Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

1

1.

SZACOWANIE OPISOWEGO MODELU LINIOWEGO Z JEDNA

ZMIENNA OBJASNIAJACA

1.1 DANE DO ZADANIA

Oszacowac klasyczna metoda najmniejszych kwadratów parametry modelu: Y = α

α

0 +

1 ⋅ X

+ u

t

t

t

gdzie: Yt - wydatki na zywnosc w tys. zl. na osobe, Xt - dochód netto w tys. zl. na osobe.

Ponadto:

1. Obliczyc wariancje reszt modelu, sredni blad reszt, wspólczynniki R2, ϕ2 i wspólczynnik zmiennosci v.

2. Oszacowac srednie bledy ocen parametrów modelu.

3. Ocenic istotnosc aukorelacji skladnika losowego, zbadac normalnosc rozkladu skladnika losowego, zbadac stalosc wariancji skladnika losowego.

Niezbedne dane podane sa w ponizszej tabeli

Okres

Wydatki Yt Dochód Xt

1

0,1

0,35

2

0,15

0,45

3

0,18

0,6

4

0,24

0,95

5

0,28

1,2

6

0,35

1,7

1.2 SZACOWANIE PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH

Podany model, którego parametry nalezy oszacowac, jest modelem liniowym z jedna zmienna objasniajaca. W modelu mamy dwa parametry do oszacowania, wiec macierze, które symbolicznie oznaczamy w kazdym rozpatrywanym przykladzie jako XTX i XTy, beda mialy nastepujace postacie:

 n

x 

∑



y 

∑

X T X

t

= 



i

X T y

t

= 



x

x

∑

∑ 2

y x

∑

t

t







t

t





W zwiazku z tym nalezy wykonac odpowiednie obliczenia. Ich wyniki zaprezentowane sa w ponizszej tabeli.

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

1

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

2

Okres

y

2

2

t

xt

xt

ytxt

yt

( y − 2

y

t

)

1

0,1

0,35

0,1225

0,035

0,01

0,01361

2

0,15

0,45

0,2025

0,0675

0,0225

0,00444

3

0,18

0,6

0,36

0,108

0,0324

0,00134

4

0,24

0,95

0,9025

0,228

0,0576

0,00054

5

0,28

1,2

1,44

0,336

0,0784

0,00401

6

0,35

1,7

2,89

0,595

0,1225

0,01778

∑

1,3

5,25

5,9175

1,3695

0,3234

0,04173

Wstawiajac wyniki obliczen do odpowiednich macierzy otrzymujemy:

 6

5 25

,



 1 3

,



X T X = 



i

X T y = 



5 25

,



5,9175

1,



3695

W dalszej kolejnosci nalezy dokonac odwrócenia macierzy XTX.. Pamietajac, ze macierz ta jest zawsze symetryczna i nieosobliwa stosujemy do tego celu wzór: D

(

T

−1

T

) ( X X)

X X

=

X T X

gdzie litera D oznacza macierz dopelnien algebraicznych elementów.

D

W przypadku macierzy o wymiarach 2×2 macierz ( X T X ) tworzy sie przez zamiane miejscami elementów glównej przekatnej i zmiane znaków elementów drugiej przekatnej na przeciwne. Stad mamy:

(

D

5,9175



−5, 

25

X T X ) = 



 −5 25

,

6 

Dzielac wyrazy tej macierzy przez wartosc wyznacznika otrzymujemy:

5,9175 −5, 

25





(

−1

 −5 25

,

6   0,74504

-0,661001

X T X ) =

= 



7,9425

-0,661001

0,75543





Przy pomocy uzyskanych wyników mozemy wyznaczyc oceny parametrów modelu poslugujac sie formula estymatora KMNK:

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

2

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

3

$

−1

 0,74504



-0,661001

 1 3

,

 0,063314 ← ˆ α

b

( X T X) X T

=

y = 

 ⋅ 

 =

0





-0,661001 0,75543  1 3695

,





0,17526



 ← ˆ α 1

Wyniki obliczen mozemy teraz wstawic do rozwazanego modelu: Y = 0,063314 + 0,17526 ⋅ X

$

t + u

t

t

lub

ˆ

Yt = 0,063314 + 0,17526 ⋅ Xt

Dokonujac interpretacji otrzymanej postaci analitycznej powiemy, ze przy stalosci pozostalych czynników (ceteris paribus) wzrost przecietnych dochodów X o jednostke (o tys. zlotych) powodowal w badanym okresie przyrost przecietnych wydatków na zywnosc Y srednio o 0,175 jednostki (0,175 tys.

zlotych).

