N

ajprostszà nieskoƒczonoÊcià
jest ta, którà odkrywa niejeden
bystry maluch, odliczajàc: 1, 2,

3, 4... Mój przyjaciel Carl Sagan wspo-
mina∏ pewnà dawno minionà niedzie-
l´, kiedy jako szeÊciolatek upaja∏ si´
Êwie˝o zdobytà umiej´tnoÊcià rachowa-
nia. Ojciec wyjaÊni∏ mu, ˝e liczenie wca-
le nie musi mieç koƒca. Po co si´ zatrzy-
mywaç, skoro mo˝na jeszcze coÊ dodaç?
I tak to si´ zacz´∏o ju˝ tego wieczoru;
ch∏opiec gorliwie zabra∏ si´ do spisy-
wania wszystkich po kolei liczb a˝ do
wielkiej, choç skoƒczonej, liczby 1000!
Ojciec wspania∏omyÊlnie zastàpi∏ go
w straconym dla tego przedsi´wzi´cia
czasie wieczornej kàpieli. I tak razem
zliczyli ów tysiàc, zanim poszli spaç,
a Carl nigdy tego prze˝ycia nie
zapomnia∏.

Liczby naturalne tworzà nieskoƒ-

czonà rodzin´ o cudownie splàtanych
wi´zach pokrewieƒstwa. Wi´kszoÊç
z nich mo˝emy otrzymaç, mno˝àc
przez siebie odpowiednie mniejsze
liczby zwane czynnikami. Choçby
liczb´ 18 równà 2 x 3 x 3. (Ale spróbuj-
cie 17...) Przychodzi mi na myÊl analo-
gia chemiczna. 18 jest niczym czàstecz-
ka z∏o˝ona z trzech atomów-liczb,
podczas gdy 17 przypomina nieroz-
dzielny, pojedynczy atom. Takà liczb´,
której czynnikami sà tylko jednoÊç i ona
sama, nazywamy liczbà pierwszà.

Liczby pierwsze mo˝na nazwaç ato-

mami multiplikatywnej arytmetyki. Jest
ich mnóstwo, wi´cej ni˝ atomów mate-
rii. Sam Euklides z Aleksandrii ju˝ w
pierwszej po∏owie III wieku p.n.e. udo-
wodni∏, ˝e jest ich nieskoƒczenie wiele.
Inny znakomity uczony czasów helleni-
stycznych wymyÊli∏ systematycznà me-
tod´, nazywanà od jego imienia sitem
Eratostenesa. Polega ona na odsiewa-
niu liczb z∏o˝onych od liczb pierwszych.
Spróbuj wykonaç proÊciutkie çwiczenie
– napisz na swoim „papirusie” jedna za
drugà liczby od 1 do 20. Pomiƒ bez-
barwnà 1, odrzuç 2, poniewa˝ jest licz-
bà pierwszà. A teraz wykreÊl z tego sze-
regu co drugà liczb´, wszystkie, które
zawierajà 2 jako czynnik. W ten sposób

wypadnie dziewi´ç liczb parzy-
stych, od 4 do 20, ale 3 pozosta-
nie. Powtarzajàc ten proces z 3,
odsiejesz jeszcze 9 i 15. Z nast´p-
nà, 5, która sama jest liczbà
pierwszà, nic si´ ju˝ nie da zro-
biç. W sicie zosta∏y tylko liczby
pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19.

GdybyÊ w ten sposób postàpi∏

z pierwszà setkà liczb, pozosta-
∏aby ci jedynie jedna czwarta:
liczby pierwsze od 2 do 97. Zwróç uwa-
g´, ˝e wystarczy przesiewaç za pomocà
liczb pierwszych nie wi´kszych ni˝ pier-
wiastek kwadratowy z badanej liczby.
Dla ka˝dego czynnika wi´kszego od te-
go pierwiastka musi byç jeden lub wi´-
cej czynników mniejszych, uzupe∏nia-

jàcych rozk∏ad testowanego iloczynu.
Im wi´ksze liczby, tym rzadziej poja-
wiajà si´ wÊród nich liczby pierwsze –
jest ich osiem w zakresie od 1 do 20, ale
tylko trzy mi´dzy 80 a 100. Mo˝e bar-
dziej przekonuje o tym sam proces prze-
siewania – liczby pozostajàce po kolej-
nym kroku musia∏y przejÊç o jeden test
wi´cej. To post´powanie przypomina
sito z wieloma siatkami, z których ka˝-
da kolejna ma mniejszà liczb´ oczek.

