9 Pochodna funkcji jednej zmiennej

Analiza matematyczna 1/Wykład 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Definiujemy pochodną funkcji i podajemy jej interpretację fizyczną i geometryczną. Wyznaczamy pochodne funkcji elementarnych. Wykazujemy podstawowe własności funkcji różniczkowalnych, w tym twierdzenie Rolle'a, Cauchy'ego i twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej. Związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji pozwala na sformułowanie warunku koniecznego i wystarczającego istnienia ekstremum.

[Edytuj]

Pochodna: interpretacja fizyczna i geometryczna

Z pojęciem pochodnej zetknęliśmy się po raz pierwszy w szkole na lekcjach fizyki. Wyznaczając prędkość średnią pewnego obiektu poruszającego się po prostej, dzielimy drogę, jaką przebył w określonym czasie, przez długość tego odcinka czasu:

gdzie oznacza drogę, jaką obserwowany obiekt przebył w czasie . Następnie spostrzegliśmy, że pomiar prędkości jest tym lepszy i bardziej adekwatny do stanu obiektu w określonej chwili, im odcinek czasu pomiędzy kolejnymi chwilami a jest krótszy. Granicę ilorazu

nazywamy prędkością chwilową lub - krótko - prędkością obiektu w chwili i tradycyjnie oznaczamy symbolem lub

to ostatnie oznaczenie pochodnej jest często stosowane w równaniach różniczkowych.

Niech będzie dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych określoną w przedziale otwartym .

Definicja 9.1.

Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie , jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego

Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem: lub . Funkcję , która argumentowi przyporządkowuje wartość pochodnej funkcji w punkcie nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną funkcji .

Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej jest zawsze podzbiorem dziedziny funkcji .

Uwaga 9.2.

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła. Skoro iloraz różnicowy ma granicę przy , to licznik musi zmierzać do zera, stąd jest

ciągła w punkcie .

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Przykład 9.3.

Rozważmy funkcję określoną na . Funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie . Natomiast nie jest różniczkowalna w jednym punkcie - w punkcie , gdyż

Funkcja jest więc różniczkowalna w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych z wyjątkiem punktu , gdyż nie istnieje granica ilorazu przy . W pozostałych punktach mamy , gdzie

oznacza funkcję signum (znak liczby). Dziedzina pochodnej jest podzbiorem właściwym dziedziny funkcji ,tj. (to znaczy: i ).

Zwróćmy uwagę, że iloraz różnicowy

jest równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej wykresu funkcji przechodzącej przez punkty oraz , jest równy tangensowi kąta, jaki sieczna ta tworzy z osią rzędnych. Gdy zmierza do zera, punkt zbliża się do punktu . Jeśli istnieje pochodna , to prostą o równaniu

będącą granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty oraz , nazywamy styczną do wykresu funkcji w punkcie . Pochodna jest więc współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

Nietrudno podać przykład funkcji ciągłej, która nie jest różniczkowalna w skończonej liczbie punktów, np. w punktach . Wystarczy bowiem rozważyć np. sumę

gdzie są stałymi różnymi od zera. Pochodna

istnieje w każdym punkcie zbioru , czyli wszędzie poza zbiorem .

Skonstruujmy funkcję, która jest ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru liczb rzeczywistych.

Przykład 9.4.

Rozważmy wpierw funkcję . Pamiętamy (zob. ćwiczenia do modułu drugiego), że funkcja ta jest określona na , parzysta, okresowa o okresie , przy czym dla zachodzi równość . Można wykazać, że funkcja określona za pomocą nieskończonego szeregu

jest określona na , parzysta i okresowa o okresie , ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru .

[Edytuj]

Twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych

W praktyce większość funkcji elementarnych, którymi posługujemy się, jest różniczkowalna. Wyznaczmy pochodne kilku z nich, posługując się definicją i znanymi wzorami.

