Kredyt 4.

Równe spłaty

Przypomnijmy: CF

0

= −1000

,

n = 4

, a stopa

j = 0,1

(

10

%

).

CF

k

stałe, dla

k = 1, . . . , 4

; ich wspólna warto´s´c to

C

.

(Jednakowe spłaty oznaczane s ˛

a zwykle symbolem PMT.)

Z podstawowej zale˙zno´sci:

(1 + 0,1)

4

·

1000 = C

·

4

X

ℓ=1

(1 + 0,1)

(4−ℓ)

.

Wykorzystamy wzór na sum ˛e post ˛epu geometrycznego:

1 + x + . . . x

n−1

= (x

n

− 1)/(x − 1)

, dla

x

6

= 1

. Dlatego (dla

n = 4

i

x = 1,1

) lewa strona podstawowej zale˙zno´sci jest

równa

1464,1

; prawa prawa strona jest równa

C

·



(1 + 0,1)

4

− 1



/0,1

, czyli

C

·

4,641

(na kalkukatorze).

St ˛

ad

C = 315,4708037

. Przyjmujemy poni˙zej, ˙ze

C = 315,47

.

Harmonogram spłaty tego kredytu:

nr

zadłu˙zenie

st. ods.

odsetki

rata kap.

spłata

1

1000

0,1

100

215,47

315,47

2

784,53

0,1

78,45

237,02

315,47

3

547,51

0,1

54,75

260,72

315,47

4

286,79

0,1

28,68

286,79

315,47

Σ

261,88

1000

1261,88

CF

= (−1000, 315,47, 315,47, 315,47, 315,47)

.

K. M. Przyłuski

MF 15

Kredyt 1.

Jednorazowa spłata kredytu oraz odsetek: teoria

Interesuje nas ogólny zwi ˛

azek mi ˛edzy

D

0

,

j

,

n

oraz (jedyn ˛

a)

spłat ˛

a CF

n

. Z podstawowej zale˙zno´sci

P

n

ℓ=0

(1 + j)

(n−ℓ)

CF

ℓ

= 0

wynika, ˙ze

(1 + j)

n

·

D

0

=

CF

n

.

Znaj ˛

ac trzy spo´sród wielko´sci

D

0

,

j

,

n

oraz CF

n

, mo˙zna

wyznaczy´c czwart ˛

a.

Przykład. Za zakupiony samochód o cenie 100000 zł

zapłaciłem dopiero po czterech lat kwot ˛e 146410 zł. Ile

wynosiło oprocentowanie?

Tu

D

0

= 100000

,

n = 4

, CF

n

= 146410

, a szukamy

j

.

Mamy:

(1 + j)

4

·

100000 = 146410

, czyli

(1 + j)

4

= 1,4641

, a

wi ˛ec

1 + j =

4

√

1,4641 = 1,1

, czyli

j = 0,1

(tzn. 10%).

Kredyt dowolny.

Zadłu˙zenie na koniec k-tego okresu

Znaj ˛

ac

D

0

,

j

oraz kolejne spłaty CF

ℓ

dla

ℓ = 1, 2, . . . , k

,

mo˙zemy wyznaczy´c zadłu˙zenie na koniec

k

-tego okresu

z zale˙zno´sci

D

k

= (1 + i)

k

·

D

0

−

P

k

ℓ=1

(1 + i)

(k−ℓ)

CF

ℓ

.

Przykład. Za samochód o cenie 100000 zł zapłaciłem na

koniec pierwszego roku 35000 zł, na koniec drugiego —

32500 zł, na koniec trzeciego — 30000 zł. Stopa odsetkowa

j = 0,1

. Ile wynosi zadłu˙zenie na koniec trzeciego roku?

Mamy:

D

3

= 1,1

3

·

100000−1,1

2

·

35000−1,1

·

32500−30000 = 25000

.

K. M. Przyłuski

MF 16

Kredyt 4.

