Centralna
Komisja
Egzaminacyjna
Materia wspó finansowany ze !rodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego
Próbny egzamin maturalny z matematyki
listopad 2009
Klucz odpowiedzi do zada zamkni!tych
i przyk"adowe rozwi#zania zada otwartych
Klucz odpowiedzi do zada zamkni!tych
Nr zadania 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Odpowied$ A C
B
B
C
A
B
A
D
A
C
B
B
C
C
D
A
D
C
D
A
A
D
D
A
Przyk"adowe rozwi#zania zada otwartych
Zadanie 26. (2 punkty)
Rozwi"# nierówno!$ 2
x 3 x ! 2 " 0 .
Rozwi#zanie:
Obliczam miejsca zerowe funkcji kwadratowej f # x$
2
% x 3 x ! 2 :
& % # $2
3
4'1' 2 % 9 8 % 1
& % 1
3 1
3 !1
x %
% 1 x %
% 2
1
2
2
2
Rysuj% fragment wykresu funkcji kwadratowej f i na jego podstawie odczytuj%
rozwi"zanie nierówno!ci:
y
6
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
Odpowied&: x ( 1, 2 .
Uwaga: Mo#na przedstawi$ funkcj% f w postaci f # x$ % # x $
1 # x 2$ i odczyta$
rozwi"zanie nierówno!ci.
2
Rozwi"# równanie 3
2
x 7 x ! 2 x 14 % 0 .
Rozwi#zanie:
Stosuj% metod% grupowania, by przedstawi$ lew" stron% równania w postaci iloczynowej: 3
2
2
x x ! x
% x # x $ ! # x $ % # 2
7
2
14
7
2
7
x ! 2$# x 7$ .
Z równania # 2
x ! 2$# x 7$ % 0 otrzymujemy, #e
2
x ! 2 % 0 lub x 7 % 0 .
Równanie 2
x ! 2 % 0 nie ma rozwi"za'. Rozwi"zaniem równania x 7 % 0 jest liczba 7.
Odpowied&: Jedynym rozwi"zaniem jest x % 7 .
Zadanie 28. (2 punkty)
W uk adzie wspó rz%dnych na p aszczy&nie punkty A % #2, 5$ i C % #6, 7$ s" przeciwleg ymi wierzcho kami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.
Rozwi#zanie:
7 5
1
Obliczam wspó czynnik kierunkowy prostej AC: a
%
% , a nast%pnie wyznaczam
AC
6 2
2
wspó czynnik kierunkowy prostej BD prostopad ej do AC: a
% 2
.
BD
) 2 ! 6 5 ! 7 *
Wyznaczam wspó rz%dne !rodka S odcinka AC: S %
,
%
+
, #4,6$ i wyznaczam
- 2
2 .
równanie prostej o wspó czynniku kierunkowym 2 , przechodz"cej przez punkt S.
Odpowied&: y % 2
x !14 .
Zadanie 29. (2 punkty)
4
K"t jest ostry i tg/ %
. Oblicz sin / ! cos/ .
3
Rozwi#zanie:
I sposób rozwi"zania:
sin /
4
4
Z definicji funkcji tangens mamy
% , zatem sin/ % cos/ . Podstawiam t% równo!$
cos/
3
3
2
) 4
*
9
do to#samo!ci
2
2
sin / ! cos / % 1 i otrzymuj%
2
cos/
! cos / % 1
+
,
, a st"d
2
cos / %
.
- 3
.
25
3
3
Zatem cos/ %
lub cos/ %
. Ujemny wynik odrzucam, poniewa# zgodnie z warunkami
5
5
4
zadania k"t / jest k"tem ostrym. Obliczam warto!ci funkcji sin / %
, a nast%pnie warto!$
5
4
3
7
wyra#enia sin / ! cos/ %
! % .
5
5
5
7
Odpowied&: sin / ! cos/ %
.
