2013 05 08 Pod Odpow

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

8

MAJA

2013

C

ZAS PRACY

: 170

MINUT

Zadania zamkni˛ete

Z

ADANIE

1

(1

PKT

.)

Wska ˙z rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniaj ˛

a-

cych nierówno´s´c

|

x

+

4

| <

5.

-9

x

-1

x

x

x

A)

B)

C)

D)

-5

1

9

5

-1

9

4

-9

1

-4

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli zapiszemy dan ˛

a nierówno´s´c w postaci

|

x

− (−

4

)| <

5

to wida´c, ˙ze spełniaj ˛

a j ˛

a liczby, które s ˛

a odległe od

4 o mniej ni ˙z 5. Rozwi ˛

azaniem jest wi˛ec

przedział

h−

4

5,

4

+

5

i = h−

9, 1

i

.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

2

(1

PKT

.)

Liczby a i b s ˛

a dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. St ˛

ad wynika, ˙ze a jest

równe
A) 103% liczby b

B) 125% liczby b

C) 150% liczby b

D) 153% liczby b

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Wiemy, ˙ze

12%a

=

15%b

/ : 12%

a

=

15
12

b

=

5
4

b

=

125
100

b

=

125%b.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

3

(1

PKT

.)

Liczba log 100

log

2

8 jest równa

A)

2

B)

1

C) 0

D) 1

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

log 100

log

2

8

=

log

10

10

2

log

2

2

3

=

2

3

= −

1.

Je ˙zeli kto´s nie rozumie tego rachunku to niech zajrzy do

poradnika o logarytmach

.

Odpowied´z: B

Zadania

.info

Podobają Ci się nasze rozwiązania?

Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!

Z

ADANIE

4

(1

PKT

.)

Rozwi ˛

azaniem układu równa ´n

(

5x

+

3y

=

3

8x

6y

=

48

jest para liczb

A) x

= −

3 i y

=

4

B) x

= −

3 i y

=

6

C) x

=

3 i y

= −

4

D) x

=

9 i y

=

4

R

OZWI ˛

AZANIE

Dodajemy do drugiego równania pierwsze pomno ˙zone przez 2 ( ˙zeby skróci´c y).

18x

=

54

x

=

3.

St ˛

ad

3y

=

3

5x

=

3

15

= −

12

y

= −

4.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

5

(1

PKT

.)

Punkt A

= (

0, 1

)

le ˙zy na wykresie funkcji liniowej f

(

x

) = (

m

2

)

x

+

m

3. St ˛

ad wynika,

˙ze

A) m

=

1

B) m

=

2

C) m

=

3

D) m

=

4

R

OZWI ˛

AZANIE

Podstawiamy w danym wzorze współrz˛edne punktu A.

1

=

m

3

m

=

4.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

6

(1

PKT

.)

Wierzchołkiem paraboli o równaniu y

= −

3

(

x

2

)

2

+

4 jest punkt o współrz˛ednych

A)

(−

2,

4

)

B)

(−

2, 4

)

C)

(

2,

4

)

D)

(

2, 4

)

R

OZWI ˛

AZANIE

Korzystamy z postaci kanonicznej

y

=

a

(

x

x

w

)

2

+

y

w

funkcji kwadratowej. W powy ˙zszym wzorze

(

x

w

, y

w

)

s ˛

a współrz˛ednymi wierzchołka para-

boli. W naszej sytuacji mamy wierzchołek ma współrz˛edne

(

2, 4

)

.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

7

(1

PKT

.)

Dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x, wyra ˙zenie 4x

2

12x

+

9 jest równe

A)

(

4x

+

3

)(

x

+

3

)

B)

(

2x

3

)(

2x

+

3

)

C)

(

2x

3

)(

2x

3

)

D)

(

x

3

)(

4x

3

)

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Zauwa ˙zmy, ˙ze podane wyra ˙zenie to pełen kwadrat.

4x

2

12x

+

9

= (

2x

3

)

2

= (

2x

3

)(

2x

3

)

.

Sposób II

Sprawd´zmy jakie s ˛

a pierwiastki danego trójmianu.

=

144

144

=

0

x

1,2

= −

b

2a

=

12

8

=

3
2

.

Zatem

4x

2

12x

+

9

=

4

x

3
2

2

= (

2x

3

)

2

.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(1

PKT

.)

