Wykład 1

1. Modelowanie zjawisk i procesów ekonomicznych

1.1. Model jako kategoria metodologiczna

W nauce powszechne jest konstruowanie i stosowanie różnego typu modeli. Istnieje także wiele ich

definicji i klasyfikacji. Zwykle wyróżnia się dwa podstawowe rodzaje modeli, modele metodologiczne

i modele semantyczne (teorie).

Jeśli chodzi o modele metodologiczne to jedną z najbardziej ogólnych jest definicja modelu związana

z pojęciami izomorfizmu i homomorfizmu.

„Jeżeli elementy połączenia, przekształcenia systemu A w system B występują w odwzorowaniu

wzajemnie jednoznacznym, to systemy te są izomorficzne. Jeżeli między dwoma obiektami może być

określony jakimś sensie izomorfizm odnoszący się do elementów, połączeń i przekształceń, to w tym

sensie każdy z tych obiektów może być modelem drugiego, ponieważ są one równoważne pod

względem rozpatrywanych charakterystyk. Wybór jednego z nich w charakterze modelu określany jest

pod kątem wygody badań”1.

Model (fizyczny lub abstrakcyjny) jest budowany przez badacza, który na ogół chce, bądź musi

zbudować odwzorowanie w jakimś sensie uproszczone, wtedy model jest homomorfizmem. To

znaczy, że „każdemu elementowi, każdemu związkowi i każdemu przekształceniu systemu A

odpowiada określony związek i określone przekształcenie w systemie B, lecz nie na odwrót. […]

System B nazywamy homomorficznym obrazem systemu i może być rozpatrywany jako jego

uproszczony […] model. Izomorfizm jest skrajnym przypadkiem homomorfizmu lub wzajemnie

jednoznacznym homomorfizmem”2.

A oto kilka innych definicji modelu:

„Modelem nazywa się bądź zbiór założeń upraszczających, bądź też sam przedmiot lub zbiór

przedmiotów spełniających takie założenia. W pierwszym przypadku mówi się o modelu nominalnym

lub teoretycznym, w drugim – o modelu realnym, zwanym też interpretacją lub realizacją modelu

nominalnego”3.

„Model stanowi odzwierciedlenie określonych charakterystyk obiektu w celu jego zbadania. Model

jest ważnym instrumentem naukowej abstrakcji pozwalającym wyodrębnić, ustalić i przeanalizować

istotne dla danego badania charakterystyki: własności, wzajemne związki, strukturalne i funkcjonalne

parametry pewnego obiektu”4.

1 Słownik matematyki i cybernetyki ekonomicznej, PWE, Warszawa, 1976, s. 129

2 Tamże, s.129

3 Mała encyklopedia logiki, Zakład Narodowy im. Ossolińskich Wydawnictwo, Wrocław-Warszawa-Kraków, 1988,

s. 128

4 Słownik matematyki i cybernetyki ekonomicznej, PWE, Warszawa, 1976, s. 128

dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna II

„Model (z łac. Modus – sposób, miara, norma, wzór) jest to przedmiot złożony (także abstrakcyjny,

odwzorowujący dla celów poznawczych lub praktycznych bardziej od niego złożony, istniejący lub

projektowany fragment rzeczywistości”5.

Modelem w sensie teorii nazywa się „układ przedmiotów , tj. indywiduów, klas, stosunków, funkcji,

które przyporządkowane są wyrażeniom danej teorii, bądź jako denotacje jej terminów stałych, bądź

jako wartości zmiennych, spełniając przy tym aksjomaty owej teorii”6.

Ponieważ obecnie dość często używa się terminu model w rozumieniu teorii, warto wobec tego podać

dla porównania definicję teorii. Według „Małej encyklopedii prakseologii i teorii organizacji” (s. 246)

teorią nazywamy dziedzinę obejmującą działanie wewnętrzne i wyniki namysłu w przeciwieństwie do

praktyki odnoszącej się do działania zewnętrznego. Teoria stanowi zespół twierdzeń podstawowych,

odnoszących się do określonej grupy zjawisk, które pozwalają je wyjaśnić przy zastosowaniu metody

dedukcji.

W wyniku analizy przytoczonych definicji modelu, rysują się wspólne ich elementy. Przede

wszystkim model jest swego rodzaju odzwierciedleniem rzeczywistości. Może do jego konstrukcji

zostać użyte rozmaite „tworzywo”, rzeczy, słowa, symbole, kolory itd. Jak podamy przykłady:

• modelu terenu (jakim jest mapa fizyczna),

• modelu człowieka (jakim jest manekin),

• modelu domu (jakim jest plan w postaci rysunku technicznego),

• modelu wolnokonkurencyjnego rynku (w postaci trzech równań podaży, popytu i ceny),

to widzimy jak rozmaite mogą być modele, lub jak pojemne jest to pojęcie.

