æ

EGZAMIN Z ANALIZY (II sem, 19.IX 2002)

1. Znale´

z´

c zbi´

or warto´

sci przyjmowanych przez funkcj¸

e F (x, y, z) = x + 2y + z na

zbiorze S = {(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ 4y

2

≤ z ≤ 8} (wiemy, e S jest spjny).

2. Znale´

z´

c ekstrema lokalne funkcji

g(x, y, z) = 2x +

y

2

8x

+

z

2

y

+

2

z

w zbiorze {(x, y, z) ∈ R

3

: xyz 6= 0}. Nast¸

epnie okre´

sli´

c warto´

s´

c

inf{g(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0}.

3. Zbada´

c ci¸

ag lo´

s´

c i r´

o˙zniczkowalno´

s´

c w punkcie (1, 0) funkcji

h(x, y) =











x +

(x − 1)

3

sin y

(x − 1)

4

+ y

2

dla

(x, y) 6= (1, 0)

1

dla

(x, y) = (1, 0).

4. Wyznaczy´

c r´

o˙zniczk¸

e odwzorowania z = z(x, y) uwik lanego w r´

ownaniu

x cos y + y cos z + z cos x = 1.

Dla jakich warto´

sci parametru α p laszczyzna x + αy + z = 0 jest r´

ownoleg la

do powierzchni (stycznej do) z = z(x, y) w punkcie (0,0,1)?

5. Dany jest ci¸

ag zst¸

epuj¸

acy zbior´

ow niepustych, domkni¸

etych i ograniczonych

E

n+1

⊂ E

n

⊂ . . . ⊂ R

3

oraz funkcja ci¸

ag la f : R

3

→ R

2

. Wykaza´

c, ˙ze obraz

zbioru E :=

T

∞
n=1

E

n

jest:

(i) zbiorem ograniczonym i niepustym,

(ii) zbiorem r´

ownym

T

∞
n=1

f (E

n

).

................
ROZWIzania

1. Obraz F (S) jest zwarty i sp´

ojny, wi¸

ec r´

owny przedzia lowi [m, M ], gdzie m =

min

S

F, M = max

S

F .

Funkcja nie ma p.

stacjonarnych w R

3

, ekstrema

osi¸

aga wi¸

ec na brzegu zbioru S, r´

ownym S

1

∪ D, gdzie S

1

= {(x, y, z) ∈ S :

z = x

2

+ 4y

2

}, D jest to elipsa {x

2

+ 4y

2

≤ 8, z = 8}.

Gdy x

2

0

+ 4y

2

0

< 8, to ∃

> 0 takie, ˙ze punkty (x

0

± , y

0

, 8) le˙z¸

a w S, za´

s

F przyjmuje w nich warto´

sci silnie mniejsze (odp. wieksze) od F (x

0

, y

0

, 8).

Ekstrem´

ow na D trzeba wi¸

ec szuka´

c na linii D∩S

1

, czyli dla warunku x

2

+4y

2

=

8. Otrzymamy fynkcj¸e Lagrange’a Φ(x, y, λ) = F (x, y, 8)+λ(x

2

+4y

2

−8) Teraz

Φ

0

x

= 0 dla 2λx = −1, Φ

0

y

= 0 dla 4λy = −1 ⇔ x = 2y, co daje 2 punkty stacj.

: (-2,-1,8) oraz (2,1,8) odpow. warto´

scom: 4, 12. [M=12]

Na pow. bocznej: S

1

mamy F (x, y, z) = x+2y+x

2

+4y

2

= u(x, y), x

2

+4y

2

< 8.

W p. stacj. u mamy 1 + 2x = 0, 2 + 8y = 0 i w tym punkcie F = −

1
2

[= m].

2. W p. stacj. 0 = g

0

x

= 2 −

y

2

8x

2

, 0 = g

0

y

=

2y
8x

+

z

2

y

2

, 0 = g

0

z =

2z

y

−

2

z

2

. St¸

ad

y

2

= 16x

2

, y = ±4x. Z drugiego zwi¸

azku,

y

4x

=

z

2

y

2

, wi¸

ec y = 4x, z = ±y Znak

”-” wyklucza ostatni zw., daj¸

ac te˙z: y = z = ±1. Istnieja tylko 2 p. stacj.

: P = (

1
4

, 1, 1) oraz −P . Funkcja g jest nieparzysta, gdy w P b¸

edzie min.

lokalne, to w −P - b¸

edzie maksimum lok.

˙

Ze tak jest, sprawdzamy badaj¸

ac dodatnio´

s´

c d

2

P

g.

W oktancie x > 0, y > 0, z > 0 zmierzanie punktu do brzegu wymaga, by
jedna ze wsp´

o lrz. zmierza la do 0. Gdyby z → 0, to

2
z

→ ∞. Gdy

2
z

pozostaje

ograniczone, ograniczono´

s´

c g -a wi¸

ec i

z

2

y

implikuje y 6→ 0.

Na koniec, x 6→ 0, nie mo˙zna wi¸

ec zmierza c do inf g na brzegu oktantu. Podob-

nie, zmierzanie do inf g w ∞ (tzn. przy max{x, y, z} → ∞ wykluczamy ”od
lewej strony” -najpierw dla x, potem dla y ... .

3. Ci¸

ag lo´

s´

c w punkcie (1, 0) funkcji h(x, y) sprowadza si¸

e do wykazania zmierza-

nia do 0 u lamka. Niech µ := (x − 1)

4

+ y

2

. Mamy oszacowania: |x − 1| ≤

µ

1
4

, | sin y| ≤ µ

1
2

. St¸

ad

(x − 1)

3

sin y

(x − 1)

4

+ y

2

≤ |µ|

3
4

+

1
2

−1

→ 0 przy µ → 0, lub jaki´s

podobny spos´

ob wystarcza.

h

0

x

(1, 0) = 1(liczone z definicji).

h(x, y)−h(1, 0)−1·(x−1)−0·y = ε(x, y)·k(x−1, y)k i war. r´

o˙zniczkowalno´

sci:

lim

(x,y)→(1,0)

ε(x, y) = 0 po podstawieniu: x − 1 = v, y = w

2

prowadzi do

granicy w (0,0) z

|v

3

sin w

2

|

(v

4

+w

4

)

√

(v

2

+w

4

)

≥

|v|

3

w

2

2(v

4

+w

4

)

√

v

2

+w

2

. Dla v = w ostatnie

wyra˙zenie jest r´

owne

1

4

√

2

i nie zmierza do 0. Funkcja h nie jest r´

o˙zniczkowalna

w tym punkcie.
Mo˙zna te˙z podstawia´

c ci¸

agi ”odgadni¸

ete” typu (x

n

, y

n

) = (1 +

1

n

,

1

n

2

), lub

stosowa´

c podstawienie za x − 1 od pocz¸

atku.

4. F

0

z

= −y sin z + cos x -ma warto´

s´

c 1 w punkcie (0,0,1). Mamy z

0

x

=

cos y−z sin x
y sin z−cos x

,

z

0

y

=

cos z−x sin y
y sin z−cos x

, co trzeba wstawi´

c do: dz = z

0

x

dx + z

0

y

dy. W punkcie badanym

wekt. normalny do pow. z = z(x, y) wynosi (z

0

x

, z

0

y

, −1) = (−1, − cos 1, −1) i

jest proporcjonalny do wekt. normalnego do {x + αy + z = 0} dla α = cos 1.