Prosta o równaniu y

=

2

m

x

+

1 jest prostopadła do prostej o równaniu y

= −

3

2

x

1. St ˛

ad

wynika, ˙ze
A) m

= −

3

B) m

=

2

3

C) m

=

3

2

D) m

=

3

R

OZWI ˛

AZANIE

Proste y

=

ax

+

b i y

=

cx

+

d s ˛

a prostopadłe je ˙zeli ac

= −

1. Mamy zatem

2

m

·

3
2

= −

1

/

· (−

1

)

3

m

=

1

m

=

3.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

9

(1

PKT

.)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y

=

ax

+

b.

x

y

0

Jakie znaki maj ˛

a współczynniki a i b?

A) a

<

0 i b

<

0

B) a

<

0 i b

>

0

C) a

>

0 i b

<

0

D) a

>

0 i b

>

0

R

OZWI ˛

AZANIE

Dany wykres przedstawia funkcj˛e, która jest malej ˛

aca, wi˛ec a

<

0. Ponadto jej warto´s´c w

x

=

0 jest ujemna, wi˛ec b

<

0.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

10

(1

PKT

.)

Najmniejsz ˛

a liczb ˛

a całkowit ˛

a spełniaj ˛

ac ˛

a nierówno´s´c

x
2

6

2x

3

+

1

4

jest

A)

2

B)

1

C) 0

D) 1

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Przekształ´cmy dan ˛

a nierówno´s´c.

x
2

6

2x

3

+

1
4

/

·

12

6x

6

8x

+

3

3

6

2x

/ : 2

3
2

6

x.

Najmniejsza liczba całkowita spełniaj ˛

aca t˛e nierówno´s´c to

1.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

11

(1

PKT

.)

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y

=

f

(

x

)

okre´slonej dla x

∈ h−

7, 4

i

.

0

1

2

3

4

5

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

0

1

2

3

4

5

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji
A) y

=

f

(

x

+

2

)

B) y

=

f

(

x

) −

2

C) y

=

f

(

x

2

)

D) y

=

f

(

x

) +

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Wykres na drugim rysunku jest przesuni˛ety wzgl˛edem wykresu na pierwszym rysunku o
dwie jednostki w prawo. Jest to wi˛ec wykres funkcji y

=

f

(

x

2

)

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

12

(1

PKT

.)

Ci ˛

ag

(

27, 18, x

+

5

)

jest geometryczny. Wtedy

A) x

=

4

B) x

=

5

C) x

=

7

D) x

=

9

R

OZWI ˛

AZANIE

Iloraz danego ci ˛

agu jest równy

q

=

a

2

a

1

=

18
27

=

2
3

.

Zatem

x

+

5

=

a

3

=

a

2

q

=

18

·

2
3

=

12.

St ˛

ad x

=

12

5

=

7.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

13

(1

PKT

.)

Ci ˛

ag

(

a

n

)

okre´slony dla n

>

1 jest arytmetyczny oraz a

3

=

10 i a

4

=

14. Pierwszy wyraz tego

ci ˛

agu jest równy

A) a

1

= −

2

B) a

1

=

2

C) a

1

=

6

D) a

1

=

12

R

OZWI ˛

AZANIE

Ró ˙znica ci ˛

agu

(

a

n

)

jest równa

r

=

a

4

a

3

=

14

10

=

4.

St ˛

ad

a

2

=

a

3

r

=

10

4

=

6

a

1

=

a

2

r

=

6

4

=

2.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

14

(1

PKT

.)

K ˛

at α jest ostry i sin α

=

3

2

. Warto´s´c wyra ˙zenia cos

2

α

2 jest równa

A)

7

4

B)

1

4

C)

1

2

D)

3

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Na mocy jedynki trygonometrycznej

sin

2

α

+

cos

2

α

=

1

mamy

cos

2

α

2

= (

1

sin

2

α

) −

2

= −

sin

2

α

1

= −

3
4

1

= −

7
4

.

Sposób II

Je ˙zeli sin α

=

3

2

to α

=

60

i mamy

cos

2

α

2

=

1

2

2

2

=

1
4

2

= −

7
4

.

Odpowied´z: A

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

15

(1

PKT

.)

