Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 2

background image




KOD ZDAJĄCEGO





MMA-R2G1P-021

EGZAMIN MATURALNY

Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY

Arkusz II

Czas pracy 150 minut


Instrukcja dla zdającego

1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 10 stron.

Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu

na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.

3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać

ołówkiem.

4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania

prowadzący do ostatecznego wyniku.

5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,

którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.

9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,

cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
z kalkulatora graficznego.

10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,

którą wypełnia egzaminator.

Życzymy powodzenia!





ARKUSZ II


MAJ

ROK 2003




















Za rozwiązanie

wszystkich zadań

można otrzymać

łącznie 60 punktów

(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)

PESEL ZDAJĄCEGO

(Wpisuje zdający przed

rozpoczęciem pracy)

Miejsce

na naklejkę

z kodem

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

2

Zadanie 12. (5 pkt )

Sprawdź, czy funkcja f określona wzorem



=

=

+

=

2

3

1

1

2

1

2

3

)

2

)(

1

(

)

(

2

x

dla

x

dla

x

i

x

dla

x

x

x

x

x

x

f

jest ciągła w punktach

i

. Sformułuj odpowiedź.

1

=

x

2

=

x



















Odpowiedź. ...........................................................................................................................

Zadanie 13. (3 pkt )

Niech

będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych i

,

. Oblicz

wiedząc, że

)

B

A

B

( A

P

8

5

)

(

=

B

A

P

,

2

1

)

(

=

A

P

,

4

3

)

(

=

B

P

. Sprawdź, czy zdarzenia A i B

zdarzeniami niezależnymi ?

















Odpowiedź.

) =.................... Zdarzenia A i B .................................................

(

B

A

P

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz

II

3

Zadanie 14. (4 pkt )

Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali

. Wiedząc, że

, , , wyznacz:

0

<

k

)

0

,

2

(

A

)

2

,

0

(

B

)

4

,

3

(

C

)

0

,

7

(

D

a) równanie prostej przechodzącej przez punkt i jego obraz w tej jednokładności,

A

b) równanie prostej przechodzącej przez punkt B i jego obraz w tej jednokładności,
c) współrzędne środka tej jednokładności.

















Odpowiedź. a) Równania prostych mają postać ......................................................................

b) Środek jednokładności ma współrzędne .........................................................

Zadanie 15. (5 pkt )

Dane są funkcje f, g i h określone wzorami :

,

2

h

, x

R.

x

x

f

2

)

(

=

x

x

g

=

)

(

,

)

(

= x

x

a) Naszkicuj wykres funkcji f.
b) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji

.

g

f D

c) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji h

.

g

f D

D

-6

-6

2

1

-3

-2

-1

0

4

y

-4

-5

-3

-2

-1

-4

-5

5

1

2

3

x

6

5

4

3

-6

-6

2

1

-3

-2

-1

0

4

y

-4

-5

-3

-2

-1

-4

-5

5

1

2

3

x

6

5

4

3

-6

-6

2

1

-3

-2

-1

0

4

y

-4

-5

-3

-2

-1

-4

-5

5

1

2

3

x

6

5

4

3

Wykres funkcji f.

Wykres funkcji

.

g

f D

Wykres

funkcji .

g

f

h

D

D





background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

4

Zadanie 16. (5 pkt )

Zawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze „Expres-Lotek” zakreślamy
5 spośród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród
5 wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,00001.





















Odpowiedź. Prawdopodobieństwo jest równe ..................................................

Zadanie 17. (5 pkt )

Rozwiąż równanie

.

0

4

sin

5

cos

2

2

=

+

x

x
























Odpowiedź. ................................................................................................................................

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz

II

5

Zadanie 18. (5 pkt )

W tabeli podane są wartości funkcji

dla trzech argumentów.

(

)

− 4

,

3

:

f

x

-2 0 3

)

(x

f

8

5

3

8

5

-1

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f.
a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu

funkcji f w punkcie o odciętej .

0

=

x

b)

Wyznacz ekstremum funkcji f. Podaj
argument, dla którego funkcja f osiąga
ekstremum.

c) Podaj najmniejszą wartość funkcji f.



































Odpowiedź. a) Równanie stycznej ma postać ............................................................................

b) Funkcja f osiąga ............................. równe ...................... dla ..........................

c) Najmniejsza wartość funkcji f jest równa ..........................................................

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

6

Zadanie 19. (4 pkt )

Funkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania

w zależności od wartości parametru m. Odpowiedź uzasadnij.

m

x

f

=

− )

1

(















Zadanie 20. (6 pkt )

Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego,

dodatniego n zachodzi równość:

n

n

n

2

1

2

3

)

1

3

(

...

8

5

2

+

=

+

+

+

+

2

.






























background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz

II

7

Zadanie 21. (8 pkt )

W trójkącie ABC dane są :

8

=

AC

,

3

=

BC

,

0

60

=

ACB

. Oblicz objętość i pole

powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC .














































background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz II

8

Zadanie 22. (10 pkt )

Rozwiąż równanie

.

