Rachunek Prawdopodobie´

nstwa dla WNE

Kolokwium, 12 grudnia 2009r., grupa A

..........................................

..................

imi

,

e i nazwisko

nr indeksu

1. (5p.) Z talii 52 kart losujemy bez zwracania pi

,

e´

c. Wyznacz prawdopodobie´

nstwo

tego, ˙ze w´

sr´

od tych kart b

,

edzie co najmniej jeden pik i co najmniej dwa kr´

ole.

2. Dziesi

,

e´

c os´

ob, w´

sr´

od kt´

orych s

,

a osoby O

1

, O

2

, O

3

i O

4

, ustawia si

,

e losowo w

kolejce. Rozwa˙zmy zdarzenia A - O

1

stoi przed O

2

, B - O

2

stoi przed O

3

lub przed O

1

,

C - O

3

stoi przed O

4

.

a) (3p.) Oblicz P(B|A).
b) (5p.) Czy zdarzenia A i C s

,

a niezale˙zne? Czy zdarzenia A, B, C s

,

a niezale˙zne?

3. Na egzaminie z rachunku prawdopodobie´

nstwa s

,

a 3 zadania. Zalicza zrobienie co

najmniej dw´

och zada´

n, natomiast gdy student rozwi

,

a˙ze poprawnie tylko jedno zadanie,

to dostaje pytanie z teorii, i je˙zeli odpowie na nie poprawnie to zalicza. Ania, Antek
i Alina uczyli si

,

e razem, umiej

,

a rozwi

,

aza´

c 50% zada´

n, ale znaj

,

a odpowiedzi tylko na

20% pyta´

n teoretycznych. Natomiast Basia i Bartek rozwi

,

azali 20% zada´

n, za to znaj

,

a

odpowied´

z na 50% pyta´

n z teorii.

a) (5p.) Kt´

ora strategia przygotowywania si

,

e do egzaminu jest lepsza, tzn. daje

wi

,

eksz

,

a szans

,

e na jego zdanie?

b) (4p.) Jaka jest warto´

s´

c oczekiwana liczby student´

ow (spo´

sr´

od tej pi

,

atki), kt´

orzy

zdadz

,

a egzamin?

4. Zmienna losowa X ma rozk lad o g

,

esto´

sci

g(x) = Cx

2

1

[−2,3]

(x).

a) (1p.) Wyznacz sta l

,

a C.

b) (2p.) Oblicz P(|X| > 1).
c) (2p.) Odpowiedz na pytanie, czy zmienna losowa Y = min(X, 1) ma g

,

esto´

s´

c.

Uzasadnij.

d) (4p.) Oblicz EY, gdzie Y jest zmienn

,

a losow

,

a z punktu c).

5. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem:

F (t) =







0

dla

t < 1,

ln t

dla

1 ≤ t < e,

1

dla

t ≥ e.

a) (3p.) Czy ta zmienna losowa ma g

,

esto´

s´

c? Oblicz j

,

a albo uzasadnij, ˙ze g

,

esto´

s´

c nie

istnieje.

b) (6p.) Oblicz warto´

s´

c oczekiwan

,

a i wariancj

,

e zmiennej losowej Y = X

2

.

Rachunek Prawdopodobie´

nstwa dla WNE

Kolokwium, 12 grudnia 2009r., grupa B

..........................................

..................

imi

,

e i nazwisko

nr indeksu

1. (5p.) Z talii 52 kart losujemy bez zwracania pi

,

e´

c. Wyznacz prawdopodobie´

nstwo

tego, ˙ze w´

sr´

od tych kart b

,

edzie co najmniej jeden kr´

ol i co najmniej dwa piki.

2. Dziesi

,

e´

c os´

ob, w´

sr´

od kt´

orych s

,

a osoby O

1

, O

2

, O

3

i O

4

, ustawia si

,

e losowo w

kolejce. Rozwa˙zmy zdarzenia A - O

1

stoi przed O

3

, B - O

3

stoi przed O

2

lub przed O

1

,

C - O

2

stoi przed O

4

.

a) (3p.) Oblicz P(B|A).
b) (5p.) Czy zdarzenia A i C s

,

a niezale˙zne? Czy zdarzenia A, B, C s

,

a niezale˙zne?