1.2. Typy modeli i ich struktura

W nauce i praktyce spotykamy się z rozmaitymi rodzajami modeli. Ze względu na pewne cechy

modeli tworzy się rozmaite ich klasyfikacje,

Na przykład w cytowanej już „Encyklopedii prakseologii i teorii organizacji” wyróżnia się:

• Modele prakseologiczne (odnoszone do organizacji, czy przedmiotów technicznych),

• Modele fizyczne (odnoszone do klasy rzeczy, lub ich projekty),

• Modele semantyczne (przedmioty opisywane w teorii, której wyrażeniom przyporządkowane

są pewne indywidua, klasy, relacje, tworzące modele tej teorii)’

• Modele matematyczne (szczególny przypadek modeli semantycznych, gdy indywiduami

i klasami są liczby, elementy geometryczne, między którymi występują relacje).

5 Mała encyklopedia prakseologii i teorii organizacji, Zakład Narodowy im. Ossolińskich Wydawnictwo, Wrocław-

Warszawa-Kraków, 1978, s. 119

6 Małą encyklopedia logiki, Zakład Narodowy im. Ossolińskich Wydawnictwo, Wrocław-Warszawa-Kraków, 1988,

s.128

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna II

O nieco innym ujęciu rodzajów modeli, które znajdują zastosowanie w naukach ekonomicznych,

mówi Z. Czerwiński7. Wskazuje on, że istnieją modele różnych obiektów gospodarczych

(przedsiębiorstwa, regionu, gospodarki), a także modele procesów gospodarczych (konsumpcji,

oszczędności, produkcji, inwestycji). Istnieją również tzw. modele teoretyczne, w których zakłada się

określony sposób zachowania podmiotów gospodarczych i dedukuje się na tej podstawie skutki owych

zachowań nie wymagając weryfikacji praktycznej. Tego typu modele są klasycznie stosowane

w ekonomii matematycznej. W opozycji wymienia modele ekonometryczne, co do których stawia się

wymagania ostrej weryfikacji statystycznej.

W zależności od tego jakie strony rzeczywistości model odtwarza, odróżniamy następujące typy

modeli materialnych:

1. modele substancyjne (model jest tożsamy z obiektem),

2. modele funkcjonalne (model odtwarza funkcjonowanie obiektu),

3. modele strukturalne (model odzwierciedla strukturę obiektu),

4. modele mieszane (kombinacje trzech poprzednich typów)8.

Inny dychotomiczny podział pozwala wyodrębnić modele opisowe i normatywne. Modele opisowe

mają głównie odwzorować, oczywiście z uproszczeniem, badany fragment rzeczywistości, i podkreśla

się, że służą celom poznawczym. Modele normatywne z kolei są tworzone jako swego rodzaju

wzorce.

Analizując postaci i struktury modeli można wskazać, że są one swego rodzaju systemami,

złożonymi z elementów i relacji między nimi. Oczywiście w sposób bardziej bezpośredni widać to

w przypadku modeli realnych. Model realny może być stworzony jako fizyczny układ przedmiotów,

upraszczający odzwierciedlaną rzeczywistość ale na tyle do niej podobny, aby dawał podstawę do

wyciągania wniosków, do rozwiązywania realnych problemów. Można tu wskazać przykłady – mapy,

roboty, makiety samolotów. Model realny może mieć postać niematerialną, może być tworem

myślowym – na przykład przeciętny konsument, doskonała konkurencja, mikroekonomiczny model

decyzyjny optymalnie zachowującego się przedsiębiorcy.

Model posiada własności odtwórcze – jest zawsze modelem czegoś, a ponadto z reguły jest

uproszczeniem, abstrakcją rzeczywistości, Aby model zrozumieć trzeba znać język modelu, sposób

jego utworzenia, reguły wnioskowania na podstawie modelu. Dotyczy to w szczególności modeli teorii.

1.3. Funkcje modelu

Modele i modelowanie stosowane są w nauce z różnych względów. Przede wszystkim ułatwiają

analizę złożonych zjawisk, obiektów, czy procesów. Modele zastępują eksperymentowanie, ułatwiają

weryfikację teorii.

