:
∞
∞
∞
σ
= ∑ a ⋅cosα x − ∑ a + a ⋅ c ⋅cosα x − ∑ a − a ⋅ d ⋅cosα x 11
=−
n
n 1
( n n ) n
n 1
( n n ) n
n 1
2
x
b
n 1
=
n 1
=
n 1
=
2α b
2α b
gdzie:
n
c =
oraz
n
d =
n
sh 2α b + 2α b
n
sh 2α b − 2α b
n
n
n
n
Wzory na c i d mają więc następującą strukturę: 1
c , d = lim
n
n
n
n
x→∞ sh x ±
1
x
x
− x
e − e
x
x
e + e−
Z twierdzenia de l’Hôspitala mamy: lim H
→lim
= ∞
x→∞
2 x
x→∞
2
Zatem, przy b → ∞ mamy c → 0 oraz d → 0
n
n
Mamy stąd bardzo interesujący wynik:
1
σ
x = b
− = p x − a
11 (
2
)
( 1)
0
2
Często, dla obciążeń samorównoważących się: a = 0
0
Przykład numeryczny: b = l , l
c =
→ '
q = 4 q ( q = const ) kN
5
1
m
B
A − A
B − B
A
0, 088 0, 088
×
g
b
= l
x
2
l / 5
l / 5
0,156
0,186
x
1
q kN
b
×
2
=
l
q
g m
σ
11
4, 002
1, 002
A
4 q
4 q
porównanie ze wzorem
= = ∞
2 c
2 c
dla: b
l
B
→
bardzo dobre przybliżenie
l
l
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
1
∞
2 l
2 l
2 l
q ⋅ (2 l )2
2
q ⋅ (2 l )2
2
ql
=
ql
=
24
6
12
3
g ⋅ (2 l )2
Wskaźnik wytrzymałości:
2
2
W =
= ⋅ gl
6
3
2
Naprężenia w przęśle:
ql
3
q
σ
⋅
=
= 0, 25⋅
g , d
2
6 ⋅ 2 gl
g
2
Naprężenia w podporze:
ql
3
q
σ
⋅
=
= 0,50⋅
g , d
2
3⋅ 2 gl
g
Wniosek: Stosowanie teorii belek w przypadku tarcz o proporcjach wymiarów jak powyżej ( b = l ) nie ma sensu!
Uwagi:
1) Przyłożenie obciążenia q kN
m na górnym lub na dolnym brzegu (ewentualnie między górnym, a dolnym brzegiem tarczy) nie wpływa na rozkład naprężeń σ i σ , a wpływa jedynie na naprężenia σ .
11
12
22
Wynika to z następującego rozumowania: σ
q
22
q
g
× g
σ
× g
22
x
x
2
2
q
x
x
1
g
1
q
q
σ
g
q
22
σ = 0
11
l
l
σ =
l
l
0 →
12
bo są to kier. główne
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
2
2) Podobnie rozwiązuje się tarcze zakrzywione w planie
→ zbiorniki i silosy
Konstrukcja :
Rozwinięcie :
R
n podpór
( tutaj n = 6)
2 c
2 c
2π R
2 l =
n
3) Przykład „bezwładności” myślenia inżynierskiego: ściana betonowa
zbędna (błędna)
belka żelbetowa
2 b
2 c
2 c
2 l
→ Inżynierowie nie znający teorii tarcz projektowali belki jakoby dźwigające ścianę żelbetową. W rzeczywistości mamy tu do czynienia z tarczą zginaną o wymiarach 2 b× 2 l !
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
3
Zadanie 1: Przeanalizować stan naprężenia w tarczy.