1.3 MIARY DOPASOWANIA

1.3.1 WARIANCJA RESZT MODELU (OCENA WARIANCJI SKLADNIKA LOSOWEGO)

Aby obliczyc wariancje reszt $

u modelu mozna skorzystac ze wzoru:

0,063314

T

0,3234 - [1,3

]

1,3695 ⋅

2

T





y

∑ − X y ⋅ b

t

0,17526



 0 3234

,

0,322327

0,001073

2

( ) $

$

σ =

=

=

−

=

u

n − ( k + )

1

6 - (1 + )

1

4

4

$

σ 2 = 0,000268

u

1.3.2 SREDNI BLAD RESZT (STANDARDOWY BLAD REGRESJI, OCENA ODCHYLENIA STANDARDOWEGO SKLADNIKA LOSOWEGO)

Na podstawie znajomosci wariancji reszt wyznaczamy odchylenie standardowe reszt modelu (sredni blad reszt) $

σ :

u

$

σ = $ 2 = 0 000268 = 0,016379

u

σ

,

u

Interpretujac otrzymana wartosc powiemy, ze wartosci empiryczne wydatków na zywnosc Y

t

róznia sie od wydatków teoretycznych (obliczonych na podstawie modelu) $

Y srednio o 0,0164

t

jednostki (0,0164 tys, zlotych).

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

3

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

4

Chcac porównac wielkosc tego sredniego odchylenia z wartosciami wydatków Yt mozemy posluzyc sie praktycznym wskaznikiem zwanym wspólczynnikiem zmiennosci losowej v.

$

σ

0,016379

v

u

=

⋅100 =

⋅100 = 7,559%

y

0,216667

Wskaznik ten mówi, ze reszty modelu $

u stanowia przecietnie okolo 7,6% wartosci obserwacji na t

zmiennej objasnianej Y. Poniewaz mamy do czynienia z udzialem reszt w wartosciach rzeczywistych Y

pojawia sie pytanie, czy udzial ten jest duzy czy maly. Decyzja ta zalezy od tego, jaki wskaznik v uznamy za mozliwy do akceptacji (np. 5%), a jaki naszym zdaniem bedzie wskazywal na zbyt duze wartosci bledu.

1.3.3 WSPÓLCZYNNIK ZBIEZNOSCI

Wspólczynnik zbieznosci

ϕ 2 obliczymy wykorzystujac nastepujacy wzór (wartosc

∑( y

zostala obliczona w poprzedniej tabeli):

t −

)2

y

0,063314

T

0,3234 - 1,3 1,3695

T

⋅

2

∑ y

$

t

− ( X y)

[

]

⋅





b

ϕ

 0,17526  0 3234

,

0,322327

0,001073

2 =

∑(

=

=

−

=

y

0,04173

0,04173

0,04173

t − y )2

ϕ 2 = 0 0257

,

Interpretujac ten wskaznik powiemy, ze 2,57% calkowitej zmiennosci zmiennej objasnianej Y nie zostalo wyjasnione przez model (przez zmiennosc zmiennej objasniajacej X).

1.3.4 WSPÓLCZYNNIK DETERMINACJI

Wspólczynnik determinacji R 2 obliczymy korzystajac ze wzoru: R 2

2

= 1− ϕ = 1− 0 0257

,

= 0 9743

,

Interpretacja : 97,43% calkowitej zmiennosci zmiennej objasnianej Y zostalo wyjasnione przez model (przez zmiennosc zmiennej objasniajacej X).

1.4 SREDNIE BLEDY OCEN PARAMETRÓW

Srednie bledy ocen parametrów modelu oszacujemy rozpoczynajac obliczenia od wyznaczenia macierzy wariancji-kowariancji estymatorów parametrów modelu: Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

4

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

5

1

−

 0,74504

-0,661001

 0,00020 -0,00018

D 2 b

2

( $) = $

σ ⋅( X T X =0,000268⋅

u

)



 = 



-0,661001

0,75543

-0,00018

0,00020



 



Elementy lezace na glównej przekatnej macierzy to wariancje ocen parametrów modelu. Obliczajac ich pierwiastki uzyskamy srednie bledy ocen parametrów (odchylenia standardowe od ocen tych parametrów).