5
3
Rysuj% trójk"t prostok"tny, w którym oznaczam przyprostok"tne 3 x i 4 x oraz 4
zaznaczam k"t ostry / tak, aby tg/ %
.
3
4 x
3 x
2
2
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam d ugo!$ przeciwprostok"tnej: # x$ ! # x$
2
4
3
% 25 x .
4
Zatem przeciwprostok"tna ma d ugo!$ 5 x . Obliczam warto!ci funkcji sin / %
5
3
4
3
7
i cos/ %
. St"d sin / ! cos/ %
! % .
5
5
5
5
7
Odpowied&: sin / ! cos/ %
.
5
Zadanie 30. (2 punkty)
) m !1 m ! 3 m ! 9 *
Wyka#, #e dla ka#dego m ci"g +
,
,
, jest arytmetyczny.
- 4
6
12 .
Rozwi#zanie:
I sposób rozwi"zania:
Wystarczy sprawdzi$, #e zachodzi nast%puj"cy zwi"zek mi%dzy s"siednimi wyrazami a
! a
ci"gu:
n 1
n 1
a
!
%
.
n
2
m !1
m ! 3
m ! 9
Mamy a %
, a %
, a %
.
1
4
2
6
3
12
m !1
m ! 9
!
a ! a
3 m ! 3 ! m ! 9
4 m !12
m ! 3
Zatem 1
3
4
12
%
%
%
%
% a .
2
2
2
24
24
6
) m !1 m ! 3 m ! 9 *
St"d wynika, #e ci"g +
,
,
, jest arytmetyczny dla ka#dego m.
- 4
6
12 .
II sposób rozwi"zania:
m !1
m ! 3
m ! 9
Mamy a %
, a %
, a %
.
1
4
2
6
3
12
Wystarczy sprawdzi$, #e a a % a a .
2
1
3
2
Obliczamy:
m ! 3
m ! 1
m ! 9
m ! 3
%
6
4
12
6
2 m ! 6 3 m 3
m ! 9 2 m 6
%
12
12
m ! 3
m ! 3
%
12
12
4
Trójk"ty ABC i CDE s" równoboczne. Punkty A, C i E le#" na jednej prostej. Punkty K, L i M
s" !rodkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wyka#, #e punkty K, L i M
s" wierzcho kami trójk"ta równobocznego.
D
M
B
A
E
K
C
L
Rozwi#zanie:
Z warunków zadania wynika, #e BAC %
D
CE % 600 , wi%c odcinki AB i CD s"
równoleg e. Czworok"t ACDB jest trapezem. Odcinek KM "czy !rodki boków nierównoleg ych w tym trapezie, wi%c jest równoleg y do jego podstaw. Wobec tego MKL % 600 .
Podobnie ACB % CED % 600 , wi%c odcinki BC i DE s" równoleg e. Czworok"t BCED
jest trapezem. Odcinek ML "czy !rodki boków nierównoleg ych w tym trapezie, wi%c jest równoleg y do jego podstaw. Wobec tego KLM % 600 .
Odpowied&: Dwa k"ty trójk"ta KLM maj" miar% 600 , zatem jest to trójk"t równoboczny.
Zadanie 32. (5 punktów)
Ucze' przeczyta ksi"#k% licz"c" 480 stron, przy czym ka#dego dnia czyta jednakow" liczb%
stron. Gdyby czyta ka#dego dnia o 8 stron wi%cej, to przeczyta by t% ksi"#k% o 3 dni wcze!niej. Oblicz, ile dni ucze' czyta t% ksi"#k%.
Rozwi#zanie:
Oznaczam: x – liczba stron przeczytanych ka#dego dnia, y – liczba dni.
Zapisuj% i rozwi"zuj% uk ad równa':
1 x ' y % 480
2#3
2 x ! 8
4
$'# y 3$ % 480
480
Z pierwszego równania mamy x %
, zatem
y
) 480
*
! 8 '
+
, # y 3$ % 480 ' y
- y
.