7 Z. Czerwiński, Moje zmagania z ekonomią, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 2002,

s. 540-541

8 Wstęp do metodologii ekonomii, Zakład Narodowy im. Ossolińskich Wydawnictwo, Wrocław – Warszawa –

Kraków, 1979, s. 245

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna II

Wobec tego najczęściej wskazuje się kilka funkcji modeli:

- poznawczą,

- opisową,

- predyktywną

- symulacyjną.

Modele buduje się gdy rzeczywiste obiekty nie mogą być bezpośrednio obserwowane. Wynika to

z „ułomności” człowieka bądź z właściwości przedmiotu modelowania. Dla przykładu bezpośrednia

obserwacja może być niemożliwa ze względu na ograniczoność naszych zmysłów, czas trwania

obiektu, warunki powodujące destrukcję organizmu obserwatora. Może także obserwator wpływać na

badany obiekt, co zniekształca wyniki obserwacji, lub sam proces obserwacji może powodować

zniszczenie obiektu badań.

Modelowanie traktowane jest jako naukowa metoda poznawania rozmaitych układów (obiektów,

systemów) poprzez budowanie ich modeli. Modele te zachowują podstawowe, istotne zdaniem

badacza, własności, struktury, funkcje modelowanego obiektu. Modelowanie można wobec tego

traktować jako metodę pośredniego poznania za pomocą modeli – tworów zdolnych w określonych

warunkach do reprezentowania obiektów realnych, pozwalających uzyskiwać badaczowi wiedzę

o tych obiektach9.

W przypadku modeli formalnych, stosowanych powszechnie w teorii ekonomii ich rola polega na

umożliwieniu tworzenia struktury teoretycznej. Pozwalają one stwierdzić spójność i logiczne

następstwo założeń i twierdzeń, hierarchię praw wyprowadzanych na podstawie modelu. Za pomocą

modelu teoretycznego można stosując metodę dedukcji sformułować twierdzenia niemożliwe do

wyprowadzenia drogą indukcji. Zbudowanie modelu formalnego prowadzi do identyfikacji

niedoskonałości wiedzy badacza o przedmiocie modelowania10.

Przytoczmy też rozważania na temat funkcji modelu teorii. z cytowanej wcześniej Małej Encyklopedii

Logiki (s. 128-129):

„Dziedzinę pewnej teorii zachowania można przedstawić jako układ D=<Z,B,R,F>, gdzie Z jest

zbiorem stanów interesujących psychologa; będzie to w danym przypadku suma zbiorów B (bodźce)

i R (reakcje). F jest funkcją przyporządkowującą każdemu bodźcowi reakcję. Taki sposób opisu

zachowania,

przypominający

wczesny

(klasyczny)

behawioryzm,

nie

odpowiada

jednak

rzeczywistości, ponieważ nie ma jednoznacznego przyporządkowania między bodźcami i reakcjami;

na te same bodźce indywidua reagują w różny sposób, zależnie od tego w jakim znajdują się aktualnie

stanie wewnętrznym. Lepszym więc przybliżeniem będzie teoria o następującej dziedzinie

D=<Z’, B, R, W,, F’>. Z’ jest zbiorem Z uzupełnianym o zbiór stanów wewnętrznych W, zaś F’ jest

funkcją określoną na zbiorze par B, W i przybiera wartości ze zbioru R. … [Ten sposób postępowania]

pozwala więc charakteryzować teorie naukowe w sposób zwięzły i przejrzysty, zmuszając

9 Mała encyklopedia prakseologii i teorii organizacji, Zakład Narodowy im. Ossolińskich Wydawnictwo, Wrocław-

Warszawa-Kraków, 1978, s. 120

10 Por. J. Kornai: Anti-equilibrium, PWN, Warszawa 1977, s. 42

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna II

jednocześnie do sprecyzowania, czy rozważane w teorii zależności mają charakter funkcji, jak daleko

posunięta jest ogólność twierdzeń teorii, itp. Innego rodzaju przykład zastosowania modeli teorii do

charakterystyki nauk empirycznych to analiza sensowności terminów teoretycznych, które z racji swej

nieostrości są podatne na wiele interpretacji.”

Na temat funkcji modeli

Omawiając funkcje modeli realnych, czy modeli teorii nie sposób nie zastanowić się nad ich

weryfikacją. Oznacza to zadanie pytania „czy model jest prawdziwy?”. Wtedy konieczne staje się

określenie kryteriów oceny i stwierdzenie na ile model owe kryteria spełnia. Najczęściej wskazuje się,

że ostatecznym kryterium weryfikacji modelu jest jego moc predyktywna, czy symulacyjna, czyli

zgodność modelu z rzeczywistością.