$

σ = $ 2 =

= ±

α

σ

,

0 00020

,

0 01414

0

α 0

$

σ = $ 2 =

= ±

α

σ

,

0 00020

,

0 01414

1

α 1

Po oszacowaniu tych srednich bledów mozemy zapisac model nastepujaco: ˆ

Yt =

+

0,063314 0,17526⋅ X

(±

0,01414)

(±

)

t

0,01414

1.5 OCENA ISTOTNOSCI WSPÓLCZYNNIKA AUTOKORELACJI

1.5.1 TEST DURBINA-WATSONA

Aby ocenic istotnosc autokorelacji skladnika losowego I-ego rzedu posluzymy sie testem Durbina -

Watsona. Wymagane jest, aby obliczyc wartosc statystyki testowej DW dla naszego modelu.

Korzystamy ze wzoru:

n

∑(

2

u$ − u$

t

t −1 )

DW

t

= =2

n

u

∑ $2 t

t =1

W pierwszej kolejnosci musimy obliczyc reszty modelu, do czego wykorzystamy ponizsza tabele.

Okres

y

ˆ =

2

t

$ y

u

t

t

ˆ

u

u

u

ˆ

u

t −

t −

(ˆ ˆ t 1−)2

=

1

t

y − yˆ

t

t

1

0,1

0,12466

-0,02466

-

-

0,00061

2

0,15

0,14218

0,00782

-0,02466

0,00105

0,00006

3

0,18

0,16847

0,01153

0,00782

0,00001

0,00013

4

0,24

0,22981

0,01019

0,01153

0,00000

0,00010

5

0,28

0,27363

0,00637

0,01019

0,00001

0,00004

6

0,35

0,36126

-0,01126

0,00637

0,00031

0,00013

∑

0,00140

0,00107

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

5

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

6

Zatem:

0,00140

DW =

= 1,30045

0,00107

Poniewaz wartosc DW < 2 to sprawdzimy istotnosc dodatniej autokorelacji skladnika losowego stawiajac nastepujace hipotezy:

H : ρ ≤ 0

0

1

H :

A

ρ > 0

1

gdzie ρ jest wspólczynnikiem autokorelacji 1-szego rzedu.

1

W tablicach statystycznych rozkladu DW (dla poziomu istotnosci α=0,05) znajdujemy dla stopni swobody k = 1 i T (liczba obserwacji n) = 6 dwie wartosci krytyczne: dL i dU takie, ze: dL = 0,610 i dU = 1,400

Zatem na przyjetym poziomie istotnosci mozemy powiedziec, iz wartosc statystyki DW lezy w obszarze niekonkluzywnosci testu, gdyz DW ∈ dL; dU . Nie mozna zatem nic powiedziec o istotnosci autokorelacji skladnika losowego. W takim przypadku mozna skorzystac z innych testów badajacych istotnosc autokorelacji, pamietajac o ich ograniczeniach.

Na podstawie wartosci DW mozna jednak ocenic wartosc wspólczynnika ρ : 1

3

,

1

ˆ ≅

DW

ρ

1 −

=

= ,

0 65

1

2

2

Ocena ta wskazuje, ze wspólczynnik autokorelacji liniowej ma wartosc (sile) umiarkowana.

1.5.2 TEST MNOZNIKA LAGRANGE’A (TEST BREUSCHA-GODFREY’A) Ze wzgledu na fakt, iz test DW nie pozwolil jednoznacznie okreslic istotnosci autokorelacji skladnika losowego zastosujemy test mnoznika Lagrange’a (LM). Test ten jest przeznaczony dla duzych prób, stad przy malej liczebnosci obserwacji w naszym przykladzie nie powinien byc w zasadzie stosowany. Pamietajac o tym, przeprowadzimy go celem pokazania spsobu jego przeprowadzenia.

Hipotezy dotyczace wspólczynnika autokorelacji 1-ego rzedu sa takie same, jak w tescie DW.