Przykład 9.5.

a) Funkcja stała określona w przedziale jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału i ma pochodną równą zeru, gdyż iloraz różnicowy będąc stale równy zeru, zmierza do zera.

b) Jeśli jest stałą i istnieje , to istnieje pochodna iloczynu (innymi słowy: stałą można wyłączyć przed znak pochodnej). Mamy bowiem

przy .

c) Jednomian jest różniczkowalny w każdym punkcie i . Na mocy wzoru dwumianowego Newtona mamy bowiem

d) Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie , ponieważ iloraz różnicowy

zmierza do , gdyż oraz przy .

e) Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie , ponieważ iloraz różnicowy

zmierza do , gdyż oraz przy .

Zwróćmy uwagę, że dotychczas nie podaliśmy precyzyjnych definicji funkcji sinus oraz cosinus, bazując na własnościach tych funkcji, poznanych w szkole w oparciu o własności liczb , , gdy jest kątem trójkąta. W szczególności skorzystaliśmy ze znanego faktu, że istnieje granica . Formalnie istnienie tej granicy należy wykazać po podaniu definicji funkcji sinus.

Wykażemy teraz szereg prostych uwag, pozwalających efektywnie wyznaczać pochodną.

Twierdzenie 9.6.

Niech będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym . Niech . Jeśli istnieją pochodne oraz , to

Dowód 9.6.

a) Wobec założenia o istnieniu oraz iloraz różnicowy

- na mocy twierdzenia o granicy sumy - ma granicę i jest ona równa

b) Funkcja jest ciągła w punkcie , gdyż jest w tym punkcie różniczkowalna, więc . Wobec istnienia pochodnych oraz iloraz różnicowy

zmierza przy do granicy .

c) Jeśli tylko , to - wobec ciągłości funkcji w punkcie i istnienia - iloraz różnicowy

zmierza do granicy przy .

d) Zauważmy, że . Na podstawie wykazanego już twierdzenia o pochodnej iloczynu i pochodnej odwrotności istnieje pochodna

Zastosujmy powyższe twierdzenie do wyznaczenia pochodnych kolejnych funkcji elementarnych.

Przykład 9.7.

a) Pamiętając, że tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa, możemy łatwo wyznaczyć pochodną funkcji tangens:

b) W podobny sposób wyznaczamy pochodną funkcji cotangens:

c) Niech będzie funkcją wielomianową. Na mocy uwagi o pochodnej jednomianu i twierdzenia o pochodnej sumy w każdym punkcie zbioru istnieje pochodna

Niech i będą funkcjami takimi, że zbiór zawiera obraz przedziału przez funkcję .

Twierdzenie 9.8.

Jeśli istnieje pochodna i istnieje pochodna , gdzie , to istnieje pochodna złożenia i jest równa iloczynowi pochodnych, tzn.

Dowód 9.8.

Niech , gdzie . Wobec ciągłości funkcji w punkcie mamy zbieżność , gdy . Iloraz różnicowy

zmierza więc do

przy , gdyż , gdy , zaś , gdy .

Twierdzenie 9.9.

Niech będzie funkcją odwrotną do funkcji . Niech . Jeśli istnieje pochodna , to funkcja jest różniczkowalna w punkcie i zachodzi równość:

Dowód 9.9.

Niech i niech , . Funkcja jest ciągła w punkcie , gdyż jest w tym punkcie różniczkowalna, więc , gdy . Stąd istnieje granica ilorazu różnicowego

Przykład 9.10.

Funkcja jest odwrotna do funkcji , stąd - na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej - mamy

[Edytuj]

Pochodne funkcji określonych za pomocą szeregów potęgowych

Naturalnym uogólnieniem wielomianu (sumy skończonej ilości jednomianów) jest szereg potęgowy

o środku w punkcie i współczynnikach . Własności szeregów potęgowych omówimy szerzej w ramach analizy matematycznej 2, pomijamy więc w tej chwili szczegółowe dowody. Aby uprościć wypowiedzi potrzebnych twierdzeń, zakładamy, że istnieje granica (tj. skończona lub równa ).

Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów, można wykazać

Twierdzenie 9.11. [twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda]

Szereg potęgowy jest zbieżny w przedziale otwartym , gdzie

Jeśli , przyjmujemy ;

jeśli zaś , przyjmujemy .

Liczbę nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.

Można wykazać następujące

Twierdzenie 9.12.

Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału otwartego , gdzie jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Pochodną tej funkcji wyraża szereg potęgowy

Innymi słowy: szereg potęgowy można różniczkować wewnątrz przedziału, w którym jest zbieżny, a jego pochodną jest szereg pochodnych jego składników.

Zastosujmy twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego do wyznaczenia pochodnej funkcji wykładniczej oraz funkcji sinus i cosinus, które definiuje się za pomocą szeregów potęgowych.

Wniosek 9.13.

Funkcje

są różniczkowalne w każdym punkcie , przy czym

Dowód 9.13.

Promień zbieżności każdego z powyższych szeregów definiujących odpowiednio funkcje sinus i cosinus równy jest nieskończoności, ponieważ . Aby przekonać się o tym, możemy na przykład zastosować oszacowanie

z którego mamy

Na mocy twierdzenia o trzech ciągach istnieje więc granica .

Stąd w całym przedziale możemy stosować twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego i mamy

W podobny sposób dowodzimy dwóch pozostałych równości: oraz .

Oszacowanie

można wykazać indukcyjnie (szczegóły dowodu znajdują się np. w podręczniku Leona Jeśmianowicza i Jerzego Łosia Zbiór zadań z algebry, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, wyd.VII, Warszawa 1976). Uogólnieniem tego oszacowania jest

Twierdzenie 9.14. [twierdzenie Stirlinga]

Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba (zależna od wyboru liczby ) taka, że zachodzi równość

Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych czynnik , stąd

W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet przybliżeniem

lub (pamiętając, że ) oszacowaniem

, dla

które wykorzystaliśmy do wyznaczenia promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję .

[Edytuj]

Pochodna logarytmu

Funkcja jest odwrotna do funkcji . Stąd - na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej - mamy

Uwaga 9.15. [wzór na pochodną logarytmu naturalnego]

Zauważmy też, że pochodna , dla . Oznaczmy symbolem wartość bezwzględną liczby . Na mocy twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji mamy równość

Ogólnie:

Uwaga 9.16.

Jeśli jest funkcją różniczkowalną w punkcie i , to istnieje pochodna złożenia w punkcie i jest równa .

Przykład 9.17.

Mamy

a także

Wniosek 9.18.

Pochodną funkcji wyznaczymy, różniczkując złożenie iloczynu funkcji z funkcją wykładniczą .

Przykład 9.19.

a) Wyznaczmy pochodną funkcji wykładniczej o podstawie . Mamy , więc

czyli .

b) Wiemy już, że , gdy jest liczbą naturalną. Korzystając z równości jesteśmy także w stanie wykazać, że , gdy jest dowolną liczbą rzeczywistą. Mamy bowiem

[Edytuj]

Porównanie pochodnych funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych

Wprost z definicji funkcji hiperbolicznych, które poznaliśmy w drugim module, korzystając z faktu, że pochodna , wyprowadzamy

Wniosek 9.20.

Wzory na pochodne funkcji hiperbolicznych

Dowodząc dwóch ostatnich wzorów, skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz z tożsamości , zwanej jedynką hiperboliczną.

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej i powyższych wzorów, możemy łatwo wykazać, że

oraz

Szczegółowe obliczenia przeprowadzimy w ramach ćwiczeń.

Uwaga 9.21.

Otrzymane wzory warto zestawić i porównać ze wzorami określającymi pochodne funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych.

[Edytuj]

Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne

Niech będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i niech . Oznaczmy przez odległość punktów .

Definicja 9.22.