1.4. Modele ekonomii matematycznej a modele ekonometryczne

A. Malawski zauważa, że obiektywnym procesem jaki obserwuje się w nauce, i odnosi się to

również do ekonomii jest proces jej matematyzacji. Matematyzacja nauki przybiera różne formy od

matematyzacji wyników poznawczych, wymagającej pomiarów, ustalenia skal pomiarowych, poprzez

matematyzację metodologiczną, polegającą na stosowaniu realnych modeli teorii sformalizowanych,

a na aksjomatyzacji nauki kończąc. Ta strukturalna forma matematyzacji nauki polega na nadawaniu

teoriom nauki struktury systemów dedukcyjnych, zaksjomatyzowanych, bądź sformalizowanych11.

W konsekwencji przedmiot rozważań ekonomii zostaje sprowadzony do postaci formalnego

modelu (równania, układu równań, model ekonometryczny, model relacyjny, system aksjomatyczny).

Systemy aksjomatyczne są uznawane za najdojrzalsze formy matematyzacji. Wymagają ustalenia

zbioru pojęć pierwotnych, które sprowadza się do tzw. obiektów matematycznych. Następnie

przyjmuje się założenia (aksjomaty) matematycznych reprezentantach pojęć pierwotnych. Wreszcie

stosując metodę analizy matematycznej wyprowadza się twierdzenia o prawach ekonomicznych.

Jak pisze we wstępie do swojej pracy12 E. Panek „U źródeł modelowania matematycznego zjawisk

ekonomicznych tkwi swoisty dualizm metodologiczny. Część ekonomistów stosuje język

matematyczny, niekoniecznie ilościowy, do tworzenia zrębów teorii dedukcyjnej, traktując model

matematyczny jako narzędzie eksperymentu myślowego, pozwalającego na budowę systemu

dedukcyjnego w postaci uporządkowanego zbioru twierdzeń matematycznych. Ci ekonomiści

matematyczni wierzą w wewnętrzną logikę i ład procesów ekonomicznych i, co ważniejsze,

w możliwość ich skutecznego poznania.” Tym badaczom przeciwstawia ekonometryków, którzy

budują modele matematyczne mierzalnych zjawisk i procesów ekonomicznych i szacują je na

podstawie danych empirycznych o tych zjawiskach. Modele ekonometryczne są weryfikowane.

Zakłada się, że powinny spełniać określone wymogi dokładności opisu modelowanego fragmentu

rzeczywistości.

11 Por. A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej

w Krakowie, Kraków 1999, s. 12

12 Por. E. Panek: Elementy ekonomii matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993, s. 8

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna II

Modele ekonometryczne budowane są na podstawie teorii ekonomii, czasem jako empiryczna

egzemplifikacja modeli ekonomii matematycznej (np. modele produkcji, czy modele popytu), lecz

często modele ekonometryczne są wynikiem obserwacji ekonomicznych zjawisk realnych,

obserwowanych przez badacza zależności. Modele ekonometryczne są modelami, w których musi być

przyjęty pewien zbiór założeń dotyczących modelowanego zjawiska, aby miały one sens jako ich

formalne odzwierciedlenie (na przykład w przypadku modeli liniowych jest to schemat Gausa-

Markowa)

Podstawową różnicą między modelami ekonometrycznymi i modelami ekonomii matematycznej

jest problem weryfikacji empirycznej.

Podsumowanie:

Na zakończenie wykładu należy zwrócić uwagę na kontrowersje wśród ekonomistów jakie budzi

stosowanie metod matematycznych, modeli ekonomii matematycznej i modeli ekonometrycznych.

Nawet ci uczeni, którzy sami prowadzą badania wykorzystując szeroko wspomniane metody, a może

zwłaszcza oni, wskazują istotne ograniczenia procesu matematyzacji ekonomii. Na przykład

Z. Czerwiński pisze: ”Wykrycie uniwersalnych, ścisłych i niebanalnych praw ekonomicznych, które by

stanowiły mocny fundament wiedzy ekonomistów całego świata, na podstawie którego mogliby

rozwiązywać bieżące zagadnienia gospodarcze, pozostaje ideałem niezrealizowanym”13.

Pytania kontrolne:

1. Podaj pojęcie modelu ekonomii matematycznej?

2. Czym różni się model od teorii naukowej?

3. Wymień funkcje modelu?

4. Na czym polega funkcja prognostyczna modelu?

5. Jakie cechy różnią modele ekonomii matematycznej od modeli ekonometrycznych?

13 Z. Czerwiński, Moje zmagania z ekonomią, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 2002,

S. 541

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna II