Egzamin dla Aktuariuszy z 11 października 2004 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

K [2000⋅ ,1003360 + 2000⋅ ,1002⋅ ,1003359 +...+ 2000⋅ ,1002179 ⋅ ,1003181]+

100

K +

+

5 [2000⋅ ,1003180 ,1002180 + 2000⋅ ,1003179 ,1002181 +...+ 2000⋅ ,1003⋅ ,1002359]=

100

360

é

180 ù

æ ,

1 002 ö

æ ,

1 002 ö

1 − ç

÷

ê

1 − ç

÷ ú

K

360

è ,

1 003 ø

ê

380

180

è ,

1 003 ø

ú

=

⋅ 2000 ⋅ ,1003

+ ,

0 05 ⋅ 2000 ,

1 003

,

1 002

= X

ê

ú

100

1 − ,

1 002

,

1 002

ê

1 −

ú

,

1 003

êë

,

1 003

úû

X = 1500 a

→ K ≈ 11

180;0,0015

Zadanie 2

5

7

23

I = 1000 v + 1500 v + ... + 5500 v 2

Iv = ...

18

1 − v

2

5

7

25

I 1

( − v ) = 1000 v + 500 v

− 5500 v

2

1 − v

100

ODP = ZAD

(2 )

5

150

+ ZAD (2 )

3

200

+ ZAD (2 )

1 + ...

550

+ ZAD (7) =

100

150

200

550

1

=

a +

a +

a + ... +

a

=

− v +

− v + +

− v

=

5

7

9

23

[1000 1( 5) 1500 1( 7) ... 5500 1( 23)]

a

a

a

a

a

30

30

30

30

30

é

− v

ù

5

7 1

18

ê

1000 v + 500 v

− 5500 25

v

ú

1

1000 + 5500

1

2

=

ê

−

10 −

v

ú ≈ 2640

a

ê

2

1

2

− v

ú

30 ê

ú

ë

û

Zadanie 3

5

( 0 + S )

S −

= 5

,

0 S − 25

2

6

,

0 3 [ 5

,

0 ⋅ ,

1 2350 − 2 ]

5 + 3 ⋅ 6

,

0 2 ,

0 [

4

5

,

0 ⋅ ,

1 22 9

,

0 ⋅ 50 − 2 ]

5

ODP :

≈ 3

,

5 5 NAJBLIśEJ A

1

,

1 3

Zadanie 4

A+B+C=1000000

ì ind ≤ 1000

0 1

000000

ï

Wypłata: í ind ∈ (10000 1

; 5000] 1

000000 + 100 k( ind −1000 ) 0

ïî ind >1500 0 1 000000 1(+ 5, 0 k)

ìï C⋅ 1,1 2 I

ïï A

Zabezpieczenie: í

( ind −1000 )

0 + C ⋅ 1

,

1

2 I

I

ï1200

ï A

B

ï

( ind −1000 )

0 +

( ind −1500 )

0 + C ⋅

î

1

,

1

2 I

II

1200

200

gd

y ind ≤ 10000 → C ⋅ 1

,

1 2 > 1000000

Szukamy maksymalnego k więc w wyższych przedziałach trzeba maksymalizować A+B bo A+B są wieksze od C dla dużych ind Z tego wynika, że:

1000000

C =

1

,

1 2

ì A i( nd −1000 )0 >100 k i( nd −10000 ) d la i nd∈(10000;150 0

0 ]

ïïí1200

ï A

B

ï

i

( nd −1000 )

0 +

i

( nd −1500 )

0 > 1000000 ⋅

î

k

5

,

0

1200

200

Trzeba zmaksymalizować A z II przedziału ale jednocześnie funkcja A/1200*ind+B/200*ind musi być rosnąca bo inaczej może być nieograniczona strata 1

A + B = 1000000 1

( −

)

1

,

1 2

Stąd

A

B

i f (

′ ind) =

+

> 0 → A + 6 B > 0

1200

200

1

1

Szukamy max A i takiego żeby leżał na prostej A+B=..... → A = 1000000 1

( + ) 1

( −

)

5

1

,

1 2

Wstawiamy A do II nierówności i stąd k<=1,07

Zadanie 5

X - kapitał

N 1

C =

1

5

,

1 05

N 2

C =

2

10

,

1 05

5

,

0 X - ilość obl. 1

C 1

5

,

0 X - ilość obl. 2

C 2

é 5

,

0 X

N

X

N

1

5

,

0

ù

ê

+

2

ú

ê C

r

C

1

1

( + ) 4

2

1

( + r) 9

ú

é

5

,

0 N

5

,

0 N

0

,

1 5 10

ù

E ê

− ú

1

2

1 = Eê

0

,

1 5 5 +

− ú

1 =

ê

X

ú

ê N 1

(

r

N

r

1

+ ) 4

1

(

2

+ ) 9

ú

ë

û

1.