Szacujemy model pomocniczy o postaci:

uˆ = β

ˆ

0 + β x

1

+ β u

2

−1 + ε

t

t

t

t

Zauwazmy, ze w modelu pomocniczym role zmiennej objasnianej pelnia reszty modelu Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

6

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

7

podstawowego, zas zmiennymi objasniajacymi sa wszystkie zmienne egzogeniczne modelu podstawowego oraz reszty modelun opóznione o jeden okres (t-1). Obliczamy wspólczynnik determinacji tego modelu:

2

R

LM =

91

,

0

Nastepnie obliczamy statystyke testowa

2

LM = R

o trzymujemy, ze LM = 4,55. Statystyka

LM ⋅ ( n −

)

1

LM ma rozklad chi-kwadrat o 1 stopniu swobody. Zakladajac poziom istotnosci α = 0,05 odszukujemy w tablicach statystycznych wartosc krytyczna χ 2

α (1) = 3,841 dla prawostronnego obszaru krytycznego

(test LM jest testem prawostronnym). Nastepnie porównujemy statystyke empiryczna LM ze statystyka teoretyczna z tablicy. Reguly decyzyjne sa nastepujace: LM < χ 2

α nie odrzucamy H0

LM > χ 2

α odrzucamy H0

W naszym przykladzie LM > χ 2

α , a wiec odrzucamy H0 i uznajemy, ze w modelu wystepuje istotna autokorelacj 1-ego rzedu.

1.6 BADANIE NORMALNOSCI ROZKLADU SKLADNIKA LOSOWEGO (TEST

JARQU’E-BERA)

Test JB jest prostym testem do oceny normalnosci rozkladu skladnika losowego badanego procesu.

W istocie test ten nie bada wlasnosci rozkladu, a ocenia podobienstwo skosnosci i splaszczenia rozkladu skladnika losowego do tych atrybutów w teoretycznym rozkladzie normalnym.

Stawiamy hipotezy:

H0: skladnik losowy ma rozklad normalny

HA: skladnik losowy nie ma rozkladu normalnego

Obliczamy statystyke testowa testu JB wg wzoru:



JB = n ⋅ 1

1

2

B

B

3

1 +

( − )2

2



 6

24



3

ˆ

u

∑

4

ˆ

u

∑

u

∑ 2ˆ

gdzie: B

t

=

, B

t

=

obliczamy na podstawie s

t

=

i uˆ = y − yˆ

1

3

n ⋅ s

2

4

n ⋅ s

n

t

t

t

Korzystajac z obliczen reszt modelu wykonanych dla testu istotnosci autokorelacji otrzymamy: Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

7

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

8

okres

uˆ

2

ˆ

u

3

ˆ

u

4

ˆ

u

t

t

t

t

1

-0,0247

0,0006081156

-0,0000149961

0,0000003698

2

0,00782

0,0000611524

0,0000004782

0,0000000037

3

0,01153

0,0001329409

0,0000015328

0,0000000177

4

0,01019

0,0001038361

0,0000010581

0,0000000108

5

0,00637

0,0000405769

0,0000002585

0,0000000016

6

-0,0113

0,0001267876

-0,0000014276

0,0000000161

suma

0,0010734095

-0,0000130962

0,0000004197

Zatem: s = 0,01337541, B1 = -0,912161862, B2 = 2,185652318

Stad statyka JB = 0,9978298. Statystyka ta ma rozklad chi-kwadrat o 2 stopniach swobody. Dla przyjetego poziomu istotnosci α = 0,05 znajdujemy w tablicach wartosc krytyczna χ 2

α (2) – dla

prawostronnego obszaru krytycznego. Wartosc χ 2

α (2) = 5,991. Porównujemy wartosc statystyki JB z

wartoscia krytyczna wg regul:

JB < χ 2

α nie odrzucamy H0

JB > χ 2

α odrzucamy H0

W naszym przykladzie JB < χ 2

α zatem nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy o normalnosci rozkladu skladnika losowego. Warto podkreslic, ze test JB jest testem przeznaczonym dla duzych prób i w naszym zadaniu raczej nie powinien byc stosowany. Przedstawilismy go tutaj, aby pokazac technike wykonania tego testu. najlepszym testem do badania normalnosci rozkladu jest test Shapiro-Wilka, i jesli tylko mamy mozliwosc jego wykonania, wybieramy go przed innymi testami na normalnosc.

