Równe spłaty
Przypomnijmy: CF0 = −1000, n = 4, a stopa j = 0,1 (10%).
CFk stałe, dla k = 1, . . . , 4; ich wspólna wartość to C.
(Jednakowe spłaty oznaczane są zwykle symbolem PMT.) Z podstawowej zależności:
4
X
(1 + 0,1)4 · 1000 = C ·
(1 + 0,1)(4−ℓ).
ℓ=1
Wykorzystamy wzór na sum ę post ępu geometrycznego: 1 + x + . . . xn−1 = (xn − 1)/(x − 1), dla x 6= 1. Dlatego (dla n = 4 i x = 1,1) lewa strona podstawowej zależności jest równa 1464,1; prawa prawa strona jest równa
C · (1 + 0,1)4 − 1 /0,1, czyli C · 4,641 (na kalkukatorze).
Stąd C = 315,4708037. Przyjmujemy poniżej, że C = 315,47.
Harmonogram spłaty tego kredytu:
nr
zadłużenie
st. ods.
odsetki
rata kap.
spłata
1
1000
0,1
100
215,47
315,47
2
784,53
0,1
78,45
237,02
315,47
3
547,51
0,1
54,75
260,72
315,47
4
286,79
0,1
28,68
286,79
315,47
Σ
261,88
1000
1261,88
CF = (−1000, 315,47, 315,47, 315,47, 315,47).
K. M. Przyłuski
MF 15
Kredyt 1.
Jednorazowa spłata kredytu oraz odsetek: teoria Interesuje nas ogólny związek mi ędzy D0, j, n oraz (jedyną) spłatą CFn. Z podstawowej zależności
Pnℓ=0(1 + j)(n−ℓ)CFℓ = 0 wynika, że (1 + j)n · D0 = CFn.
Znając trzy spośród wielkości D0, j, n oraz CFn, można wyznaczyć czwartą.
Przykład. Za zakupiony samochód o cenie 100000 zł
zapłaciłem dopiero po czterech lat kwot ę 146410 zł. Ile wynosiło oprocentowanie?
Tu D0 = 100000, n = 4, CFn = 146410, a szukamy j.
Mamy: (1 + j)4 · 100000 = 146410, czyli (1 + j)4 = 1,4641, a wi ęc 1 + j = 4
√1,4641 = 1,1, czyli j = 0,1 (tzn. 10%).
Kredyt dowolny.
Zadłużenie na koniec k-tego okresu
Znając D0, j oraz kolejne spłaty CFℓ dla ℓ = 1, 2, . . . , k, możemy wyznaczyć zadłużenie na koniec k-tego okresu P
z zależności D
k
k = (1 + i)k · D0 −
ℓ=1(1 + i)(k−ℓ)CFℓ.
Przykład. Za samochód o cenie 100000 zł zapłaciłem na koniec pierwszego roku 35000 zł, na koniec drugiego —
32500 zł, na koniec trzeciego — 30000 zł. Stopa odsetkowa j = 0,1. Ile wynosi zadłużenie na koniec trzeciego roku?
Mamy:
D3 = 1,13·100000−1,12·35000−1,1·32500−30000 = 25000.
K. M. Przyłuski
MF 16
Równe spłaty: teoria
Interesuje nas ogólny związek mi ędzy D0, j, n i stałą spłatą P
PMT. Z podstawowej zależności
n
ℓ=0(1 + j)(n−ℓ)CFℓ = 0
mamy:
n
X
(1 + j)n · D0 = PMT ·
(1 + j)(n−ℓ).
ℓ=1
Wykorzystując (dla x = 1 + j) wzór na sum ę post ępu geometrycznego: 1 + x + . . . xn−1 = (xn − 1)/(x − 1), dla x 6= 1, mamy
(1 + j)n − 1
(1 + j)n · D0 = PMT
.
j
Znając trzy spośród wielkości D0, j, n oraz PMT, można wyznaczyć czwartą: D0 i PMT łatwo, n troch ę trudniej, a j wymaga wyznaczenia stosownego zera pewnego
wielomianu.
Przykład. Zakupiony samochód spłacamy w ciągu kolejnych czterech lat w równych ratach wynoszących 31547 zł.
Oprocentowanie wynosiło 10%. Jaka była cena samochodu?
Tu j = 0,1, n = 4, PMT = 31547, a szukamy D0. Mamy: (1 + j)n − 1
1 "
1
#
D0 = PMT
a wi ęc = PMT
1 −
.
j · (1 + j)n
j
(1 + j)n
Stąd D0 = 31547 0,31699 = 100000.
0,1
K. M. Przyłuski
MF 17
Kredyt 5.
Kredyt chcemy spłacić w dwóch równych spłatach w ostatnich dwóch latach
P
Wzór dla kredytów :
n
ℓ=0(1 + j)(n−ℓ)CFℓ = 0.
U nas (zakładamy, że liczba okresów płatności n > 2): CFk = 0, dla 0 6= k < n − 1, a CFn−1 = CFn = jakieś C.
Czyli: −(1 + j)nCF0 = (1 + j)CFn−1 + CFn = (2 + j)C.
Ponieważ n = 4, j = 0,1, a dług wynosi 1000 zł, to
−(1 + j)4CF0 = 1464,1 zł. Mamy też: (2 + j) = 2,1. Dlatego C = 697,19 zł (w przybliżeniu!). Ale odsetki musimy spłacić w pierwszej kolejności; narosły one na koniec trzeciego okresu do kwoty 100 zł + 110 zł + 121 zł, czyli 331 zł. Trzecia rata kapitałowa wynosi wi ęc 697,19 zł − 331 zł, czyli 366,19 zł. Dług na początku ostatniego okresu wynosi oczywiście 1210 zł + 121 zł − 697, 19 zł, czyli 633,81 zł.
Odsetki należne na koniec czwartego okresu od tej kwoty to (ok.) 63,38 zł. Spłata 697,19 zł pomniejszona o te odsetki to ostatnia rata kapitałowa, wynosząca 633,81 zł. Oczywiście, suma rat kapitałowych daje kwot ę pożyczki.
Harmonogram spłaty tego kredytu:
nr
zadłużenie
st. ods.
odsetki
rata kap.
spłata
1
1000
0,1
100
0
0
2
1100
0,1
110
0
0
3
1210
0,1
121
366,19
697,19
4
633,81
0,1
63,38
633,81
697,19
Σ
394,38
1000
1394,38
K. M. Przyłuski
MF 18