#480 !8 y$# y 3$ % 480 y
Po uproszczeniu otrzymuj% równanie 2
y 3 y 180 % 0 .
Rozwi"zaniem równania s" liczby: –12 oraz 15. Odrzucam ujemn" liczb% dni.
Odpowied&: Ucze' przeczyta ksi"#k% w ci"gu 15 dni.
5
Punkty
A % #2, 0$ i B % #12, 0$ s" wierzcho kami trójk"ta prostok"tnego ABC
o przeciwprostok"tnej AB. Wierzcho ek C le#y na prostej o równaniu y % x . Oblicz wspó rz%dne punktu C.
Rozwi#zanie:
I sposób rozwi"zania:
Punkt C le#y na prostej o równaniu y % x i na okr%gu, którego !rodkiem jest !rodek przeciwprostok"tnej, a promie' jest równy po owie d ugo!ci tej przeciwprostok"tnej.
Obliczam d ugo!$ przeciwprostok"tnej AB: AB %
#12 2$2 ! #0 0$2 % 10 .
Wyznaczam wspó rz%dne !rodka przeciwprostok"tnej: S % #7, 0$ .
Zapisuj% równanie okr%gu: # x 7$2
2
! y % 25
1 y % x
Rozwi"zuj% uk ad równa' #3
4 x 7$2 ! 2
y % 25
Otrzymuj% równanie z jedn" niewiadom":
2
x 7 x ! 12 % 0
Rozwi"zaniem tego równania s" liczby: x % 4 , x % 3 .
1
2
Odpowied&: Warunki zadania spe niaj" dwa punkty: C % # , 4 4$ oraz C % #3,3$ .
II sposób rozwi"zania:
Oznaczmy wspó rz%dne punktu C przez # x, y$ . Wtedy AB % #12 2$2 ! #0 0$2 % 10 , 2
2
AC % # x $2 ! # y $2
2
0
, BC % # x 12$ ! # y 0$ .
2
2
2
Trójk"t ABC jest prostok"tny, wi%c spe niona jest równo!$ AC ! BC
% AB , czyli
# x $2 ! y ! # x $2
2
2
2
2
12
! y % 10 .
Punkt C le#y te# na prostej o równaniu y % x , zatem aby obliczy$ jego wspó rz%dne, nale#y rozwi"za$ uk ad równa':
#
1 x 2$2 ! y 2 ! # x 12$2 ! y 2 % 2
10
3
4 y % x
2
2
2
2
x 4 x ! 4 ! x ! x 24 x !144 ! x % 100
2
4 x 28 x ! 48 % 0
2
x 7 x ! 12 % 0
x % 4,
x % 3
1
2
Odpowied&: Warunki zadania spe niaj" dwa punkty: C % # , 4 4$ oraz C % #3,3$ .
6
Pole trójk"ta prostok"tnego jest równe
2
60 cm . Jedna przyprostok"tna jest o 7 cm d u#sza od drugiej. Oblicz d ugo!$ przeciwprostok"tnej tego trójk"ta.
Oznaczam: a, b – d ugo!ci przyprostok"tnych danego trójk"ta.
Zapisuj% uk ad równa'
1 a % b ! 7
231
a ' b % 60
242
1
Otrzymuj% równanie z jedn" niewiadom"
# b ! 7$ b % 60 , którego pierwiastkami s" liczby 2
b % 8 oraz b % 15 .
Odrzucam ujemny pierwiastek, gdy# b jest d ugo!ci" odcinka. Zatem b % 8 , a % 8 ! 7 % 15 .
Teraz obliczam d ugo!$ przeciwprostok"tnej
2
2
2
2
c % a ! b % 8 !15 %
289 % 17 .
Odpowied&: Przeciwprostok"tna ma d ugo!$ 17 cm.
7