Rachunek prawdopodobieństwa studia I stopnia Informatyka

semestr II r. ak. 2013/2014

Rozwiązania przykładowych zadań z pracy kontrolnej

1. Zmienna losowa X ma gęstość

 

6

0

6

1

1

0











x

dla

x

dla

c

x

dla

x

f

a. Wyznacz c i naszkicuj wykres funkcji gęstości.

Zmienna losowa X jest ciągła, jez zbiór wartości to zbiór liczb rzeczywistych R.
Gęstość tej zmiennej losowej ma własność:

, zatem

ale zatem

b. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X.

Z definicji:

gdzie to gęstość zmiennej losowej X.

Wyznaczamy dystrybuantę tej zmiennej losowej dla argumentów :

Wyznaczamy dystrybuantę tej zmiennej losowej dla argumentów :

Wyznaczamy dystrybuantę tej zmiennej losowej dla argumentów :

c. Oblicz





2



X

P

.

Dla zmiennej losowej ciągłej
Zatem

Można odpowiedzieć na to pytanie także inaczej, obliczając całkę z gęstości w granicach od minus
nieskończoności do 2.

d. Oblicz wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej.

Z definicji

dx +

Po obliczeniu wynik:

=…. (proszę dokończyć)

2. W torebce jest 10 cukierków, w tym 7 czekoladowych. Wyjmujemy z tej torebki w sposób

losowy 2 cukierki. Niech X oznacza liczbę cukierków czekoladowych wśród 2 cukierków
wyjętych.

a) Określ zbiór wartości i rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

0

1

2

b) Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej.

Dla argumentów :

Dla argumentów :

Dla argumentów :

Dla argumentów :

c)Oblicz wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej.

d)Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych 2 cukierków jest co najmniej jeden
czekoladowy.

3. W urnie jest 5 kul białych i 4 czarne. Rzucamy dwa razy monetą. Jeżeli wyrzuciliśmy dwa orły,

to z tej urny pobieramy losowo jedną kulę. Jeżeli wyrzuciliśmy dwie reszki, to z urny
pobieramy losowo dwie kule, a w innym przypadku z urny pobieramy losowo trzy kule. Oblicz
prawdopodobieństwo, że najpierw wyrzucono dwie reszki, jeżeli wiadomo, że wśród
wylosowanych z urny kul nie było kuli czarnej.

Trzeba obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe, korzystając z twierdzenia Bayesa.

Mamy zasadniczo ‘duże’ doświadczenie losowe składające się z dwu etapów:
pierwszy etap to rzucanie dwa razy monetą. a drugi etap to losowanie kul białych z urny, stosownie
do wyniku pierwszego etapu doświadczenia.

=

Oczywiście można obliczyć prawdopodobieństwa, przyjmując, że losowanie dwóch lub trzech kul z
urny i branie pod uwagę liczby białych kul jest doświadczeniem Bernoulliego i tak obliczyć
prawdopodobieństwa.

4. Masa pewnego detalu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(10 dag; 0,9 dag).

Oblicz prawdopodobieństwo, że masa detalu będzie zawarta między 9,1 dag a 10,9 dag.

Zmienna losowa X oznacza masę pewnego detalu.
Wartość oczekiwana m tej zmiennej losowej wynosi 10 a odchylenie standardowe sigma 0,9.

Mamy obliczyć:

Korzystaliśmy z ogólnej własności dystrybuanty obowiązującej dla każdej zmiennej losowej ciągłej:

Przy okazji przypominamy sobie, że dla każdej zmiennej losowej obowiązuje następująca własność:

to dystrybuanta zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym standardowym: wartość
oczekiwana wynosi 0 a odchylenie standardowe wynosi 1.

Własność tej dystrybuanty:

5. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym.

Rozwiązanie tego zadania pozostawiam Państwu.