1. Zbadaj, czy W jest podprzestrzeni ¾
a wektorow ¾
a przestrzeni wektorowej
Map (R; R), wiedz ¾
ac, ·
ze
a) W = ff 2 Map (R; R) : f (0) = 0g ;
b) W = ff 2 Map (R; R) : f jest ci ¾
ag÷
ag ;
c) W = ff 2 Map (R; R) : f (x)
0 dla ka·
zdego x 2 Rg ;
d) W = ff 2 Map (R; R) : f (x) 2 Q dla ka·
zdego x 2 Rg ;
e) W = ff 2 Map (R; R) : f jest ograniczonag ; n
o
f) W =
f 2 Map (R; R) : lim f (x) = 0 ;
x !1
n
o
g) W =
f 2 Map (R; R) : lim f (x) = +1 ;
x !1
h) W = ff 2 Map (R; R) : f (0) = 5f (1)g ; i) W = ff 2 Map (R; R) : f (0) = 0 _ f (1) = 0g : 2. Wyka·
z, ·
ze R3 = lin f(1; 1; 1) ; (1; 1; 0) ; (0; 1; 1)g.
3. Niech u i
b ¾
ed ¾
a dwoma wektorami przestrzeni wektowej V nad cia÷
em
liczb zespolonych. Wyka·
z, ·
ze lin fu; g = lin fu + ; u
g.
4. Czy V jest podprzestrzeni ¾
a wektorow ¾
a przestrzeni wektorowej R4?
a) V = f(a; b; c; d) 2 R4 : c = 1g.
b) V = f(a; b; c; d) 2 R4 : a + 2b
c = dg.
c) V = f(a; b; 0; 0) 2 R4 : a2 = b2g.
d) V = f(a; b; c; d) 2 R4 : a2 + b2 = c2g.
e) V = f(a; b; c; d) 2 R4 : a = b; c = dg.
Jeśli V jest przestrzeni ¾
a wektorow ¾
a, to wyznacz jej baz ¾
e i wymiar.
5. Zbadaj, czy wektor x 2 Rk jest kombinacj ¾
a liniow ¾
a wektorów 1; 2; : : : ; m 2
Rk w przestrzeni wektorowej Rk, tzn. czy x nale·
zy do lin f 1; 2; : : : ; mg,
gdzie:
a) k = 2, m = 3, x = (1; 2), 1 = (0; 0), 2 = (2; 1), m = (7; 9); b) k = 4, m = 2, x = (3; 1; 3; 0), 1 = (1; 2; 3; 1), 2 = (2; 1; 0; 1); c) k = 4, m = 4, x = (0; 0; 0; 1),
1 = (1; 1; 0; 1),
2 = (2; 1; 3; 1),
3 = (1; 1; 0; 0),
4 = (0; 1;
1;
1);
d) k = 3, m = 2, x = (3; 2;
5), 1 = (2; 2; 0), 2 = (1; 0; 0).
6. Znaleźć baz ¾
e i wymiar przestrzeni wektorowej lin f 1; 2; : : : ; mg z poprzedniego zadania.
1
z, ·
ze
1 0
1 0
0 1
1 1
R2;2 = lin
;
;
;
:
0 0
0 1
1 0
0 1
8. Zbadaj, czy U jest podprzestrzeni ¾
a liniow ¾
a przestrzeni R2;2, je·
zeli
a b
(a) U =
2 R
c d
2;2 : c = 0
,
a b
(b) U =
2 R
c d
2;2 : a + b = c + d
,
(c) U = A 2 R2;2 : A = AT ,
(d) U = A 2 R2;2 : A = AT ,
(e) U = A 2 R2;2 : AAT = I ,
1
1
1
1
(f) U =
A 2 R2;2 : A
=
A ,
1 0
1 0
1
1
(g) U = fA 2 R2;2 : BAC = CABg, gdzie B =
2 R
0
1
2;2,
0
1
2 R
1
0
2;2,
1
0
0 0
(h) U =
A 2 R2;2 : A
=
A .
