Elektrodynamika - zadania z I kolokwium z lat

2003-2004

Piotr Kowalczyk

Zadanie 1

Określić wirowość pola ~

C i żródłowość pola ~

D będących odpowiednio sumą ( ~

C = ~

A+ ~

B) i iloczy-

nem wektorowym ( ~

D = ~

A

~

× B) pól ~

A i ~

B, gdzie ~

A( x, y, z) = x~ix − y~iy + z~iz oraz ~

B( r, θ, φ) = r~ir.

Zadanie 2

Wyznaczyć odpowiednio gradient i rotację pól C i ~

D będących iloczynem skalarnym ( C = ~

A ~

· B)

i iloczynem wektorowym ( ~

D = ~

A

~

× B) pól ~

A i ~

B, gdzie ~

A( ρ, φ, z) = ρ~iρ + z~iz oraz ~

B( x, y, z) =

−x~ix + y~iy − z~iz.

Zadanie 3

Określić wirowość pola ~

C i żródłowość pola ~

D będących odpowiednio sumą ( ~

C = ~

A + ~

B) i

iloczynem wektorowym ( ~

D = ~

A

~

× B) pól ~

A i ~

B, gdzie ~

A( ρ, φ, z) = ρ~iρ + z~iz oraz ~

B( r, θ, φ) =

1 ~i

~i

tg φ ~i

r r +

1

r tg θ θ − r sin θ φ.

Zadanie 4

Wyznaczyć (o ile to możliwe) gradient, rotację i dywergencję pól C i ~

D będących iloczynem

skalarnym ( C = ~

A

~

~

· B) i iloczynem wektorowym ( ~

D = ~

A × B) pól ~

A i ~

B, gdzie ~

A( ρ, φ, z) =

2 ρ 2 cos φ~iρ − 2 ρ 2 sin φ~iφ oraz ~

B( r, θ, φ) = r~ir.

Zadanie 5

Wyznaczyć (o ile to możliwe) gradient, rotację i dywergencję pól C i ~

D będących iloczynem

skalarnym ( C = ~

A

~

~

· B) i iloczynem wektorowym ( ~

D = ~

A × B) pól ~

A i ~

B, gdzie ~

A( ρ, φ, z) =

2 ρ 2 cos φ~iρ − 2 ρ 2 sin φ~iφ oraz ~

B( r, θ, φ) = r~ir.

Zadanie 6

Zapisz we współrzędnych prostokątnych jawną postać pola ~

C = grad div ~

D

~

×B, gdzie ~

D( x, y, z) =

x 2 y~ix + y 2 z~iy + z 2 x~iz oraz ~

B( r, Θ , ϕ) = r sin2 Θ ~ir + r sin Θ cos Θ ~iΘ .

Zadanie 7

Zapisz we współrzędnych prostokątnych jawną postać pola ~

C = grad f + rot ~

B, gdzie f ( x, y, z) =

xy oraz ~

B( ρ, ϕ, z) = ρz~iρ + sin ϕ~iϕ + ρ~iz.

Zadanie 8

Zapisz we współrzędnych prostokątnych jawną postać pola f = rot ~

C

~

· B, gdzie ~

C( r, Θ , ϕ) =

r sin ϕ sin Θ ~ir oraz ~

B( ρ, ϕ, z) = − sin ϕ~iϕ.

Zadanie 9

Zapisz we współrzędnych prostokątnych jawną postać pola ~

D = ~

C · graddiv ~

B, gdzie ~

C( r, Θ , ϕ) =

r 2 sin Θ cos ϕ~ir + r 2 cos Θ cos ϕ~iΘ − r 2 sin ϕ~iϕ oraz ~

B( r, Θ , ϕ) = r~ir + r sin Θ ~iΘ .

1

Zadanie 10

Obliczyć w sposób bezpośredni cyrkulację pola ~

B( x, y, z) = ( x + y) ~ix + ( x − y) ~iy po krzywej przedstawionej na rysunku (długość boku kwadratu wynosi 3). Następnie powtórzyć obliczenia stosując twierdzenie Stokesa. Porównać otrzymane wyniki.

z

y

x

Zadanie 11

Obliczyć w sposób bezpośredni cyrkulację pola ~

B( x, y, z) = ( x + y) ~ix + ( x − y)2 ~iy po krzywej przedstawionej na rysunku (długość boku kwadratu wynosi 1). Następnie powtórzyć obliczenia stosując twierdzenie Stokesa. Porównać otrzymane wyniki.

z

y

x

Zadanie 12

Obliczyć w sposób bezpośredni cyrkulację pola ~

B( ρ, φ, z) = 2 ρ 2 cos φ~iρ − 2 ρ 2 sin φ~iφ po krzywej przedstawionej na rysunku (długości promienia fragmentu okręgu wynosi 1). Następnie powtó-

rzyć obliczenia stosując twierdzenie Stokesa. Porównać otrzymane wyniki.

z

y

x

Zadanie 13

Obliczyć cyrkulację pola ~

A( ρ, ϕ, z) = ρ cos ϕ~iρ + ρ sin ϕ~iϕ + ρ~iz po brzegu półkola o promieniu 2 umieszczonego w początku układu współrzędnych, w płaszczyźnie z = 2 dla y > 0. Zadanie należy wykonać: (a) bezpośrednio - poprzez całkowanie, (b) wykorzystując odpowiednie twierdzenie całkowe.