3. Na egzaminie z rachunku prawdopodobie´

nstwa s

,

a 3 zadania. Zalicza zrobienie co

najmniej dw´

och zada´

n, natomiast gdy student rozwi

,

a˙ze poprawnie tylko jedno zadanie,

to dostaje pytanie z teorii, i je˙zeli odpowie na nie poprawnie to zalicza. Krysia i Kacper
uczyli si

,

e razem, umiej

,

a rozwi

,

aza´

c 40% zada´

n, i znaj

,

a odpowiedzi tylko na 50% pyta´

n

teoretycznych. Natomiast Lucja i Lukasz rozwi

,

azali 50% zada´

n, i znaj

,

a odpowied´

z na

40% pyta´

n z teorii.

a) (5p.) Kt´

ora strategia przygotowywania si

,

e do egzaminu jest lepsza, tzn. daje

wi

,

eksz

,

a szans

,

e na jego zdanie?

b) (4p.) Jaka jest warto´

s´

c oczekiwana liczby student´

ow (spo´

sr´

od tej czw´

orki), kt´

orzy

zdadz

,

a egzamin?

4. Zmienna losowa X ma rozk lad o g

,

esto´

sci

g(x) = Cx

2

1

[−1,4]

(x).

a) (1p.) Wyznacz sta l

,

a C.

b) (2p.) Oblicz P(|X| < 2).
c) (2p.) Odpowiedz na pytanie, czy zmienna losowa Y = max(X, 1) ma g

,

esto´

s´

c.

Uzasadnij.

d) (4p.) Oblicz EY, gdzie Y jest zmienn

,

a losow

,

a z punktu c).

5. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem:

F (t) =







0

dla

t < 1,

ln(t

2

)

dla

1 ≤ t <

√

e,

1

dla

t ≥

√

e.

a) (3p.) Czy ta zmienna losowa ma g

,

esto´

s´

c? Oblicz j

,

a albo uzasadnij, ˙ze g

,

esto´

s´

c nie

istnieje.

b) (6p.) Oblicz warto´

s´

c oczekiwan

,

a i wariancj

,

e zmiennej losowej Y = X

2

.

Rachunek Prawdopodobie´

nstwa dla WNE

Kolokwium, 12 grudnia 2009r., grupa C

..........................................

..................

imi

,

e i nazwisko

nr indeksu

1. (5p.) Z talii 52 kart losujemy bez zwracania pi

,

e´

c. Wyznacz prawdopodobie´

nstwo

tego, ˙ze w´

sr´

od tych kart b

,

edzie co najmniej jeden kier i co najmniej dwie damy.

2. Dziesi

,

e´

c os´

ob, w´

sr´

od kt´

orych s

,

a osoby O

1

, O

2

, O

3

i O

4

, ustawia si

,

e losowo w

kolejce. Rozwa˙zmy zdarzenia A - O

2

stoi przed O

1

, B - O

1

stoi przed O

2

lub przed O

3

,

C - O

3

stoi przed O

4

.

a) (3p.) Oblicz P(B|A).
b) (5p.) Czy zdarzenia A i C s

,

a niezale˙zne? Czy zdarzenia A, B, C s

,

a niezale˙zne?

3. Na egzaminie z rachunku prawdopodobie´

nstwa s

,

a 3 zadania. Zalicza zrobienie co

najmniej dw´

och zada´

n, natomiast gdy student rozwi

,

a˙ze poprawnie tylko jedno zadanie,

to dostaje pytanie z teorii, i je˙zeli odpowie na nie poprawnie to zalicza. Renata, Romek
i Radek uczyli si

,

e razem, umiej

,

a rozwi

,

aza´

c 80% zada´

n, ale znaj

,

a odpowiedzi tylko na

50% pyta´

n teoretycznych. Natomiast Staszek rozwi

,

aza l 50% zada´

n, za to zna odpowied´

z

na 80% pyta´

n z teorii.

a) (5p.) Kt´

ora strategia przygotowywania si

,

e do egzaminu jest lepsza, tzn. daje

wi

,

eksz

,

a szans

,

e na jego zdanie?

b) (4p.) Jaka jest warto´

s´

c oczekiwana liczby student´

ow (spo´

sr´

od tej czw´

orki), kt´

orzy

zdadz

,

a egzamin?