Mówimy, że funkcja osiąga maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie , jeśli istnieje pewne otoczenie punktu , w którym wartości funkcji są nie większe (odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji w punkcie , to znaczy

odpowiednio:

Jeśli ponadto w pewnym sąsiedztwie punktu funkcja przyjmuje wartości mniejsze (odpowiednio: większe) od wartości funkcji w punkcie , co zapisujemy:

odpowiednio:

to mówimy, że funkcja osiąga silne (ścisłe) maksimum lokalne (odpowiednio: silne (ścisłe) minimum lokalne) w punkcie . Jeśli (odpowiednio: ) - to znaczy: jeśli w punkcie funkcja osiąga kres górny wartości (odpowiednio: kres dolny wartości) w zbiorze , to mówimy, że funkcja osiąga w punkcie maksimum globalne (odpowiednio: minimum globalne). Minima i maksima lokalne (odpowiednio: minima i maksima globalne) nazywamy też krótko ekstremami lokalnymi (odpowiednio: ekstremami globalnymi) funkcji.

Przykład 9.23.

Funkcja zawężona do przedziału osiąga minimum lokalne w punkcie równe . Funkcja ta osiąga dwa maksima lokalne w punktach oraz równe odpowiednio: oraz . Kresem górnym wartości funkcji w przedziale jest liczba 4, stąd w punkcie funkcja osiąga maksimum globalne. Kresem dolnym wartości funkcji jest liczba zero, stąd w funkcja osiąga minimum globalne.

Z kolei zawężona do przedziału lewostronnie otwartego osiąga minimum globalne w punkcie , a w punkcie osiąga maksimum globalne. Nie osiąga ekstremum w punkcie , gdyż nie jest określona w tym punkcie.

Zawężenie funkcji do przedziału obustronnie otwartego osiąga minimum globalne w punkcie i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. W przedziale nie osiąga bowiem maksimum. Kres górny zbioru wartości funkcji w przedziale wynosi , kres ten nie jest realizowany przez żadną wartość funkcji, to znaczy nie istnieje argument taki, że .

Wykażemy teraz twierdzenie stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie, w którym jest ona różniczkowalna.

Niech będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu .

Twierdzenie 9.24.

Jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie i jest różniczkowalna w punkcie , to pochodna .

Dowód 9.24.

Załóżmy, że w punkcie funkcja osiąga maksimum lokalne. Wobec tego istnieje liczba taka, że dla mamy

natomiast dla mamy

Wobec istnienia pochodnej , istnieją granice powyższych ilorazów różnicowych

oraz

i muszą być równe. Stąd . W przypadku, gdy w punkcie funkcja osiąga minimum, rozumowanie przebiega podobnie.

Zwróćmy uwagę, że w twierdzeniu nie zakładaliśmy ciągłości funkcji w otoczeniu punktu . Pamiętamy, że z faktu istnienia pochodnej wynika ciągłość funkcji w punkcie .

Twierdzenie 9.25. [twierdzenie Rolle'a]

Niech będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału funkcja przyjmuje równe wartości , to istnieje punkt , w którym zeruje się pochodna funkcji .

Dowód 9.25.

Jeśli funkcja jest stała, to w każdym punkcie mamy . Jeśli natomiast nie jest stała, to z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że w pewnym punkcie funkcja osiąga kres górny lub kres dolny. Na podstawie poprzedniego twierdzenia pochodna w tym punkcie zeruje się, tj. .

Twierdzenie Rolle'a (zgodnie z interpretacją geometryczną pochodnej) orzeka, że jeśli funkcja różniczkowalna w przedziale przyjmuje na końcach przedziału (w którym jest ciągła) tę samą wartość, to między punktami i da się znaleźć punkt taki, że styczna do wykresu funkcji w punkcie jest pozioma, tj. równoległa do osi rzędnych.

Twierdzenie Rolle'a wymaga założenia o ciągłości funkcji w przedziale domkniętym i różniczkowalności we wszystkich punktach przedziału .

Przykład 9.26.