1 0
0 0
Je·
zeli U jest przestrzeni ¾
a liniow ¾
a, to wyznacz jej baz ¾
e i wymiar.
9. Zbadaj, czy zbiór A jest liniowo niezale·
zny w przestrzeni wektorowej
(Z5)3.
(a) A = f(3; 4; 1) ; (4; 1; 3)g.
(b) A = f(1; 4; 1) ; (4; 3; 1) ; (4; 2; 3)g.
(c) A = f(1; 1; 1)g.
(d) A = f(1; 0; 4) ; (3; 1; 3) ; (4; 1; 0) ; (1; 4; 3)g.
10. Dla dowolnej liczby naturalnej n i cia÷
a K przez Pn (K) oznaczmy
przestrzeń funkcji wielomianowych na K stopnia mniejszego lub równego n. Pokazać, ·
ze
P2 (R) = lin 1 + 2X2; 3X; 1 + X :
11. Zbadaj, czy wektory 2 = 3X2
3X
1 2 P2 (R) i 2 = X 2 P2 (R)
nale·
z ¾
a do lin f1 + X2; 2 + Xg
P2 (R).
12. Zbadaj, czy zbiór A jest liniowo niezale·
zny w przestrzeni wektorowej V
wiedz ¾
ac, ·
ze
2
(a) A = fsin; cosg, V = Map (R; R), (b) A = sin2; cos2 , V = Map (R; R),
(c) A = 1; sin2; cos2 , V = Map (R; R),
(d) A = idR; sin2; cos2 , V = Map (R; R), (e) A = f(1; 1; 1; 1) ; (2; 0; 1; 0) ; (0; 2; 1; 2)g, V = R4, (f) A = f(1; 1; 0; 0) ; (1; 0; 1; 0) ; (0; 0; 1; 1) ; (0; 1; 0; 1)g, V = R4, (g) A = f1 + X2; 1 + X; Xg, V = P2 (R),
(h) A = f3
X + X2; 5 + X + 2X2; 1 + 5X + X2g, V = P2 (R), (i) A = f1 + X; X + X2; X2 + X3; X3g, V = P3 (R), 1 1
1 0
1 0
(j) A =
;
;
, V = R
0 1
1 1
0 1
2;2,
1
0
1
1
1 1
0
1
(k) A =
;
;
;
, V =
0
1
1
1
1 1
1
0
R2;2.
13. Niech b ¾
edzie przestrzeni ¾
a wektorow ¾
a nad cia÷
em C. Niech zbiór fu; ; wg
b ¾
edzie baz ¾
a V . Zbadaj, który z poni·
zszych zbiorów jest równie·
z baz ¾
a
przestrzeni wektorowej V .
(a) fu + ; u + w; + wg :
(b) f2u + + 3w; 3u +
w; u
4wg :
(c) fu; u + + wg :
(d) fu; u + w; u
w;
+ wg :
14. Wyznacz baz ¾
e i wymiar podprzestrzeni U przestrzeni wektorowej (Z5)4, utworzonej przez te wszystkie wektory (x1; x2; x3; x4) 2 (Z5)4, których wspó÷
rz ¾
edne spe÷
niaj ¾
a uk÷
ad równań
2x
a)
1
+ 3x2 + 4x4 = 0;
4x1 + 2x2 + 3x3 = 0:
b) 4x1 + 3x2 + x3 + 4x4 = 0.
8
< x1 + x2
= 0;
c)
x
: 1
+ 2x3
= 0;
x1
+ 3x4 = 0:
8
< 2x1 + 4x2 +
x3 + 2x4 = 0;
d)
x
:
1
+ 4x2 + 3x3 +
x4 = 0;
4x1 + 4x2 + 2x3 + 4x4 = 0:
3