1. Zbadaj, czy W jest podprzestrzeni ¾

a wektorow ¾

a przestrzeni wektorowej

Map (R; R), wiedz ¾

ac, ·

ze

a) W = ff 2 Map (R; R) : f (0) = 0g ;

b) W = ff 2 Map (R; R) : f jest ci ¾

ag÷

ag ;

c) W = ff 2 Map (R; R) : f (x)

0

dla ka·

zdego x 2 Rg ;

d) W = ff 2 Map (R; R) : f (x) 2 Q dla ka·

zdego x 2 Rg ;

e) W = ff 2 Map (R; R) : f jest ograniczonag ;

f) W =

n

f

2 Map (R; R) : lim

x !1

f (x) = 0

o

;

g) W =

n

f

2 Map (R; R) : lim

x !1

f (x) = +

1

o

;

h) W = ff 2 Map (R; R) : f (0) = 5f (1)g ;

i) W = ff 2 Map (R; R) : f (0) = 0 _ f (1) = 0g :

2. Wyka·

z, ·

ze R

3

= lin

f(1; 1; 1) ; (1; 1; 0) ; (0; 1; 1)g.

3. Niech u i

b ¾

ed ¾

a dwoma wektorami przestrzeni wektowej V nad cia÷

em

liczb zespolonych. Wyka·

z, ·

ze lin fu; g = lin fu + ; u

g.

4. Czy V jest podprzestrzeni ¾

a wektorow ¾

a przestrzeni wektorowej R

4

?

a) V = f(a; b; c; d) 2 R

4

: c = 1

g.

b) V = f(a; b; c; d) 2 R

4

: a + 2b

c = d

g.

c) V = f(a; b; 0; 0) 2 R

4

: a

2

= b

2

g.

d) V = f(a; b; c; d) 2 R

4

: a

2

+ b

2

= c

2

g.

e) V = f(a; b; c; d) 2 R

4

: a = b; c = d

g.

Je´sli V jest przestrzeni ¾

a wektorow ¾

a, to wyznacz jej baz ¾

e i wymiar.

5. Zbadaj, czy wektor x 2 R

k

jest kombinacj ¾

a liniow ¾

a wektorów

1

;

2

; : : : ;

m

2

R

k

w przestrzeni wektorowej R

k

, tzn. czy x nale·

zy do lin f

1

;

2

; : : : ;

m

g,

gdzie:

a) k = 2, m = 3, x = (1; 2),

1

= (0; 0)

,

2

= (2; 1)

,

m

= (7; 9)

;

b) k = 4, m = 2, x = (3; 1; 3; 0),

1

= (1; 2; 3; 1)

,

2

= (2;

1; 0;

1)

;

c) k = 4, m = 4, x = (0; 0; 0; 1),

1

= (1; 1; 0; 1)

,

2

= (2; 1; 3; 1)

,

3

= (1; 1; 0; 0)

,

4

= (0; 1;

1;

1)

;

d) k = 3, m = 2, x = (3; 2;

5)

,

1

= (2; 2; 0)

,

2

= (1; 0; 0)

.

6. Znale´z´c baz ¾

e i wymiar przestrzeni wektorowej lin f

1

;

2

; : : : ;

m

g z

poprzedniego zadania.

1

7. Wyka·

z, ·

ze

R

2;2

= lin

1 0
0 0

;

1 0
0 1

;

0 1
1 0

;

1 1
0 1

:

8. Zbadaj, czy U jest podprzestrzeni ¾

a liniow ¾

a przestrzeni R

2;2

, je·

zeli

(a) U =

a b

c d

2 R

2;2

: c = 0

,

(b) U =

a b

c d

2 R

2;2

: a + b = c + d

,

(c) U = A 2 R

2;2

: A = A

T

,

(d) U = A 2 R

2;2

: A =

A

T

,

(e) U = A 2 R

2;2

: AA

T

= I

,

(f) U =

A

2 R

2;2

: A

1

1

1 0

=

1

1

1 0

A

,

(g) U = fA 2 R

2;2

: BAC = CAB

g, gdzie B =

1

1

0

1

2 R

2;2

,

0

1

1

0

2 R

2;2

,

(h) U =

A

2 R

2;2

: A

1

0

1 0

=

0 0
0 0

A

.