Teoria liczb nie przestaje fascynowaç,

przynoszàc coraz to nowe niespodzian-
ki. Wi´kszoÊç du˝ych liczb pierwszych
mo˝na znaleêç tylko specjalnymi spo-
sobami – przesianie do czysta wymaga
zbyt wiele pracy. Wykazano mnóstwo
∏atwych do sformu∏owania liczbowych
relacji, lecz jeszcze wi´cej pozostaje
wcià˝ nie dowiedzionych. S∏ynne sta∏o
si´ na przyk∏ad przypuszczenie, wy-
suni´te w 1742 roku przez Christiana
Goldbacha, ˝e ka˝da liczba parzysta
wi´ksza od 2 jest sumà dwóch liczb
pierwszych, na przyk∏ad 96 = 89 + 7.
Dotychczas nie udowodniono tego, ale

równie˝ nie uda∏o si´ znaleêç ˝adnego
wyjàtku.

W ostatnim dziesi´cioleciu liczby

pierwsze nabra∏y szczególnego znacze-
nia w rozwijajàcej si´ w naszym okablo-
wanym Êwiecie technice szyfrowania
wiadomoÊci. Pewne wyobra˝enie o

strukturze najbardziej znanego dziÊ
systemu kryptograficznego, zwane-
go systemem z kluczem publicznym,
mo˝na sobie wyrobiç nawet na pod-
stawie tak pobie˝nego szkicu jak ten.
Przesy∏anà wiadomoÊç potraktujmy
jak d∏ugà liczb´, jeden ciàg znaków –
cyfr. Do przekazania jej w zakodowa-

nej postaci nie trzeba wiele, wystarczy
szybki komputer: podnieÊ jà do ustalo-
nej pot´gi, nast´pnie podziel przez du-
˝à liczb´, b´dàcà kluczem publicznym,
i przeÊlij reszt´ z tego dzielenia. Ujaw-
nia si´ jedynie z∏o˝onà liczb´ kodujàcà,
a wraz z nià kilka cyfr okreÊlajàcych pro-
cedur´. W celu odwrócenia kodowania
stosuje si´ mocne twierdzenie wielkiego
Leonharda Eulera, które pozwala wy-
znaczyç kodowanà liczb´ ze znajomo-
Êci czynników s∏owa-klucza, ale nie da-
je takiej mo˝liwoÊci, jeÊli zna si´ tylko
sam z∏o˝ony klucz. Wyznaczanie czyn-
ników naprawd´ wielkich liczb ciàgle
jest beznadziejnie powolne i dopóki nie
opanuje si´ sztuki rozk∏adania stucyfro-
wych liczb, dopóty obecny system kodo-
wania pozostanie bezpieczny.

Zastosowanie wielkich liczb pierw-

szych na powszechnà skal´ jest czymÊ
zupe∏nie nowym i realnym dzi´ki nie-
zwyk∏ym dziÊ mo˝liwoÊciom oblicze-
niowym. Ojciec Marin Mersenne, XVII-
wieczny mistrz, pisa∏, ˝e ,,czasu by nie

ZADZIWIENIA

Philip Morrison

Liczby pierwsze

czy z∏o˝one?

86 Â

WIAT

N

AUKI

Styczeƒ 1999

KOMENTARZ

Im wi´ksze liczby,

tym rzadziej pojawiajà si´

wÊród nich liczby pierwsze.

DUSAN PETRICIC

Dokoƒczenie na stronie 88

geodetów, aktorów i marynarzy kieru-
jàcych si´ na ska∏y. Chyba, ˝eby w latar-
niach morskich zabrak∏o gazu.

W 1849 roku gazu mo˝na by∏o dostaç,

ile dusza zapragnie, od belgijskiego pro-
fesora Florisa Nolleta, który robi∏ go me-
todà elektrolizy. Wystarczy w∏o˝yç do
wody dodatnià oraz ujemnà elektrod´
i pràd wydziela z wody tlen i wodór.
Po k∏opocie. Chyba, ˝eby w latarniach
zabrak∏o pràdu – co te˝ si´ zdarza. Po-
st´p idzie dalej (pami´tamy – to spra-
wa najwy˝szej wagi) i w 1871 roku
wspó∏pracownik Nolleta, Zénobe Thé-
ofile Gramme wynajduje dynamo. Cew-
ka wiruje w polu magnetycznym i wy-
twarza pràd – wystarcza go do zasila-
nia lampy ∏ukowej. Dwa w´glowe pr´ty
prawie si´ dotykajà. Pràd przep∏ywajà-
cy przez elektrody powoduje pomi´dzy
nimi wy∏adowania, lecà iskry i w´glo-
we koƒcówki zaczynajà Êwieciç. Reflek-
tor gaÊnie przy nich zupe∏nie. To pierw-
szy krok w kierunku elektrycznego
pieca ∏ukowego, w którym dwie w´-
glowe elektrody wytwarzajà wysokà
temperatur´.