´Srednice AB i CD okr˛egu o ´srodku S przecinaj ˛a si˛e pod k ˛atem 50

(tak jak na rysunku).

α

A

B

D

M

C

S

50

o

Miara k ˛

ata α jest równa

A) 25

B) 30

C) 40

D) 50

R

OZWI ˛

AZANIE

Miara k ˛

ata α

= ]

DMB jest równa połowie miary k ˛

ata ´srodkowego

]

DSB, a ten k ˛

at z kolei

jest równy k ˛

atowi k ˛

atowi

]

ASC. Zatem

α

=

1
2

·

50

=

25

.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

16

(1

PKT

.)

Liczba rzeczywistych rozwi ˛

aza ´n równania

(

x

+

1

)(

x

+

2

)(

x

2

+

3

)

jest równa

A) 0

B) 1

C) 2

D) 4

R

OZWI ˛

AZANIE

Poniewa ˙z x

2

+

3

>

0 równanie ma dwa rozwi ˛

azania: x

= −

1 i x

= −

2.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

17

(1

PKT

.)

Punkty A

= (−

1, 2

)

i B

= (

5,

2

)

s ˛

a dwoma s ˛

asiednimi wierzchołkami rombu ABCD.

Obwód tego rombu jest równy
A)

13

B) 13

C) 676

D) 8

13

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

7

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Znaj ˛

ac współrz˛edne dwóch kolejnych wierzchołków rombu mo ˙zemy obliczy´c długo´s´c jego

boku.

a

=

AB

=

q

(

5

+

1

)

2

+ (−

2

2

)

2

=

36

+

16

=

52

=

2

13.

Obwód rombu jest 4 razy wi˛ekszy, wi˛ec wynosi

4a

=

8

13.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

18

(1

PKT

.)

Punkt S

= (−

4, 7

)

jest ´srodkiem odcinka PQ, gdzie Q

= (

17, 12

)

. Zatem punkt P ma współ-

rz˛edne
A) P

= (

2,

25

)

B) P

= (

38, 17

)

C) P

= (−

25, 2

)

D) P

= (−

12, 4

)

R

OZWI ˛

AZANIE

Korzystamy ze wzoru

S

=

a

+

c

2

,

b

+

d

2

.

na ´srodek odcinka o ko ´ncach P

= (

a, b

)

i Q

= (

c, d

)

. Mamy wi˛ec równanie

(−

4, 7

) =

a

+

17

2

,

b

+

12

2

(

4

=

a

+

17

2

7

=

b

+

12

2

(

8

=

a

+

17

a

= −

25

14

=

b

+

12

b

=

2.

Zatem P

= (−

25, 2

)

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

19

(1

PKT

.)

Odległo´s´c mi˛edzy ´srodkami okr˛egów o równaniach

(

x

+

1

)

2

+ (

y

2

)

2

=

9 oraz x

2

+

y

2

=

10 jest równa
A)

5

B)

10

3

C) 3

D) 5

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

8

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Pierwszy okr ˛

ag ma ´srodek A

= (−

1, 2

)

, a drugi B

= (

0, 0

)

. Odległo´s´c ´srodków jest wi˛ec

równa

AB

=

q

(

0

+

1

)

2

+ (

0

2

)

2

=

1

+

4

=

5.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

20

(1

PKT

.)

Liczba wszystkich kraw˛edzi graniastosłupa jest o 10 wi˛eksza od liczby wszystkich jego ´scian
bocznych. St ˛

ad wynika, ˙ze podstaw ˛

a tego graniastosłupa jest

A) czworok ˛

at

B) pi˛eciok ˛

at

C) sze´sciok ˛

at

D) dziesi˛eciok ˛

at

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli w podstawie graniastosłupa jest n–k ˛

at to graniastosłup ma 3n kraw˛edzi i n ´scian bocz-

nych.

Mamy wi˛ec równanie

3n

=

n

+

10

2n

=

10

n

=

5.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

21

(1

PKT

.)

Pole powierzchni bocznej sto ˙zka o wysoko´sci 4 i promieniu podstawy 3 jest równe
A) 9π

B) 12π

C) 15π

D) 16π

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

9

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Zaczynamy od rysunku

4

l

3

Liczymy długo´s´c tworz ˛

acej sto ˙zka

l

=

p

3

2

+

4

2

=

5.