1.7 BADANIE STALOSCI WARIANCJI SKLADNIKA LOSOWEGO (TEST

WHITE’A)

Hipotezy w tescie badajacym jednorodnosc wariancji sa nastepujace: H0: skladnik losowy ma stala wariancje

HA: skladnik losowy nia ma stalej wariancji

W statystyce zdefiniowanych jest wiele rodzajów testów White’a. W naszym przypadku posluzymy sie takim, który zaklada podniesienie do kwadratu calej postaci analitycznej modelu. Obliczamy model pomocniczy o postaci:

u2

ˆ = β

ˆ

gdzie y = bˆ

ˆ

+ bˆ x

0 + β

y 2

1

+ ξ

t

t

t

t

0

1

t

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

8

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

9

Otrzymujemy zatem:

u2

ˆ = β

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

(

)

(

2

)

0 + β

b

1

0 + b x

2

1

+ ξ = β0 + β b2

1

0 + b 2 x 2

1

+ b b x

0

1

+ ξ =

t

t

t

t

t

t

= β

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

2

0 + β b 2

1

0 + β b 2 x 2

1 1

+ β b b x

1

0

1

+ ξ = α0 + α x2

1

+ α x

2

+ ξ

t

t

t

t

t

t

Nastepnie obliczamy wspólczynnik determinacji dla modelu pomocniczego: 2

R

W = 0,488

i obliczamy statystyke testowa

2

W = n ⋅ R

, która ma rozklad chi-kwadrat o tylu

W = 6 ⋅ 0,488 = 2,928

stopniach swobody, ile jest zmiennych objasniajacych w modelu pomocniczym. W naszym modelu sa dwie zmienne objasniajace – x i x2 – zatem, przy zalozonym poziomie istotnosci α = 0,05, znajdujemy w tablicach wartosc krytyczna χ 2

α (2) = 5,991. Test ma prawostronny obszar krytyczny, zatem reguly decyzyjne sa nastepujace:

W < χ 2

α nie odrzucamy H0

W > χ 2

α odrzucamy H0

W naszym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy o stalosci wariancji skladnika losowego.

2.

SZACOWANIE OPISOWEGO MODELU NIELINIOWEGO

Z JEDNA ZMIENNA OBJASNIAJACA

W niniejszym przykladzie rozwiazemy problem zwiazany z oszacowaniem parametrów jednorównaniowego modelu klasy potegowo-wykladniczej dla jednej zmiennej objasniajacej.

2.1 DANE DO ZADANIA

Oszacowac klasyczna metoda najmniejszych kwadratów parametry modelu: Y

eα 0 X α 1 eut

=

⋅

⋅

t

t

gdzie:

Yt - miesieczne wydatki na odziez w tys. zl. na osobe,

Xt - miesieczny dochód netto w tys. zl. na osobe.

Ponadto:

1. Zinterpretowac model po oszacowaniu.

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

9

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

10

2. Obliczyc wariancje reszt modelu, sredni blad reszt, wspólczynniki R2, ϕ2.

3. Oszacowac srednie bledy ocen parametrów modelu.

4. Zweryfikowac istotnosc statystyczna zmiennej objasniajacej dla poziomu α = 0,1.

5. Ocenic statystyczna istotnosc autokorelacji skladnika losowego.

Niezbedne dane podane sa w ponizszej tabeli:

Miesiac

Wydatki Yt

Dochód Xt

1

0,07

0,6

2

0,095

0,8

3

0,110

1,0

4

0,125

1,2

5

0,145

1,4

6

0,170

1,6

2.2 SZACOWANIE PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU

Poniewaz rozwazany model jest nieliniowy wzgledem parametrów, a stosowana metoda estymacji nie pozwala wprost szacowac parametrów takiego modelu, nalezy go przeksztalcic do postaci liniowej wzgledem parametrów. Korzystajac z wlasnosci modelu przeksztalcimy go poprzez obustronne zlogarytmowanie:

ln y

ln( eα 0 X α 1 eut

=

⋅

⋅

t

t

)