4. Zmienna losowa X ma rozk lad o g

,

esto´

sci

g(x) = Cx

2

1

[−4,3]

(x).

a) (1p.) Wyznacz sta l

,

a C.

b) (2p.) Oblicz P(|X| > 2).
c) (2p.) Odpowiedz na pytanie, czy zmienna losowa Y = max(X, 1) ma g

,

esto´

s´

c.

Uzasadnij.

d) (4p.) Oblicz EY, gdzie Y jest zmienn

,

a losow

,

a z punktu c).

5. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem:

F (t) =







0

dla

t < 2,

ln

t

2

dla

2 ≤ t < 2e,

1

dla

t ≥ 2e.

a) (3p.) Czy ta zmienna losowa ma g

,

esto´

s´

c? Oblicz j

,

a albo uzasadnij, ˙ze g

,

esto´

s´

c nie

istnieje.

b) (6p.) Oblicz warto´

s´

c oczekiwan

,

a i wariancj

,

e zmiennej losowej Y = X

2

.

Rachunek Prawdopodobie´

nstwa dla WNE

Kolokwium, 12 grudnia 2009r., grupa D

..........................................

..................

imi

,

e i nazwisko

nr indeksu

1. (5p.) Z talii 52 kart losujemy bez zwracania pi

,

e´

c. Wyznacz prawdopodobie´

nstwo

tego, ˙ze w´

sr´

od tych kart b

,

edzie co najmniej jeden walet i co najmniej dwa kara.

2. Dziesi

,

e´

c os´

ob, w´

sr´

od kt´

orych s

,

a osoby O

1

, O

2

, O

3

i O

4

, ustawia si

,

e losowo w

kolejce. Rozwa˙zmy zdarzenia A - O

1

stoi przed O

4

, B - O

4

stoi przed O

3

lub przed O

1

,

C - O

3

stoi przed O

2

.

a) (3p.) Oblicz P(B|A).
b) (5p.) Czy zdarzenia A i C s

,

a niezale˙zne? Czy zdarzenia A, B, C s

,

a niezale˙zne?

3. Na egzaminie z rachunku prawdopodobie´

nstwa s

,

a 3 zadania. Zalicza zrobienie co

najmniej dw´

och zada´

n, natomiast gdy student rozwi

,

a˙ze poprawnie tylko jedno zadanie,

to dostaje pytanie z teorii, i je˙zeli odpowie na nie poprawnie to zalicza. Jola, Ja´

s i Jacek

uczyli si

,

e razem, umiej

,

a rozwi

,

aza´

c 80% zada´

n, oraz znaj

,

a odpowiedzi na 60% pyta´

n

teoretycznych. Natomiast Danka, Dorota i Darek rozwi

,

azali 60% zada´

n, za to znaj

,

a

odpowied´

z na 80% pyta´

n z teorii.

a) (5p.) Kt´

ora strategia przygotowywania si

,

e do egzaminu jest lepsza, tzn. daje

wi

,

eksz

,

a szans

,

e na jego zdanie?

b) (4p.) Jaka jest warto´

s´

c oczekiwana liczby student´

ow (spo´

sr´

od tej sz´

ostki), kt´

orzy

zdadz

,

a egzamin?

4. Zmienna losowa X ma rozk lad o g

,

esto´

sci

g(x) = Cx

2

1

[−2,3]

(x).

a) (1p.) Wyznacz sta l

,

a C.

b) (2p.) Oblicz P(|X| < 1).
c) (2p.) Odpowiedz na pytanie, czy zmienna losowa Y = min(X, 2) ma g

,

esto´

s´

c.

Uzasadnij.

d) (4p.) Oblicz EY, gdzie Y jest zmienn

,

a losow

,

a z punktu c).

5. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem:

F (t) =







0

dla

t < 1,

ln

√

t

dla

1 ≤ t < e

2

,

1

dla

t ≥ e

2

.

a) (3p.) Czy ta zmienna losowa ma g

,

esto´

s´

c? Oblicz j

,

a albo uzasadnij, ˙ze g

,

esto´

s´

c nie

istnieje.

b) (6p.) Oblicz warto´

s´

c oczekiwan

,

a i wariancj

,

e zmiennej losowej Y = X

2

.