Obliczamy pole powierzchni bocznej

P

b

=

πrl

=

15π.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

22

(1

PKT

.)

Rzucamy dwa razy symetryczn ˛

a sze´scienn ˛

a kostk ˛

a do gry. Niech p oznacza prawdopodo-

bie ´nstwo zdarzenia, ˙ze iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy
A) p

=

1

36

B) p

=

1

18

C) p

=

1

12

D) p

=

1

9

R

OZWI ˛

AZANIE

Wyniki rzutów b˛edziemy zapisywa´c jako pary

(

a, b

)

, gdzie a jest wynikiem na pierwszej

kostce, a b wynikiem na drugiej. Najpierw obliczamy ile jest zdarze ´n elementarnych

|

| =

6

·

6

=

36.

S ˛

a dwa zdarzenia sprzyjaj ˛

ace:

(

1, 5

)

,

(

5, 1

)

.

Zatem prawdopodobie ´nstwo wynosi

2

36

=

1

18

.

Odpowied´z: B

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

10

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

23

(1

PKT

.)

Liczba

50

18

2

jest równa

A) 2

2

B) 2

C) 4

D)

10

6

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

50

18

2

=

50

2

18

2

=

r

50

2

r

18

2

=

=

25

9

=

5

3

=

2

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

24

(1

PKT

.)

Mediana uporz ˛

adkowanego niemalej ˛

aco zestawu sze´sciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4.

Wtedy
A) x

=

2

B) x

=

3

C) x

=

4

D) x

=

5

R

OZWI ˛

AZANIE

Mediana z sze´sciu uporz ˛

adkowanych liczb to ´srednia arytmetyczna dwóch ´srodkowych,

wi˛ec mamy równanie

3

+

x

2

=

4

3

+

x

=

8

x

=

5.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

25

(1

PKT

.)

Obj˛eto´s´c graniastosłupa prawidłowego trójk ˛

atnego o wysoko´sci 7 jest równa 28

3. Długo´s´c

kraw˛edzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A) 2

B) 4

C) 8

D) 16

R

OZWI ˛

AZANIE

Szkicujemy graniastosłup.

a

a

a

h

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

11

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Je ˙zeli oznaczymy przez a długo´s´c kraw˛edzi podstawy graniastosłupa to pole podstawy

jest równe

P

p

=

a

2

3

4

i z podanej obj˛eto´sci otrzymujemy równanie

28

3

=

a

2

3

4

·

7

/

·

4

7

3

16

=

a

2

a

=

4.

Odpowied´z: B

Zadania otwarte

Z

ADANIE

26

(2

PKT

.)

Rozwi ˛

a ˙z równanie x

3

+

2x

2

8x

16

=

0.

R

OZWI ˛

AZANIE

Łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze mo ˙zemy wył ˛

aczy´c

(

x

+

2

)

przed nawias.

0

=

x

3

+

2x

2

8x

16

=

x

2

(

x

+

2

) −

8

(

x

+

2

) =

= (

x

+

2

)(

x

2

8

) = (

x

+

2

)(

x

8

)(

x

+

8

) =

= (

x

+

2

)(

x

2

2

)(

x

+

2

2

)

.

Odpowied´z: x

∈ {−

2

2,

2, 2

2

}

Z

ADANIE

27

(2

PKT

.)

K ˛

at α jest ostry i sin α

=

3

2

. Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia sin

2

α

3 cos

2

α

.

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Je ˙zeli sin α

=

3

2

to α

=

60

i mamy

sin

2

α

3 cos

2

α

=

3

2

!

2

3

·

1

2

2

= =

3
4

3
4

=

0.

Sposób II

Na mocy jedynki trygonometrycznej mamy

sin

2

α

3 cos

2

α

=

sin

2

α

3

(

1

sin

2

α

) =

4 sin

2

α

3

=

4

·

3
4

3

=

0

Odpowied´z: 0

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

12

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

28

(2

PKT

.)

Udowodnij, ˙ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, ˙ze x

+

y

+

z

=

0, prawdziwa

jest nierówno´s´c xy

+

yz

+

zx

6

0.

Mo ˙zesz skorzysta´c z to ˙zsamo´sci

(

x

+

y

+

z

)

2

=

x

2

+

y

2

+

z

2

+

2xy

+

2xz

+

2yz.