Równe spłaty: teoria

Interesuje nas ogólny zwi ˛

azek mi ˛edzy

D

0

,

j

,

n

i stał ˛

a spłat ˛

a

PMT. Z podstawowej zale˙zno´sci

P

n

ℓ=0

(1 + j)

(n−ℓ)

CF

ℓ

= 0

mamy:

(1 + j)

n

·

D

0

=

PMT

·

n

X

ℓ=1

(1 + j)

(n−ℓ)

.

Wykorzystuj ˛

ac (dla

x = 1 + j

) wzór na sum ˛e post ˛epu

geometrycznego:

1 + x + . . . x

n−1

= (x

n

− 1)/(x − 1)

, dla

x

6

= 1

, mamy

(1 + j)

n

·

D

0

=

PMT

(1 + j)

n

− 1

j

.

Znaj ˛

ac trzy spo´sród wielko´sci

D

0

,

j

,

n

oraz PMT, mo˙zna

wyznaczy´c czwart ˛

a:

D

0

i PMT łatwo,

n

troch ˛e trudniej, a

j

wymaga wyznaczenia stosownego zera pewnego

wielomianu.

Przykład. Zakupiony samochód spłacamy w ci ˛

agu kolejnych

czterech lat w równych ratach wynosz ˛

acych 31547 zł.

Oprocentowanie wynosiło 10%. Jaka była cena samochodu?

Tu

j = 0,1

,

n = 4

, PMT

= 31547

, a szukamy

D

0

. Mamy:

D

0

=

PMT

(1 + j)

n

− 1

j

·

(1 + j)

n

a wi ˛ec

=

PMT

1

j

"

1 −

1

(1 + j)

n

#

.

St ˛

ad

D

0

=

31547

0,1

0,31699 = 100000

.

K. M. Przyłuski

MF 17

Kredyt 5.

Kredyt chcemy spłaci´c w dwóch równych spłatach

w ostatnich dwóch latach

Wzór dla kredytów :

P

n

ℓ=0

(1 + j)

(n−ℓ)

CF

ℓ

= 0

.

U nas (zakładamy, ˙ze liczba okresów płatno´sci

n > 2

):

CF

k

= 0

, dla

0

6

= k < n − 1

, a CF

n−1

=

CF

n

=

jakie´s

C

.

Czyli:

−(1 + j)

n

CF

0

= (1 + j)

CF

n−1

+

CF

n

= (2 + j)C

.

Poniewa˙z

n = 4

,

j = 0,1

, a dług wynosi

1000

zł, to

−(1 + j)

4

CF

0

= 1464,1

zł. Mamy te˙z:

(2 + j) = 2,1

. Dlatego

C = 697,19

zł (w przybli˙zeniu!). Ale odsetki musimy spłaci´c

w pierwszej kolejno´sci; narosły one na koniec trzeciego

okresu do kwoty

100

zł

+ 110

zł

+ 121

zł, czyli

331

zł. Trzecia

rata kapitałowa wynosi wi ˛ec

697,19

zł

− 331

zł, czyli

366,19

zł. Dług na pocz ˛

atku ostatniego okresu wynosi

oczywi´scie

1210

zł

+ 121

zł

− 697, 19

zł, czyli

633,81

zł.

Odsetki nale˙zne na koniec czwartego okresu od tej kwoty to

(ok.)

63,38

zł. Spłata

697,19

zł pomniejszona o te odsetki to

ostatnia rata kapitałowa, wynosz ˛

aca

633,81

zł. Oczywi´scie,

suma rat kapitałowych daje kwot ˛e po˙zyczki.

Harmonogram spłaty tego kredytu:

nr

zadłu˙zenie

st. ods.

odsetki

rata kap.

spłata

1

1000

0,1

100

0

0

2

1100

0,1

110

0

0

3

1210

0,1

121

366,19

697,19

4

633,81

0,1

63,38

633,81

697,19

Σ

394,38

1000

1394,38

K. M. Przyłuski

MF 18