DoÊç wysokà, by w 1892 roku pewien

Francuz postanowi∏ podjàç prób´
wytwarzania sztucznych diamentów,
ogrzewajàc razem ˝elazo i zw´glony cu-

kier w temperaturze tak wysokiej, ˝e
w´giel rozpuszcza si´ w ˝elazie. Sàdzi∏,
˝e wystarczy póêniej sch∏odziç szybko
˝elazo w wodzie, aby zestali∏o si´ pod
gigantycznym ciÊnieniem, powodujàc
powstanie mikroskopijnych drobinek
w´glowych. Wynalazca pieca i poten-
tat diamentowy in spe, Henri Moissan

3

,

by∏ Êwi´cie przekonany, ˝e stworzy∏
wspomniane syntetyczne kamienie. My-
li∏ si´ jednak.

Nikt si´ tym mimo to nie przejmuje,

piec ∏ukowy bowiem wprawia Êwiat na-
ukowców w zdumienie, wobec którego
nie liczà si´ w´gielki Moissana. W 1894
roku Moissan wk∏ada do pieca mieszani-
n´ w´gla i wapienia, ogrzewa do 2000°C
i otrzymuje pewien materia∏, zupe∏nie
nieciekawy, dopóki nie zetknie si´ z wo-
dà. Wtedy wydziela si´ gaz. Acetylen.
Równie˝ niezbyt ciekawy, póki si´ go nie
podpali. Przy nim gaÊnie ∏uk w´glowy.
W 1899 roku fabryki acetylenu rosnà jak
grzyby po deszczu, przede wszystkim
w miejscach takich jak Wodospad Nia-
gara, Pireneje, Norwegia i Szwajcaria,
gdzie masy spadajàcej wody wytwarza-
jà pràd elektryczny konieczny do zasila-
nia pieców. Wtedy pojawia si´ Thomas
Edison. Robi, co robi, i rynek Êwiat∏a ace-
tylenowego biorà diabli.

W 1912 roku osamotnieni entuzjaÊci

acetylenu rozglàdajà si´ za czymÊ, do
czego mo˝na by go u˝yç. We Frankfur-
cie pewien chemik z Greisheim Electron
jest w∏aÊnie w trakcie poszukiwaƒ cze-
goÊ, czego domieszka do materia∏u po-
krywajàcego skrzyd∏a samolotu uczy-
ni∏aby go odpornym na wilgoç. Robi
próby z mieszaninà acetylenu, chloro-
wodoru i rt´ci. Nic z tego. Odstawia
wi´c swojà kleistà maê na nas∏onecznio-
ny parapet i obserwuje, jak tworzy ona
mlecznà brej´, która potem si´ zestala.
GoÊç rejestruje patent i zapomina o spra-
wie. W 1925 roku patent wygasa. Dla-
tego te˝ koƒcz´, podobnie jak zaczà∏em,
wspominajàc faceta, którego ulubionym
wyra˝eniem by∏o z pewnoÊcià „o, cho-
lera”. Nazywa∏ si´ Fritz Klatte. Brejà,
którà zlekcewa˝y∏, by∏ poli(chlorek wi-
nylu), PCW.

T∏umaczy∏a

Magdalena Pecul

Przypisy redakcji:

1

Latarni´ morskà na Faros (wys. 120 m) u wejÊcia

do portu w Aleksandrii, zbudowanà w III w p.n.e., za-
liczano w staro˝ytnoÊci do siedmiu cudów Êwiata.

2

W j´z. angielskim s∏owo limelight znaczy zarów-

no reflektor, jak Êwiat∏o gazowe.

3

Henri Moissan (1852–1907) – francuski chemik,

profesor Sorbony, laureat Nagrody Nobla. Pierw-
szy otrzyma∏ syntetyczne w´gliki (m.in. w´glik ty-
tanu i w´glik boru), borki i wiele innych zwiàzków
nieorganicznych.

sta∏o”, aby stwierdziç, czy dana 15- lub
20-cyfrowa liczba jest pierwsza. Sam
przed∏o˝y∏ te˝ po˝ytecznà formu∏´
przedstawiajàcà, jak przypuszcza∏, licz-
by, które powinny byç liczbami pierw-
szymi: podnieÊ 2 do pot´gi o wyk∏ad-
niku b´dàcym liczbà pierwszà i od wy-
nika odejmij 1. Kilka poczàtkowych
liczb pierwszych u˝ytych w tym wzorze
jako wyk∏adniki istotnie daje liczby
pierwsze, ale liczba utworzona z 211 ju˝
nie jest pierwsza. (Nie znaleziono do-
tàd ˝adnego wzoru, który by zawsze
dawa∏ liczby pierwsze.) Liczby, o któ-
rych mistrz Mersenne sàdzi∏, ˝e sà
pierwsze, szczególnie nadajà si´ do te-
stowania na komputerze; teoretycy
wiele dowiedzieli si´ o wzorze Mersen-
ne’a i wcià˝ znajdujà wskazówki pro-
wadzàce do jeszcze wi´kszych liczb
pierwszych.