Je·

zeli U jest przestrzeni ¾

a liniow ¾

a, to wyznacz jej baz ¾

e i wymiar.

9. Zbadaj, czy zbiór A jest liniowo niezale·

zny w przestrzeni wektorowej

(Z

5

)

3

.

(a) A = f(3; 4; 1) ; (4; 1; 3)g.

(b) A = f(1; 4; 1) ; (4; 3; 1) ; (4; 2; 3)g.

(c) A = f(1; 1; 1)g.

(d) A = f(1; 0; 4) ; (3; 1; 3) ; (4; 1; 0) ; (1; 4; 3)g.

10. Dla dowolnej liczby naturalnej n i cia÷

a K przez P

n

(K) oznaczmy

przestrze´n funkcji wielomianowych na K stopnia mniejszego lub równego
n

. Pokaza´c, ·

ze

P

2

(R) = lin 1 + 2X

2

; 3X; 1 + X :

11. Zbadaj, czy wektory

2

= 3X

2

3X

1

2 P

2

(R) i

2

= X

2 P

2

(R)

nale·

z ¾

a do lin f1 + X

2

; 2 + X

g

P

2

(R).

12. Zbadaj, czy zbiór A jest liniowo niezale·

zny w przestrzeni wektorowej V

wiedz ¾

ac, ·

ze

2

(a) A = fsin; cosg, V = Map (R; R),

(b) A = sin

2

; cos

2

, V = Map (R; R),

(c) A = 1; sin

2

; cos

2

, V = Map (R; R),

(d) A = id

R

; sin

2

; cos

2

, V = Map (R; R),

(e) A = f(1; 1; 1; 1) ; (2; 0; 1; 0) ; (0; 2; 1; 2)g, V = R

4

,

(f) A = f(1; 1; 0; 0) ; (1; 0; 1; 0) ; (0; 0; 1; 1) ; (0; 1; 0; 1)g, V = R

4

,

(g) A = f1 + X

2

; 1 + X; X

g, V = P

2

(R),

(h) A = f3

X + X

2

; 5 + X + 2X

2

; 1 + 5X + X

2

g, V = P

2

(R),

(i) A = f1 + X; X + X

2

; X

2

+ X

3

; X

3

g, V = P

3

(R),

(j) A =

1 1
0 1

;

1 0
1 1

;

1 0
0 1

, V = R

2;2

,

(k) A =

1

0

0

1

;

1

1

1

1

;

1 1
1 1

;

0

1

1

0

, V =

R

2;2

.

13. Niech b ¾

edzie przestrzeni ¾

a wektorow ¾

a nad cia÷

em C. Niech zbiór fu; ; wg

b ¾

edzie baz ¾

a V . Zbadaj, który z poni·

zszych zbiorów jest równie·

z baz ¾

a

przestrzeni wektorowej V .

(a) fu + ; u + w; + wg :

(b) f2u + + 3w; 3u +

w; u

4w

g :

(c) fu; u + + wg :

(d) fu; u + w; u

w;

+ w

g :

14. Wyznacz baz ¾

e i wymiar podprzestrzeni U przestrzeni wektorowej (Z

5

)

4

,

utworzonej przez te wszystkie wektory (x

1

; x

2

; x

3

; x

4

)

2 (Z

5

)

4

, których

wspó÷

rz ¾

edne spe÷

niaj ¾

a uk÷

ad równa´n

a)

2x

1

+ 3x

2

+ 4x

4

= 0;

4x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

= 0:

b) 4x

1

+ 3x

2

+ x

3

+ 4x

4

= 0

.

c)

8

<

:

x

1

+ x

2

= 0;

x

1

+ 2x

3

= 0;

x

1

+ 3x

4

= 0:

d)

8

<

:

2x

1

+ 4x

2

+

x

3

+ 2x

4

= 0;

x

1

+ 4x

2

+ 3x

3

+

x

4

= 0;

4x

1

+ 4x

2

+ 2x

3

+ 4x

4

= 0:

3