2

Zadanie 14

Obliczyć cyrkulację pola ~

A( ρ, ϕ, z) = ρ cos ϕ~iρ + ρ sin ϕ~iϕ + z 3 ~iz po brzegu ćwiartki koła o promieniu 3 umieszczonego w początku układu współrzędnych w płaszczyźnie z = 0 dla x > 0

i y > 0. Zadanie należy wykonać: (a) bezpośrednio - poprzez całkowanie, (b) wykorzystując odpowiednie twierdzenie całkowe.

Zadanie 15

Obliczyć cyrkulację pola ~

A( ρ, ϕ, z) = ρ cos ϕ~iρ + ρ sin ϕ~iϕ + ρz~iz po brzegu ćwiartki koła o promieniu 4 umieszczonego w początku układu współrzędnych, w płaszczyźnie z = 1 dla x < 0

i y > 0. Zadanie należy wykonać: (a) bezpośrednio - poprzez całkowanie, (b) wykorzystując odpowiednie twierdzenie całkowe.

Zadanie 16

Obliczyć w sposób bezpośredni cyrkulację pola ~

B( r, θ, φ) = 1 ~i

r r po krzywej przedstawionej na

rysunku (długości promieni fragmentów okręgów wynoszą odpowiednio 1 i 2). Następnie powtó-

rzyć obliczenia stosując twierdzenie Stokesa. Porównać otrzymane wyniki.

z

y

x

Zadanie 17

Obliczyć w sposób bezpośredni cyrkulację pola ~

B( ρ, φ, z) = 2 ρ 2 cos φ~iρ − 2 ρ 2 sin φ~iφ po krzywej przedstawionej na rysunku (kwadrat o boku 2). Następnie powtórzyć obliczenia stosując twierdzenie Stokesa. Porównać otrzymane wyniki.

z

y

x

Zadanie 18

Obliczyć strumień pola ~

B( x, y, z) = xyz~ix +( y +1) ~iy + xz 2 ~iz wychodzący z powierzchni (całkowitej) prostopadłościanu umieszczonego w początku układu współrzędnych w taki sposób aby bok o długości 1 pokrywał się z osią Ox, o długości 2 z osią Oy, a o długości 3 z osią Oz (wszystkie w kierunkach dodatnich). Zadanie należy wykonać: (a) bezpośrednio - poprzez całkowanie, (b) wykorzystując odpowiednie twierdzenie całkowe.

3

Zadanie 19

Obliczyć w sposób bezpośredni strumień pola ~

B( ρ, φ, z) = z~iρ + ρ~iz przechodzącego przez powierzchnię całkowitą walca przedstawionego na rysunku (długość promienia walca wynosi 1, wysokość 2). Następnie powtórzyć obliczenia stosując twierdzenie Gaussa. Porównać otrzymane wyniki.

z

y

x

Zadanie 20

Obliczyć w sposób bezpośredni strumień pola ~

B( ρ, φ, z) = −ρ~iφ + z~iz przechodzącego przez powierzchnię całkowitą fragmentu walca przedstawionego na rysunku (długość promienia pod-stawy walca oraz jego wysokość wynoszą 1). Następnie powtórzyć obliczenia stosując twierdzenie Gaussa. Porównać otrzymane wyniki.

z

y

x

Zadanie 21

Obliczyć w sposób bezpośredni strumień pola ~

B( ρ, φ, z) = z~iρ + ρ~iz przechodzącego przez powierzchnię całkowitą walca (długość promienia walca wynosi 1, wysokość 4), jeżeli jest on umiesz-czony symetrycznie względem płaszczyzny z = 0, a jego oś pokrywa się z osią Oz. Następnie powtórzyć obliczenia stosując twierdzenie Gaussa. Porównać otrzymane wyniki.

Zadanie 22

Obliczyć w sposób bezpośredni strumień pola ~

B( r, θ, φ) = r~ir przechodzącego przez powierzch-nię całkowitą fragmentu kuli przedstawionego na rysunku (długość promienia kuli wynosi 2).

Następnie powtórzyć obliczenia stosując twierdzenie Gaussa. Porównać otrzymane wyniki.

z

y

x

4

Zadanie 23

Obliczyć w sposób bezpośredni strumień pola ~

B( r, θ, φ) = r( ~ir + ~iθ) przechodzącego przez powierzchnię całkowitą fragmentu kuli przedstawionej na rysunku (długość promienia kuli wynosi 1). Następnie powtórzyć obliczenia stosując twierdzenie Gaussa. Porównać otrzymane wyniki.

z

y

x

Zadanie 24

Obliczyć strumień pola ~

A( r, Θ , ϕ) = r~i

~

r + cos ϕ i

r

ϕ wychodzący z (całkowitej powierzchni) pół-

kuli o promieniu 2 (środek kuli znajduje się w początku układu współrzędnych) umieszczonej w półprzestrzeni y > 0. Zadanie należy wykonać: (a) bezpośrednio - poprzez całkowanie, (b) wykorzystując odpowiednie twierdzenie całkowe.

Zadanie 25

Obliczyć strumień pola ~

A( r, Θ , ϕ) = r~ir + r 2 ~iΘ + r tgΘ ~iϕ wychodzącego z (całkowitej powierzchni) fragmentu kuli o promieniu 2 określonego w układzie sferycznym w następujący sposób: 0 < ϕ < 2 π oraz π < Θ < π . Zadanie należy wykonać: (a) bezpośrednio - poprzez całkowanie, 4

2

(b) wykorzystując odpowiednie twierdzenie całkowe.

5