ln y = α

0 + α 1 ⋅ ln x

+ u

t

t

t

Stosujac podstawienia ln y = v i ln x = z uzyskujemy: t

t

t

t

v = α

0 + α 1 ⋅ z

+ u

t

t

t

Taka postac modelu pozwala nam zastosowac KMNK przy zalozeniu, ze zmienna objasniajaca jest z , a zmienna objasniana jest v (wymaga to oczywiscie zalozenia, ze miedzy zmiennymi v i z t

t

zachodzi zaleznosc liniowa, i ze spelnione sa odpowiednie zalozenia co do wlasnosci skladnika losowego u). Przyjmujac takie oznaczenia zapiszemy estymator KMNK nastepujaco: $

b

( ZTZ) ZT

=

−1

v

Wynika z tego, ze postacie macierzy Z T Z i ZTv sa nastepujace: Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

10

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

11

 n

z 



v



T

∑

T

∑

Z Z = 

t

Z v = 

t



2 

∑ z

z

∑ v z

t ⋅

t

∑ t 



t 

Obliczenia elementów tych macierzy wykonamy w ponizszej tabeli:

Wydatki

Dochód

v

2

t

zt

zt

vt*zt

Miesiac

Yt

Xt

(ln Yt)

(ln Xt)

(ln Xt)2

1

0,07

0,6

-2,65926

-0,51083

0,26094

1,35842

2

0,095

0,8

-2,35388

-0,22314

0,04979

0,52525

3

0,110

1,0

-2,20727

0,00000

0,00000

0,00000

4

0,125

1,2

-2,07944

0,18232

0,03324

-0,37913

5

0,145

1,4

-1,93102

0,33647

0,11321

-0,64974

6

0,170

1,6

-1,77196

0,47000

0,22090

-0,83283

Σ

-13,00283

0,25483

0,67809

0,02198

Stad mamy:



6



Z T Z =

0,25483





0,25483 0,67809

−1

Macierz odwrotna ( Z T Z) obliczymy ze wzoru: D

(

T

−1

T

) ( Z Z)

Z Z

=

Z T Z

Macierz dopelnien algebraicznych:

(

D

 0,67809



-0,25483

Z T Z ) = 



-0,25483

6



Wyznacznik Z T Z = 0 67809

,

⋅ 6 − (−0,

)

25483 ⋅ (−0,

)

25483 = 4,00363

Stad:

 0,67809



-0,25483





(

−1

-0,25483

6

  0,16937



-0,06365

Z T Z ) =

= 



4 00363

,

-0,06365 1,49864 

Wektor Z T v ma postac:

-



Z T v =

13,00283





 0,02198 

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

11

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

12

Mozemy zatem policzyc oceny parametrów postaci logarytmiczno-liniowej naszego modelu:

−

T

T



 

 

 ← α

ˆ

b = ( Z Z ) 1

0,16937

- 0,06365

-13,00283

- 2,20369

ˆ0

Z v =

⋅

=



 

 



- 0,06365

1,49864

0,02198

0,86057



 

 

 ← ˆ α 1

Postac teoretyczna modelu:

ˆ

v

t = -2,20369 + 0,86057 ⋅ z t

lub lepiej bezposrednio w postaci pierwotnej:

2

− ,20369

0,86057

ˆ

Y = e

⋅ X

t

t

Parametr bedacy wykladnikiem potegi dla zmiennej X jest elastycznoscia wydatków Y wzgledem dochodów X. Mozemy zinterpretowac go nastepujaco:

Ceteris paribus wzrost dochodów X o 1 procent powodowal wzrost wydatków Y srednio o 0,861

procenta (spadekt dochodów X o 1 procent powodowal spadek wydatków Y srednio o 0,861 procenta).

2.3 MIARY DOPASOWANIA

2.3.1 WARIANCJA RESZT MODELU

Szacujac miary dopasowania analizowanego modelu odnosimy je oczywiscie do postaci zlogarytmowanej (zlinearyzowanej). Oznacza to, ze we wszystkich wzorach, które stosujemy w tym celu zmienna objasniana jest v, zas zmienna objasniajaca jest z.