Funkcja naprężeń Airy’ego dana jest wzorem: F ( r ϕ )
2
2
,
= C ⋅ r ⋅sin ϕ , gdzie: C = const , C > 0
Rozwiązanie zadania 1:
2
∂
∂
2
∂
∂
Składowe stanu naprężenia obliczamy ze wzorów: 1
F
1
F
F
1
F
σ
= ⋅
+
⋅
, σ
∂
=
, σ
= −
⋅
rr
2
2
ϕϕ
ϕ
r
r
∂
r
ϕ
∂
2
r
∂
r
r
∂ r ϕ
∂
Obliczamy pomocnicze pochodne funkcji F ( r,ϕ ) : F
∂ ( r,ϕ)
∂
→
=
( 2 2
C ⋅ r ⋅ sin ϕ )
2
= 2 r ⋅ C ⋅sin ϕ
r
∂
r
∂
2
∂ F( r,ϕ)
∂
→
=
(
2
2 r ⋅ C ⋅ sin ϕ )
2
= 2⋅ C ⋅sin ϕ
2
r
∂
r
∂
F
∂ ( r,ϕ)
∂
→
=
( 2 2
C ⋅ r ⋅ sin ϕ )
2
2
= 2⋅ C ⋅ r ⋅sinϕ ⋅cosϕ = C ⋅ r ⋅sin 2ϕ
ϕ
∂
ϕ
∂
2
F
∂ ( r,ϕ)
∂
→
=
( 2
C ⋅ r ⋅ sin 2ϕ )
2
= 2⋅ C ⋅ r ⋅cos 2ϕ
2
ϕ
∂
ϕ
∂
∂ 1 F
∂ ( r,ϕ)
∂ 1
∂
2
→ −
⋅
= −
⋅ C ⋅ r ⋅sin 2ϕ = −
( C ⋅ r ⋅sin 2ϕ) = − C ⋅sin 2ϕ
r
∂ r
ϕ
∂
r
∂ r
r
∂
Składowe stanu naprężenia:
2
1
F
∂
1 ∂ F
σ = ⋅
+
⋅
1
= ⋅(
1
2
2 r ⋅ C ⋅ sin ϕ ) +
⋅(
2
2 ⋅ C ⋅ r ⋅ cos 2ϕ
2
)
rr
2
2
r
r
∂
r
ϕ
∂
r
r
2
σ = 2⋅ C ⋅sin ϕ + 2⋅ C ⋅cos 2ϕ →
2
σ = 2⋅ C ⋅cos ϕ
rr
rr
2 F
σ
∂
=
→
2
σ = ⋅ ⋅
ϕ
ϕϕ
2 C sin
2
ϕϕ
r
∂
∂ 1 F
σ
∂
= −
⋅
→ σ = C
− ⋅sin 2ϕ
rϕ
ϕ
r
∂ r ϕ
∂
r
Zatem:
2
σ = 2⋅ C ⋅cos ϕ ,
2
σ = 2⋅ C ⋅sin ϕ , σ = C
− ⋅sin 2ϕ
rr
ϕϕ
rϕ
tak więc:
→ dla ϕ = 0° zachodzi: σ = 2 C , σ = 0 , σ = 0
rr
ϕϕ
rϕ
→ dla ϕ = 90° zachodzi: σ = 0, σ = 2 C , σ = 0
rr
ϕϕ
rϕ
ϕ = 90°
2 C
2 C
2 C
2 C
ϕ = 0°
Odpowiedź: Jest to więc równomierne rozciąganie naprężeniem o wartości równej σ =2C w kierunku ϕ =0° !
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
4
kN
Wyznaczyć stan naprężeń w blasze z otworem, poddanej działaniu ciśnienia wewnętrznego p
m
(gdzie: p – obciążenie ciągłe na jednostkę długości brzegu otworu) r
p
a
× g
Rozwiązanie zadania 2:
Rozwiązanie ogólne, w przypadku obrotowej symetrii:
C 2
σ =
+ 2 C + C ⋅ 1+ 2ln r
rr
2
3
4
(
)
r
C
2
σ = −
+ 2 C + C ⋅ 3 + 2ln r ϕϕ
2
3
4
(
)
r
Zauważmy, że gdy współrzędna r → ∞ , to naprężenia dążą do zera:
σ
= 0 + 2 C + C ⋅ 1+ 2ln r = 0
rr →∞
3
4
(
)
r
σ
=
→ stąd: C , C = 0
0 + 2 C + C ⋅ 3 + 2 ln r = 0
3
4
ϕϕ
3
4
(
)
r →∞
Pozostałą w obliczeniach stałą C ≡ C wyznaczamy z warunku brzegowego: 2
p
σ
= −
C
p
2
→ σ
=
= −
rr r= a
g
rr r= a
2
a
g
p
2
C = − a ⋅
2
g
2
a
p
σ = −
⋅
rr
2
Stąd:
r
g
2
a
p
σ =
⋅
ϕϕ
2
r
g
p
σϕϕ
4 g
a
p
a
g
σ rr
p
p
4 g
g
a
a
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 10 • KMBiM WILiŚ PG
5