(

)

(

x

x

3

9

9

3

log

log

log

log

=

)

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz egzaminacyjny II

1

Schematy punktowania zadań do Arkusza II

Zadanie 12.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Zapisanie wyrażenia

2

3

)

2

)(

1

(

2

+

x

x

x

x

x

w prostszej

postaci.
Odp. .

x

1

2.

Obliczenie granicy funkcji f w punkcie

.

1

=

x

Odp. 1.

1

3.

Obliczenie granicy funkcji f w punkcie

.

2

=

x

Odp. 2

1

4.

Sformułowanie odpowiedzi.
Odp. Funkcja f jest ciągła w punkcie

; funkcja f

nie jest ciągła w punkcie

.

1

=

x

2

=

x

Za każdą część odpowiedzi – 1 punkt.

2

Zadanie 13.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Obliczenie .

)

(B

P

Odp.

4

1

)

(

=

B

P

.

1

2.

Obliczenie .

)

(

B

A

P

)

(

)

(

)

(

)

(

B

A

P

B

P

A

P

B

A

P

+

=

Odp.

8

1

)

(

=

B

A

P

.

1

3.

Porównanie liczb

oraz

i

zapisanie odpowiedzi, że zdarzenia A i B
niezależne.

(

)

P A B

( )

( )

P A P B

1

Zadanie 14.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Ustalenie, że punkt D jest obrazem punktu A oraz
punkt C jest obrazem punktu B.
Fakt ten może być opisany słownie, przedstawiony
rysunkiem lub wykorzystany podczas rozwiązania.

1

2.

Wyznaczenie równania prostej AD.
Odp. .

0

=

y

1

3.

Wyznaczenie równania prostej BC.
Odp. .

2

2

= x

y

1

4.

Wyznaczenie współrzędnych środka jednokładności.
Odp.

(

.

)

0

,

1

1









background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz egzaminacyjny II

2


Zadanie 15.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Naszkicowanie wykresu funkcji f.

Odp.

1

2.

Wyznaczenie wzoru funkcji

.

g

f D

Odp.

(

)

.

( )

x

x

g

f

= 2

D

1

3.

Naszkicowanie wykresu funkcji

.

g

f D

Odp.

1

4.

Wyznaczenie wzoru funkcji h

.

g

f D

D

Odp.

(

)

.

( )

2

2

=

x

x

g

f

h

D

D

1

5.

Naszkicowanie wykresu funkcji

.

g

f

h

D

D

Odp.

1

Zadanie 16.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Zapisanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych
za pomocą symbolu Newtona.

Odp. 

.



 5

42

1

2.

Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Odp. 850668.

1

3.

Zapisanie liczby zdarzeń sprzyjających trafieniu co
najmniej 4 spośród 5 liczb z wykorzystaniem symbolu
Newtona.

Odp.



.

1

1

37

4

5

+







1

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz egzaminacyjny II

3

4.

Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Odp. 186.

1

5.

Obliczenie prawdopodobieństwa trafienia co najmniej
4 spośród 5 liczb.

0002186

,

0

850668

186 ≈

Odp. 0,00022.

1

Zadanie 17.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1. Zapisanie równania w postaci

.

0

2

sin

5

sin

2

2

=

+

x

x

1

2.

Zapisanie równania z niewiadomą

.

x

t sin

=

Odp.

2

.

0

2

5

2

=

+

t

t

1

3.

Wyznaczenie rozwiązań równania 2

.

0

2

5

2

=

+

t

t

Odp.

t

,

2

=

2

1

=

t

.

1

4. Zapisanie, że równanie

nie ma rozwiązań.

2

sin

=

x

1

5.

Zapisanie rozwiązań równania

.

0

4

sin

5

cos

2

2

=

+

x

x

Odp.

2

,

6

x

k k

π

π

= +

C lub

5

2

,

6

x

k k

π

π

=

+

C .

(Uznajemy też wynik zapisany w postaci.

, gdzie

lub

,

gdzie

).

0

0

360

30

+

=

k

x

C

k

C

k

0

0

360

150

+

=

k

x

1

Zadanie 18.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wykonanie polecenia a).

Odp.

8

5

=

y

.

Za podanie współczynnika kierunkowego stycznej lub
wartości pochodnej funkcji f dla x=0 przyznajemy 1
punkt.

2

2.

Podanie argumentu, dla którego funkcja f osiąga
minimum.
Odp. .

3

=

x

1

3.

Podanie minimum funkcji f.
Odp. .

1

)

3

(

min

=

f

1

4.

Wykonanie polecenia c).
Odp. Najmniejsza wartość funkcji f jest równa – 1.

1

Zadanie 19.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wykonanie polecenia zadania.
Odp. Równanie nie ma rozwiązań dla

(

0

,

(

)

+

,

m

;

równanie ma 1 rozwiązanie dla

.

∈ 0

m

Po 1 punkcie za każdy z rozważonych przypadków.

2

2.

Uzasadnienie odpowiedzi.
Odp. Funkcja g określona wzorem

)

1

(

)

(

=

x

f

x

g

jest funkcją różnowartościową. Zbiorem wartości

2

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz egzaminacyjny II

4

funkcji g jest przedział (

.