Aby oszacowac wariancje reszt $

u modelu mozna skorzystac ze wzoru:

28,67722 - [-13,0028

] − ,220369

T

0,021983 ⋅

2

T





v

∑ − Z v ⋅ b

t

 86057

,

0

 28,67722 - 28,67305

2

( ) $

$

σ =

=

=

u

n − ( k + )

1

6 - (1 + )

=

1

4

0,00417

=

4

ˆ 2

σ

u = 0,0010425

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

12

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

13

2.3.2 SREDNI BLAD RESZTOWY

Na podstawie znajomosci wariancji reszt wyznaczamy odchylenie standardowe reszt modelu (sredni blad reszt) $

σ :

u

ˆ

σ

σ

u =

ˆ 2 u =

0010425

,

0

= 0,03229

Interpretujac otrzymana wartosc zauwazmy, ze skladnik losowy „u” w postaci pierwotnej (nieliniowej) modelu nie jest addytywny lecz multiplikatywny. To oznacza, ze skladnik resztowy nie okresla zwyklych róznic miedzy wartosciami rzeczywistymi zmiennej objasnianej Yt, a jej wartosciami teoretycznymi Yˆ . Skladnik resztowy oznacza w naszym modelu róznice miedzy wartosciami t

rzeczywistymi vt, a wartosciami teoretycznymi vˆ . Interpretacja w odniesieniu do zmiennej v, czyli t

logarytmów y, bylaby oczywiscie merytorycznie poprawna, jednak nieczytelna.

Chcac odniesc sie bezposrednio do zmiennej wydatków Y w naszym przypadku powiemy, ze udzial róznic miedzy wartosciami empirycznymi Yˆ a teoretycznymi zmiennej Y w teoretycznych t

Y

Yˆ

−

wartosciach Yˆ (czyli t

t ) wynosi srednio:

t

Yˆ t

( $ eσu − )1⋅100 = ( e 0,03206 − )1⋅100 = ,325%

2.3.3 WSPÓLCZYNNIK ZBIEZNOSCI

Wspólczynnik zbieznosci ϕ 2 obliczymy wykorzystujac nastepujacy wzór (wartosc ∑( v t −

)2

v

obliczono w poprzedniej tabeli):

− ,

2 20369

T

T

⋅

2





∑ vt − Z v ⋅ b

2

( )

28,67722 - [-13,0028

]

0,021983

ˆ

86057

,

0





ϕ =

∑( v

t − v )

=

=

2

0,49828

28,67722 - 28,67305

0,00417

=

=

0,49828

0,49828

2

ϕ = 00837

,

0

Interpretujac ten wskaznik powiemy, ze 0 ,84% calkowitej zmiennosci zmiennej objasnianej (w formie liniowej modelu) nie zostalo wyjasnione przez model.

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

13

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

14

2.3.4 WSPÓLCZYNNIK DETERMINACJI

Wspólczynnik determinacji R 2 obliczymy korzystajac ze wzoru: 2

R = 1

2

− ϕ = 1− 00837

,

0

= 99163

,

0

Interpretacja: 99,16% calkowitej zmiennosci zmiennej objasnianej zostalo wyjasnione przez model.

2.4 SREDNIE BLEDY OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH

Srednie bledy ocen parametrów modelu oszacujemy rozpoczynajac obliczenia od wyznaczenia macierzy wariancji-kowariancji estymatorów parametrów modelu: 1

−

 0,16937 -



0,06365

0,000174 −



000065

,

0

D 2 b

2

( $) = $

σ ⋅( ZTZ =0,001028⋅

=

u

)



 



- 0,06365 1,49864  − 000065

,

0

0,00154 

Elementy lezace na glównej przekatnej to wariancje ocen parametrów modelu. Obliczajac ich pierwiastki uzyskamy srednie bledy ocen parametrów (odchylenia standardowe ocen tych parametrów): $

σ = $ 2 =

= ±

α

σ

,

0 000174

,

0 0132

0

α 0

$

σ = $ 2 =

= ±

α

σ

,

0 00154

,

0 0392

1

α 1

Po oszacowaniu tych bledów mozemy zapisac model nastepujaco:

−2,20369

0,86057

(±0,0132)

( 0,0392)

ˆ

±

y

e

x

t =

⋅ t

2.5 OCENA ISTOTNOSCI ZMIENNEJ OBJASNIAJACEJ

Zakladajac, ze skladnik losowy spelnia wlasnosci normalnosci rozkladu, stalosci wariancji oraz braku istotnej autokorelacji mozemy wykonac ocene istotnosci zmiennej objasniajacej x modelu za pomoca testu t-Studenta. Istotnosc zmiennych badamy testujac parametry strukturalne.