ê

ú

ë

û

é 5

,

0 ⋅ 0

,

1 5 5

5

,

0 ⋅ 0

,

1 5 10

ù

= Eê

+

− ú

1

êë 1

( + r) 4

1

( + r) 9

úû

æ

1

ö

0,07

1

2.

ç

÷

E

=

4

ç

1

(

r)

dr

4 ÷

ò

−

+

è 1

( + r) ø

0,02

,

0 05

Z 1 i 2 wychodzi około 8,9%

Zadanie 6

∞

X −

k

∞

å a( i) kv

X = å[ a( i) ⋅ k + f ( i)] k k =

v → f ( i) =

k

1

1

v =

∞

å∞

i

k =1

å k

k =1

v

k =1

æ

ö

f ( i) = iç X − å

∞

a( i)

k

kv ÷ gdzie sumę oznaczamy przez N

è

k =1

ø

2

N = a( i) v + 2 a( i) v + ...

2

3

Nv = a( i) v + 2 a( i) v + ...

1

a( i)

a( i) 1

( + i)

i

N =

=

2

i

i

1 + i

é

a( i) 1

( + i) ù

é

1

( + 2

i) ù

f ( i) = i X −

=

ê

i X

2

ú

ê −

4

ú

ë

i

û

ë

i

û

Dalej łatwo przekształcić do postaci: (5) I łatwo wykazać że wszystkie inne są nierówne (5) Zadanie 7

Korzystamy z różniczkowania logarytmicznego: ( uv)′ væ

u

v ′ ö

= u ç v′ln u +

÷

è

u ø

S (

′ t) = 100 −ln(0,2 t) 1−

t

[ln t + ln( ,02 t)]= 0

,

0 2 2

t = 1 → t = 5

min d

l

a t = 5

100

Cena obligacji: = 3 a

+

4 ,

1

; 07 0,5 −1

2

,

1 07

ODP = CENAOBL ⋅1000 + 6000 ⋅ 5 5 ≈ 151600

Zadanie 8

ì r = 3⋅ 4⋅12

1

ïï r = 5⋅6⋅32

3

í

→ dla k

n

ieparzys y

t ch

.

ï ..

ïî rk = ( k + )2( k + )3 2 k 3

5

7

9

WOR = i = 1

,

0

= 12 v + 270 v +1400 v + 4410 v +10692 v +

11

13

15

17

19

+ 22022 v + 40560 v + 68850 v +109820 v +166782 v 12

æ

,

0 0957 ö

ç1+

÷ = 1+ r → r o

bliczamy

è

12

ø

X = r + r + r + r = 19 ⋅ 20 ⋅172 + 21⋅ 22 ⋅192 + 400

17

18

19

20

æ WOR ö

*

t

lnç

÷

æ 1 ö

è X ø

*

X ç

÷ = WOR → t =

≈ 11

3

, wszystk d

o ane

è1+ r ø

æ 1 ö

lnç

÷

è1+ r ø

Zadanie 9

Liczymy na piechotę w miarę szybko: STAN K

(0) = 100

STAN P )

1

(

= 110

K )

1

(

= 3 + ,

0 02 ⋅100 = 5

W )

1

(

= 4

STANK )

1

(

= 109

...

...

STANP(7) ≈ 197,20085

K (7) = 5

,

6 8547003

W (7) = 28

STANK (7) ≈ 21 ,

8 6153

STANP )

8

(

≈ 24 ,

0 4769

K

)

8

(

=

7 (

tu p

rzekracz j

a a)

W(8) = 0

STANK(8) = 233,47691 8

9

ODP = STANK )

8

(

⋅ 1

,

1 2 + 36 ⋅ 1

,

1 − 7 ⋅ 1

,

1 − 7 ≈ 30 ,

7 4

Zadanie 10

r - rata kredytu a)

RATA )

1

(

= 35000 + r ⋅105000 ⋅1

2

r ≅ J (

1

,

0

;

1

,

0

5

) jednostajny

RAT (

A )

2 = 35000 + r ⋅105000 ⋅

3

Er = 0,125

1

RATA )

3

(

= 35000 + r ⋅105000 3

OD( )

A = 2 r ⋅105000

K = 5

,

3 / US

D K ≅

5

,

3

(

+ 1,

0 i ,

0

; 4 + ,

0 2 i)

0

i

KWOTA KREDYTU = 30000 K = 105000

0

RATA )

1

(

= 10000 K + 0

,

0 5 ⋅ 30000 K ⋅1

1

1

2

RAT (

A )

2 = 10000 K + 0

,

0 5 ⋅ 30000 K

2

2 3

1

RATA )

3

(

= 10000 K + 0

,

0 5 ⋅ 30000 K

3

3 3

OD( B) = 11500 K + 11000 K + 10500 K −105000

1

2

3

E( )

A = A = 210000 ⋅ 1

,

0 25 = 26250

B = 11500 ⋅ ,

3 6 + 11000 ⋅ ,

3 7 + 10500 ⋅ 8

,

3 −105000 = 17000

B ≈ ,065

A