)

,

0 ∞

+

Po 1 punkcie za każdy element uzasadnienia.

1

=

2

=

k

2

3

)

1

=

)

2

3

(

+

k

(

2

3

)

2

3

(

+

=

=

+

k

k

Zadanie 20.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Sprawdzenie, czy dla

zachodzi dana równość.

n

Odp. Lewa strona równości jest równa 2. Prawa

strona jest równa

2

1

2

3 +

.

1

2.

Zapisanie założenia indukcyjnego.

Odp.

k

k

2

1

3

(

...

8

5

2

+

+

+

+

+

2

, gdzie k

jest dowolną ustaloną liczbą naturalną większą lub
równą 1.

1

3.

Zapisanie tezy indukcyjnej.
Odp.

)

1

(

2

1

)

1

(

2

3

)

1

3

(

...

8

5

2

2

+

+

+

=

+

+

+

+

+

k

k

k

1

4.

Przeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej.
Odp.

)

1

(

2

1

)

1

2

1

2

1

2

3

3

2

3

)

2

3

(

2

1

2

3

)

1

3

(

...

8

5

2

2

2

2

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

k

k

k

k

k

k

k

k

2

5.

Sformułowanie odpowiedzi.
Odp. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana
równość jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej,
dodatniej n.

1

Zadanie 21.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Wykonanie rysunku i wprowadzenie oznaczeń.
Odp.

1

2.

Zapisanie jaką bryłą jest bryła po obrocie danego
trójkąta.
Odp. Powstała bryła jest stożkiem z wyciętym
stożkiem o tej samej podstawie.
Punkt przyznajemy także jeśli zaznaczony jest stożek
na rysunku.

1

3. Wyznaczenie długości odcinka AB .

Z twierdzenia kosinusów

1

background image

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz egzaminacyjny II

5

ACB

BC

AC

BC

AC

AB

+

=

cos

2

2

.

Odp.

7

=

AB

.

4.

Wyznaczenie długości odcinka AD .

ACB

AC

AD

=

sin

Odp.

3

4

=

AD

.

1

5.

Wyznaczenie długości odcinka CD .

ACB

AC

CD

=

cos

Odp.

4

=

CD

.

1

6.

Obliczenie objętości powstałej bryły.

BD

AD

CD

AD

V

=

2

2

3

1

3

1

π

π

Odp. 48 .

π

1

7.

Obliczenie pola powierzchni całkowitej.

AB

AD

AC

AD

P

+

=

π

π

Odp.

π

3

60

.

Jeśli wyznaczone zostało pole powierzchni bocznej
tylko jednego stożka przyznajemy 1 punkt.

2

Zadanie 22.

L. p.

Wykonana czynność L.

punktów

1.

Zapisanie warunku jaki musi spełniać niewiadoma x.

Odp.



>

>

>

0

log

0

log

0

9

3

x

x

x

1

2.

Wyznaczenie dziedziny równania.
Odp. .

)

,

1

(

+

x

1

3.

Zapisanie równania w postaci

.

(

)

(

x

x

3

9

2

9

9

log

log

log

log

=

)

Za zastosowanie twierdzenia o zamianie podstaw –
1 punkt.

2

4. Zapisanie równania w postaci

.

(

)

0

log

log

3

2

9

=

x

x

1

5. Zapisanie równania w postaci

.

(

)

0

log

2

log

9

2

9

=

x

x

1

6.

Wyznaczenie rozwiązań równania

.

(

)

0

log

2

log

9

2

9

=

x

x

Odp. lub

.

1

=

x

81

=

x

Zapisanie w postaci

- 1 punkt.

(

)

0

log

2

log

9

9

=

x

x

Zapisanie alternatywy:

lub log

1 punkt.

0

log

9

=

x

2

9

=

x

-

Wyznaczenie rozwiązań równania - 1 punkt.

3

7.

Wyznaczenie rozwiązań równania

.

(

)

(

x

x

3

9

9

3

log

log

log

log

=

)

Odp.

.

81

=

x

1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 2
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 1
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 1
Matematyka Matura Maj 2002 Arkusz 1
Matematyka Matura Maj 2002 Arkusz 2
Matematyka Matura Maj 2005 Arkusz 1
Matematyka Matura Maj 2005 Arkusz 2
Matematyka Matura Maj 2002 Arkusz 1
Matematyka Matura Maj 2002 Arkusz 2
matematyka-gazeta wyborcza-matura-maj 2003, mazowsze
matematyka gazeta wyborcza matura maj 2003 mazowsze 2C74OVWZKEBVMJZHFAG5NW3RX54OH67YEEOYHNA
fizyka matura styczen 2003 arkusz 1 YNEIP4Z27B573GY22RTYTQ
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom rozszerzony
chemia matura styczen 2003 arkusz 1 7NL7HMDRBPQUD5O26HUGWX
chemia matura maj 2005 arkusz 2 56UX3BDIJHTIJZIJ3U3GBS
Fizyka Matura Maj 2002 Arkusz 2 (2)

więcej podobnych podstron