Dla parametru α1 stawiamy zestaw hipotez:

H0: α1 = 0, HA: α1 ≠ 0.

Obliczmy statystyke próbkowa dla parametru α1 :

ˆ

α

86057

,

0

1

tα =

=

=

953

,

21

ˆ1

ˆ

σ

0392

,

0

ˆ

α 1

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

14

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

15

Przy zalozeniu prawdziwosci hipotezy zerowej powyzsza statystyka ma rozklad t-Studenta o n-

(k+1) stopniach swobody, wobec tego, przy zalozonym poziomie istotnosci dla testu dwustronnego (α

= 0,1), znajdujemy w tablicach statystycznych wartosc krytyczna rozkladu t: t

a

= t

= 132

,

2

0,05

2

Porównujac statystyke próbkowa z wartoscia krytyczna otrzymujemy:

• t >

zatem odrzucamy hipoteze H

ˆ

α

tα

0 na korzysc hipotezy HA, czyli stwierdzamy, ze parametr 1

2

α1 istotnie rózni sie od 0, co oznacza, ze zmienna X (dochody) istotnie wplywala w badanym okresie na wielkosc wydatków Y.

2.6 OCENA ISTOTNOSCI AUTOKORELACJI SKLADNIKA LOSOWEGO

Aby ocenic istotnosc wspólczynnika autokorelacji rzedu I-ego wykonamy test Durbina-Watsona.

Stawiamy nastepujacy zestaw hipotez:

H0: wspólczynnik autokorelacji ρ1 nieistotnie rózni sie od 0, HA: wspólczynnik autokorelacji ρ1 istotnie rózni sie od 0.

Statystyka próbkowa testu zostanie policzona na podstawie wzoru:

∑(ˆ u u

t −

2

ˆ t−1 )

DW =

∑

2

ˆ

ut

Na podstawie oszacowanego modelu obliczamy wartosci teoretyczne vˆ , a nastepnie reszty modelu t

uˆ .

t

okres

vt

vˆ

uˆ = v − vˆ

t

ˆ

( ˆ

u

u

2

ˆ

u

t − ˆ

t

t

t

u

2

)

t 1

−

t 1

−

t

1

-2,65926

-2,64329

-0,01597

-

-

0,00025

2

-2,35388

-2,39572

0,04184

-0,01597

0,00334

0,00175

3

-2,20727

-2,20369

-0,00358

0,04184

0,00206

0,00001

4

-2,07944

-2,04679

-0,03265

-0,00358

0,00085

0,00107

5

-1,93102

-1,91413

-0,01689

-0,03265

0,00025

0,00029

6

-1,77196

-1,79922

0,02726

-0,01689

0,00195

0,00074

suma

0,00845

0,00411

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

15

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

16

Zatem statystyka DW wynosi:

00845

,

0

DW =

= 056

,

2

00411

,

0

Poniewaz statystyka DW > 2 to zakladamy badanie istotnosci autokorelacji ujemnej. Odnajdujemy w tablicach statystycznych wartosci krytyczne rozkladu DW dla ustalonego poziomu istotnosci (α =

0,05) oraz stopni swobody n = 6 i k = 1:

dL = 0,610; dU = 1,400.

Obliczamy statystyke pomocnicza DW’ = 4-DW = 4-2,056 = 1,944

Poniewaz zachodzi zaleznosc: DW’>dU to test Durbina-Watsona rozstrzyga o nieodrzuceniu hipotezy H0. Zatem mozemy uznac autokorelacje skladnika losowego za nieistotna.

Majac obliczona wartosc DW mozemy oszacowac wspólczynnik autokorelacji I-ego rzedu

,

2 056

ˆ ≅

DW

ρ

1 −

≅ 1−

= − ,

0 028

1

2

2

Wspólczynnik przyjmuje bardzo mala wartosc – sila autokorelacji jest znikoma.

Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE

Krzysztof Swietlik

16