>

restart:

Całkowanie symboliczne

Ogólna postać komendy int
int (funkcja, zmienna lub przedział całkowania)
np.: int (sin(x), x); # całka nieoznaczona
np.: int (sin(x), x=0..1); # całka oznaczona

>

Int(x^2,x); # bierna wersja komendy

d








x

2

x

>

value(%); # uwaga: brak stałej całkowania!

x

3

3

>

int(x^2,x)+C; # aktywna wersja komendy



x

3

3

C

>

Int(x^2,x)=int(x^2,x);



d








x

2

x

x

3

3

>

int(exp(-x^2),x);

1
2



( )

erf x

>

diff(%,x);

e

(

)

x2

>

c1:=expand(int((1+x)^2,x));

:=

c1

  

1
3

x

x

2

1
3

x

3

>

c2:=int(1+2*x+x^2,x);

:=

c2

 

x

x

2

1
3

x

3

Uwaga: c1 różni się od c2 o stałą!
>

diff(c1,x);

 

1 2 x x

2

>

diff(c2,x);

 

1 2 x x

2

Całki oznaczone
>

int(sin(cos(x)),x);

d




 (

)

sin

( )

cos x

x

>

int(sin(cos(x)),x=0..Pi/2); # StruveH, StruveL - Struve functions

1
2



(

)

StruveH ,

0 1

>

evalf(%);

0.8932437410

>

plot(sin(cos(x)),x=0..Pi/2);

>

int(1/(1+ln(1/x)),x);

d

















1



1











ln

1

x

x

>

int(1/(1+ln(1/x)),x=0..1); # Ei - the Exponential Integral

(

)

Ei ,

1 1 e

>

evalf(%);

0.5963473622

>

plot(1/(1+ln(1/x)),x=0..1);

>

int(x^x,x);

d






x

x

x

>

int(x^x,x=0..1);

d








0

1

x

x

x

>

evalf(%);

0.7834305107

>

evalf(Int(x^x,x=0..1));

0.7834305107

>

plot(x^x,x=0..1,0..1);

Całki wielokrotne (int(int(...)), int(...,[x=a..b,y=c..d,...]), Doubleint, Tripleint, MultiInt)

>

Int(Int(x*y,y=0..x),x=0..2); # bierna wersja komendy

d






0

2

d






0

x

x y y x

>

value(%);

2

>

int(int(x*y,y=0..x),x=0..2); # aktywna wersja komendy

2

>

int(x*y,[y=0..x,x=0..2]); # nowa wersja komendy int

2

>

with (student);

D Diff Doubleint Int Limit Lineint Product Sum Tripleint changevar completesquare distance equate integrand

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

[

intercept intparts leftbox leftsum makeproc middlebox middlesum midpoint powsubs rightbox rightsum showtangent

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

simpson slope summand trapezoid

,

,

,

]

>

Doubleint(x*y,y=0..x,x=0..2);

d






0

2

d






0

x

x y y x

>

value(%);

2

>

with(Student[MultivariateCalculus]);

ApproximateInt ApproximateIntTutor CenterOfMass ChangeOfVariables CrossSection CrossSectionTutor Del

,

,

,

,

,

,

,

[

DirectionalDerivative DirectionalDerivativeTutor FunctionAverage Gradient GradientTutor Jacobian

,

,

,

,

,

,

LagrangeMultipliers MultiInt Nabla Revert SecondDerivativeTest SurfaceArea TaylorApproximation

,

,

,

,

,

,

,

TaylorApproximationTutor ]

>

MultiInt(x*y,y=0..x,x=0..2);

2

>

Int(Int(Int(x*y*z,z=0..x*y),y=0..x),x=0..2); # bierna wersja komendy

d






0

2

d






0

x

d






0

x y

x y z z y x

>

value(%);

4

>

int(int(int(x*y*z,z=0..x*y),y=0..x),x=0..2); # aktywna wersja komendy

4

>

int(x*y*z,[z=0..x*y,y=0..x,x=0..2]); # nowa wersja komendy

4

>

Tripleint(x*y*z,z=0..x*y,y=0..x,x=0..2);

d






0

2

d






0

x

d






0

x y

x y z z y x

>

value(%);

4

>

MultiInt(x*y*z,z=0..x*y,y=0..x,x=0..2);

4

Całkowanie numeryczne

Proste kwadratury Newtna-Cotesa
>

f:=x->1/(1+ln(1/x));

:=

f



x

1



1











ln

1

x

>

int(f(x),x);

d

















1



1











ln

1

x

x

0

( )

(

)

b

m

i

i

i

a

f x dx

b

a

C y











Wielomian 1 stopnia (m =1)
>

a:=1.;b:=2.;

:=

a

1.

:=

b

2.

>

m:=1;h:=(b-a)/m;

:=

m

1

:=

h

1.

>

x:=array(0..m,[seq(a+i*h,i=0..m)]):

>

C[0]:=1/2;C[1]:=1/2;

:=

C

0

1
2

:=

C

1

1
2

>

Ip1:=(b-a)*add(C[i]*f(x[i]),i=0..m);

:=

Ip1

2.129445677

Wielomian 2 stopnia
>

m:=2;h:=(b-a)/m;

:=

m

2

:=

h

0.5000000000

>

x:=array(0..m,[seq(a+i*h,i=0..m)]):

>

C[0]:=1/6;C[1]:=4/6;C[2]:=1/6;

:=

C

0

1
6

:=

C

1

2
3

:=

C

2

1
6

>

Ip2:=(b-a)*add(C[i]*f(x[i]),i=0..m);

:=

Ip2

1.831139939

Porównanie
>

for i to 2 do Ip||i end do;

2.129445677
1.831139939

Wartość dokładna
>

wd:=int(f(x),x=1..2); # Ei - the exponential integral

:=

wd





(

)

Ei ,

1 1 e

(

)

Ei ,

1



1

( )

ln 2

e

Wartość przybliżona z dokładnością do 20 cyfr znaczących
>

Idok:=evalf[20](wd);

:=

Idok

1.8202098226544037274

>
Współczynniki Cotesa

0

0

(

)

( 1)

,

0..

!(

)!

(

)

m

m

m i

j

i

t

j

C

d t

i

m

i m i m

t

i































>

m:=10;

:=

m

10

>

#m:=40;Digits:=40;

>

h:=(b-a)/m;

:=

h

0.1000000000

>

for i from 0 to m do
C[i]:=(-1)^(m-i)/(i!*(m-i)!*m)*int(mul(t-j,j=0..m)/(t-i),t=0..m):
end do;

:=

C

0

16067

598752

:=

C

1

26575

149688

:=

C

2

-16175

199584

:=

C

3

5675

12474

:=

C

4

-4825

11088

:=

C

5

17807
24948

:=

C

6

-4825

11088

:=

C

7

5675

12474

:=

C

8

-16175

199584

:=

C

9

26575

149688

:=

C

10

16067

598752

>

x:=array(0..m,[seq(a+i*h,i=0..m)]):

>

Ip||m:=(b-a)*add(C[i]*f(x[i]),i=0..m);

:=

Ip10

1.820209895

>

'Idok'=Idok;



Idok

1.8202098226544037274

>

add(C[i],i=0..m);

1

>