Co pomyÊla∏by stary Mersenne o naj-

wi´kszej dziÊ liczbie pierwszej, którà
znaleziono na poczàtku 1998 roku za
pomocà jego wzoru? Do jej zapisania
potrzeba prawie miliona cyfr dziesi´t-
nych. Zaj´∏aby dobrej jakoÊci dyskietk´
komputerowà lub sporà ksià˝k´. Du˝y
zespó∏ (utworzony w 1996 roku) znaj-
duje ka˝dego roku po par´ podobnych
liczb pierwszych. 4200 amatorów i kil-

kudziesi´ciu zawodowców zaanga˝o-
wanych w Wielkie Internetowe Poszu-
kiwanie Liczb Pierwszych Mersenne’a
u˝ywa wspólnego oprogramowania
i rozdziela mi´dzy sobà szczegó∏owo
zakresy polowaƒ, szukajàc nowych liczb
pierwszych w nie kontrolowanych prze-
biegach. Z∏àczone w tym jednym celu
tysiàce ci´˝ko pracujàcych przez ca∏à
noc Pentium tworzà jeden gigantyczny
superkomputer. A jeszcze inna hipote-
tyczna formu∏a dla liczb pierwszych po-
zwala spodziewaç si´ kolejnej o nie-
prawdopodobnej liczbie 10

37

cyfr!

Od mniej wi´cej poczàtku stulecia

wiemy, jak wyznaczaç co prawda nie
kolejno wyst´pujàce podczas liczenia
liczby pierwsze, ale cz´stoÊç, z jakà si´
pojawiajà – i to tym dok∏adniej, im sà
one wi´ksze. Rekordowa liczba pierw-
sza z roku 1998 jest jedynà spoÊród kil-
ku milionów z∏o˝onych liczb, rzadki i
delikatny kwiat rozkwit∏y na pustyni
liczb pierwszych.

A mo˝e niezupe∏nie tak. W grudnio-

wym numerze Scientific American z 1958
roku David Hawkins, prawdziwy filo-
zof, wychowawca i matematyk amator,
a mój stary przyjaciel, przedstawi∏ swój
obrazoburczy wariant odkrycia czcigod-
nego Eratostenesa – sito losowe. Nie si´-
gaj po kalkulator, by wyznaczyç czynni-

ki liczby, którà badasz. Lepiej spróbuj
metody wyboru losowego. Najpierw
przesiej liczby pó∏ na pó∏, jakbyÊ rzuca∏
prawdziwà monetà. Nast´pnie znowu
spróbuj, ale tym razem stawiajàc na
szcz´Êliwà liczb´. Innymi s∏owy, jeÊli to
4 jest kolejnà nie odsianà liczbà, ustal
cz´stoÊç odsiewania na jeden do
czterech.

Mo˝esz to robiç tak d∏ugo, jak ci si´

spodoba, kszta∏tujàc przypadkowo za-
równo prawdopodobieƒstwa, jak i sam
wybór. To, co pozostanie, nie b´dzie si´
odznacza∏o ˝adnà prawid∏owoÊcià –
mniej wi´cej po∏owa z tych liczb oka˝e
si´ parzysta i ˝adne dwa przesiania si´
nie powtórzà. A jednak koƒcowe roz-
rzedzenie b´dzie takie jak dla spraw-
dzonych liczb pierwszych. A wi´c to nie
cudowne omijanie kolejnych czynników
a˝ do samej 2 wydaje si´ ustalaç popu-
lacj´ liczb pierwszych, tylko ich zniko-
ma szansa prze˝ycia, odtwarzana w pe∏-
ni przez Êlepy traf.

Najnowsze wiadomoÊci na temat

liczb pierwszych, bogate ksià˝kowe
kompendium i wiele innych podstawo-
wych faktów znajdziesz w Internecie
pod adresem: www.utm.edu/research/
primes.

T∏umaczy∏

Aleksander Strasburger

88 Â

WIAT

N

AUKI

Styczeƒ 1999

ZADZIWIENIA

, ciàg dalszy ze strony 86