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Korzystaj ˛

ac z podanej to ˙zsamo´sci mamy

xy

+

xz

+

yz

=

(

x

+

y

+

z

)

2

x

2

y

2

z

2

2

=

x

2

y

2

z

2

2

.

Otrzymane wyra ˙zenie jest oczywi´scie zawsze niedodatnie.

Sposób II

Zauwa ˙zmy najpierw, ˙ze przynajmniej dwie z liczb x, y, z maj ˛

a ró ˙zne znaki (lub s ˛

a równe 0).

Bez zmniejszania ogólno´sci mo ˙zemy zało ˙zy´c, ˙ze t˛e własno´s´c maj ˛

a liczby x i y, tzn. xy

6

0.

Korzystaj ˛

ac z warunku x

+

y

+

z

=

0 b˛edziemy przekształca´c lew ˛

a stron˛e nierówno´sci.

xy

+

yz

+

zx

=

xy

+

y

(−

x

y

) + (−

x

y

)

x

=

= −

x

2

y

2

xy

= −(

x

+

y

)

2

+

xy.

Zauwa ˙zmy teraz, ˙ze na mocy zało ˙zenia xy

6

0 otrzymane wyra ˙zenie jest zawsze niedodat-

nie.

Z

ADANIE

29

(2

PKT

.)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f

(

x

)

okre´slonej dla x

∈ h−

7, 8

i

.

-5

-1

+3

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

-6

-7

-4 -3 -2

+1 +2

+4

+6 +7 +8

+2

+3

+4

+6

+7

-2

-3

-4

-6

-7

Odczytaj z wykresu i zapisz:

a) najwi˛eksz ˛

a warto´s´c funkcji f ,

b) zbiór rozwi ˛

aza ´n nierówno´sci f

(

x

) <

0.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

13

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

a) Odczytujemy z wykresu: najwi˛eksza warto´s´c funkcji f to f

(

6

) =

7.

Odpowied´z: f

(

6

) =

7

b) Dany wykres funkcji jest poni ˙zej osi Ox na przedziale:

(−

3, 5

)

.

Odpowied´z:

(−

3, 5

)

Z

ADANIE

30

(2

PKT

.)

Rozwi ˛

a ˙z nierówno´s´c 2x

2

7x

+

5

>

0.

R

OZWI ˛

AZANIE

Znajdujemy najpierw miejsca zerowe trójmianu 2x

2

7x

+

5.

=

7

2

4

·

2

·

5

=

49

40

=

9

=

3

2

x

1

=

7

3

4

=

1

x

2

=

7

+

3

4

=

10

4

=

5
2

.

Poniewa ˙z współczynnik przy x

2

jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabol ˛

a o ramio-

nach skierowanych w gór˛e.

-5

-1

+3

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

Otrzymujemy st ˛

ad rozwi ˛

azanie nierówno´sci

(−

∞, 1

i ∪

5

2

,

+

∞.

Odpowied´z:

(−

∞, 1

i ∪

5

2

,

+

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

14

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

31

(2

PKT

.)

Wyka ˙z, ˙ze liczba 6

100

2

·

6

99

+

10

·

6

98

jest podzielna przez 17.

R

OZWI ˛

AZANIE

Zauwa ˙zmy, ˙ze

6

100

2

·

6

99

+

10

·

6

98

=

6

98

(

6

2

2

·

6

+

10

) =

=

6

98

(

36

12

+

10

) =

6

98

·

34

=

6

98

·

2

·

17.

Wida´c teraz, ˙ze liczba ta dzieli si˛e przez 17.

Z

ADANIE

32

(4

PKT

.)

Punkt S jest ´srodkiem okr˛egu opisanego na trójk ˛

acie ostrok ˛

atnym ABC. K ˛

at ACS jest trzy ra-

zy wi˛ekszy od k ˛

ata BAS, a k ˛

at CBS jest dwa razy wi˛ekszy od k ˛

ata BAS. Oblicz k ˛

aty trójk ˛

ata

ABC.

A

B

C

S

R

OZWI ˛

AZANIE

Oznaczmy α

= ]

BAS.

