Analiza matematyczna F2

Kolokwium I - zadania przykładowe

1. Szeregi liczbowe i potęgowe

FAKT (szereg standardowy)

∞

X

n=1

1

n

p







< ∞,

gdy p > 1

= ∞,

gdy p ≤ 1

∞

X

n=0

x

n

=

1

1 − x

dla |x| < 1

a) Znajdź sumy częściowe i zbadaj zbieżność szeregu (z definicji)

(1)

∞

X

n=1

7

10

n

; (2)

∞

X

n=1

ln

n

n + 1

; (3)

∞

X

n=1

1

(2n − 1)(2n + 1)

;

b) Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregu, uzasadnij rozbieżność szeregu

(1)

∞

X

n=1

n

r

n

100

; (2)

∞

X

n=2

1 −

1

n

n

; (3)

∞

X

n=0

π

n

e

n

+ 3

n

e) Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z kryterium d’Alemberta

(1)

∞

X

n=1

2

n

n!

; (2)

∞

X

n=1

2

n

n

2

; (3)

∞

X

n=1

ln n

π

n

; (4)

∞

X

n=1

n

n

n!2

n

;

(5)

∞

X

n=1

n

3

2

n

; (6)

∞

X

n=1

e

n

n

2

+ 1

; (7)

∞

X

n=1

n

2

n! + 1

f) Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z kryterium Cauchy’ego

(1)

∞

X

n=1

n − 1

2n + 1

n

; (2)

∞

X

n=1

3

n

+ 4

n

2

n

+ 5

n

; (3)

∞

X

n=1

n

3

5

n

;

(4)

∞

X

n=1

n

100

π

n

; (5)

∞

X

n=1

3

n

n

n

2

(n + 1)

n

2

; (6)

∞

X

n=1

arccos

n

1

n

2

i) Wyznacz promienie zbieżności szeregów potęgowych

(1)

∞

X

n=1

(2x)

n

4

2n

; (2)

∞

X

n=0

x

n

2

n

+ 3

n

;

2. a) Korzystając z rozwinięcia w szereg potęgowy funkcji

1

1−x

, znajdź rozwinięcie dla

1

1−x

2

.

b) Wyznacz pochodną funkcji ln

1+x
1−x

.

c) Korzystając z tw. o całkowaniu szeregu potęgowego (i wyników poprzednich podpunktów), wyznacz

rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji ln

1+x
1−x

.

d) Korzystając z tw. o różniczkowaniu szeregu potęgowego, wyznacz sumę szeregu:

∞

X

n=0

(n + 1)x

n

i oblicz

2

∞

X

n=1

n

1

2

n

3. Sprawdź, czy podana funkcja spełnia wskazane równanie

(a) f (x, y) = ln

x

2

+ xy + y

2

;

x

∂f

∂x

+ y

∂f

∂y

= 2;

(b) f (x, y) =

√

x · sin

y

x

;

x

∂f

∂x

+ y

∂f

∂y

=

f

2

.

1

4. Wyznacz wszystkie punkty stacjonarne podanej funkcji i zbadaj, w którym z nich istnieje ekstremum

lokalne. Określ jego rodzaj.

• f (x, y) = 3xy − x

3

− y

3

• f (x, y) = (x

3

− 3x) e

−y

2

• f (x, y) = ln(x

4

· y

2

) − 4y

2

+ 2x

• f (x, y) = (x

2

− y

2

) e

−2y

• f (x, y) = (x

2

− y

2

) e

−x

2

2