ANALIZA MATEMATYCZNA, 2001/2002, KOLOKWIUM II, 16 stycznia 2002

1. (5+5 pkt) Oblicz granicę funkcji f punkcie x

o

lub wykaż, że takiej granicy nie ma, gdy

(a)

 

 

x

x

x

x

f







, x

o

= -1

(b)

 

1

1

lim

2

2











n

n

n

x

x

x

f

, x

o

= 1

2. (10 pkt) Zbadaj, dla jakich wartości a, b jest ciągła funkcja f, gdy

 

x

x

x

gdy

gdy

gdy

x

b

ax

x

a

x

f



























1

1

0

0

1

2

)

1

(

3. (10 pkt) Niech f będzie funkcją ciągłą w R, której jedynymi punktami stałymi są a i b
(a < b). Wykaż, że dla dowolnych



  



  





0

,

,

,















y

y

f

x

x

f

a

y

x

.

4. (10 pkt) Niech f :

R





)

,

0

[

będzie funkcją ciągłą. Wykaż, że jeśli istnieje skończona

granica

 

x

f

x





lim

, to f jest ograniczona na przedziale

)

,

0

[



.

5. (10 pkt) Oblicz

 

f

E

x

x





lim

, gdy

 















x

x

f

1

sin

2

.