A

B

C

S

α

α

3α

3α

2α

2α

Trójk ˛

aty ABS, BSC i ASC s ˛

a równoramienne, wi˛ec z podanych informacji mamy

]

ACS

= ]

CAS

=

3α

]

CBS

= ]

BCS

=

2α.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

15

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Suma k ˛

atów trójk ˛

ata ABC jest równa 180

, wi˛ec

α

+

α

+

2α

+

2α

+

3α

+

3α

=

180

12α

=

180

α

=

15

.

W takim razie k ˛

aty trójk ˛

ata ABC maj ˛

a miary

]

A

=

4α

=

60

]

B

=

3α

=

45

]

C

=

5α

=

75

.

Odpowied´z: 60

, 45

, 75

Z

ADANIE

33

(4

PKT

.)

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworok ˛

atnego jest równe 100 cm

2

, a jego pole

powierzchni bocznej jest równe 260 cm

2

Oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.

R

OZWI ˛

AZANIE

Zacznijmy od rysunku.

A

B

C

D

S

E

a

F

H

h

Wiemy, ˙ze kwadrat w podstawie ma pole 100 cm

2

, wi˛ec jego bok ma długo´s´c 10 cm. W

takim razie z podanego pola powierzchni bocznej mamy równanie

4

·

1
2

ah

=

260

4

·

5h

=

260

h

=

13.

Z trójk ˛

ata prostok ˛

atnego EFS mamy

H

2

=

r

h

2

a

2

2

=

169

25

=

144

=

12.

Obj˛eto´s´c ostrosłupa jest wi˛ec równa

V

=

1
3

·

P

p

·

H

=

1
3

·

100

·

12

=

400.

Odpowied´z: 400 cm

3

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

16

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

34

(5

PKT

.)

Dwa miasta ł ˛

aczy linia kolejowa o długo´sci 336 kilometrów. Pierwszy poci ˛

ag przebył t˛e

tras˛e w czasie o 40 minut krótszym ni ˙z drugi poci ˛

ag. ´Srednia pr˛edko´s´c pierwszego poci ˛

agu

na tej trasie była o 9 km/h wi˛eksza od ´sredniej pr˛edko´sci drugiego poci ˛

agu. Oblicz ´sredni ˛

a

pr˛edko´s´c ka ˙zdego z tych poci ˛

agów na tej trasie.

R

OZWI ˛

AZANIE

Niech t i v oznaczaj ˛

a odpowiednio czas przejazdu oraz pr˛edko´s´c pierwszego poci ˛

agu. Z

zało ˙ze ´n mamy

(

tv

=

336

(

v

9

)

t

+

2

3

=

336.

Podstawiamy t

=

336

v

z pierwszego równania do drugiego.

(

v

9

)

336

v

+

2
3

=

336

/

·

3v

2

(

v

9

)(

504

+

v

) =

504v

v

2

+

504v

9v

4536

=

504v

v

2

9v

4536

=

0

=

81

2

+

4

·

4536

=

18225

=

135

2

v

=

9

135

2

<

0

v

=

9

+

135

2

=

144

2

=

72.

Ujemne rozwi ˛

azanie odrzucamy i mamy v

=

72 km/h. Wtedy pr˛edko´s´c drugiego poci ˛

agu

to

72

9

=

63 km/h

Odpowied´z: Pierwszy poci ˛

ag: 72 km/h, drugi poci ˛

ag: 63 km/h

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

17


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2013 05 08 Pod Odpowid 28274 Nieznany (2)
2013 05 08 Pod Arkusz
C5 (X7) B3DG010WP0 2 05 08 2013 Demontaż Montaż Wahacz wzdłużny tylnego zawieszenia (Z zawiesz
2013 05 10 Matma Roz Odpow
2011 03 05 21;05;08
OM z 04 2013 05 02 ko
2013 10 08 Dec nr 4 Regulamin KP PSP Ostrow Wlkpid
05 08
2013 03 08
e 13 2013 05 X k
03 OZE 2013 11 08 sk
2013 vol 08 GLOBALNE ZARZĄDZANIE JAKO MODEL DECYZYJNY STARA KONCEPTUALIZACJA NOWEJ PRAKTYKI
2013 05
05 Prace pod ruchem 1
Narz dzie nr 2 Wykre lanka dzieci 13 05 08
2001 05 08
SERWIS 2010.05.08
R 7 scalony 05 08

więcej podobnych podstron