Funkcja

jest określona na przedziale domkniętym i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, gdyż

Stąd w żadnym punkcie przedziału pochodna nie zeruje się, mimo że na końcach tego przedziału funkcja przyjmuje takie same wartości: . Twierdzenie Rolle'a nie zachodzi w tym przypadku, funkcja nie jest bowiem ciągła w punkcie .

Przykład 9.27.

Funkcja jest ciągła w przedziale i na jego końcach osiąga równe wartości. Jest także różniczkowalna we wnętrzu tego przedziału z wyjątkiem tylko jednego punktu , w którym nie istnieje pochodna . Twierdzenia Rolle'a również w tym przypadku nie stosuje się, gdyż - jak pamiętamy - dla mamy

a więc nie ma w zbiorze takiego punktu, w którym zerowałaby się pochodna .

W szczególności nie istnieje styczna do wykresu funkcji w punkcie .

Dziedzina pochodnej jest zawsze podzbiorem dziedziny funkcji . Z twierdzenia 9.24. wynika, że jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie , to . Jednak funkcja może osiągać również ekstrema w tych punktach, w których nie istnieje pochodna, tzn. w punktach zbioru .

Definicja 9.28.

Niech . Mówimy, że punkt jest punktem krytycznym funkcji , jeśli funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie albo jest w tym punkcie różniczkowalna i pochodna . Zbiór punktów

nazywamy zbiorem punktów krytycznych funkcji .

Wiemy (zob. przykład 9.4.), że funkcja może nie być różniczkowalna w kilku punktach, a nawet w żadnym punkcie swojej dziedziny, mimo że jest ciągła. Badając przebieg zmienności funkcji, nie możemy więc zawężać poszukiwania punktów ekstremalnych wyłącznie do tych punktów, w których funkcja jest różniczkowalna.

Uwaga 9.29.

Jeśli funkcja osiąga ekstremum w pewnym punkcie, to punkt ten jest jej punktem krytycznym.

Dowód 9.29.

Funkcja może osiągać ekstremum w punkcie, który należy do dziedziny pochodnej albo do różnicy dziedziny funkcji i dziedziny jej pochodnej . W przypadku, gdy , na mocy twierdzenia 9.24. mamy

, punkt jest więc krytyczny. Z kolei, jeśli , to punkt jest krytyczny, z definicji 9.28..

Zauważmy, że powyższa uwaga doprecyzowywuje warunek konieczny istnienia ekstremum zawarty w twierdzeniu 9.24. w przypadku, gdy funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie, w którym osiąga ekstremum. Co więcej, funkcja może osiągać ekstremum w punkcie, w którym nie jest nawet ciągła (zob. przykład poniżej). Punkt taki - na mocy uwagi uwagi 9.2. - należy do zbioru , jest więc krytyczny.

Przykład 9.30.

a) Funkcja określona jest w zbiorze , a różniczkowalna w . Jedynym punktem krytycznym jest punkt , w którym osiąga minimum.

b) Funkcja

różni się od poprzedniej funkcji jedynie wartością w zerze, nie jest w tym punkcie ciągła. Pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny . Jedynym punktem krytycznym funkcji jest więc zero, w którym funkcja ta osiąga silne maksimum lokalne, gdyż dla mamy .

Przykład 9.31.

Funkcja zacieśniona do przedziału domkniętego jest różniczkowalna w przedziale otwartym . W każdym punkcie mamy . Stąd jedynymi punktami krytycznym są punkty , czyli końce przedziału domkniętego. W punkcie funkcja osiąga minimum , a w maksimum .

Przykład 9.32.

Funkcja określona jest na przedziale domkniętym , a jej pochodna istnieje w punktach przedziału otwartego . Pochodna zeruje się w punkcie . Stąd zbiór punktów krytycznych funkcji składa się z trzech punktów: . Funkcja osiąga w punkcie maksimum , a w dwóch pozostałych punktach krytycznych osiąga minima . Zwróćmy uwagę, że w obu tych punktach pochodna nie istnieje. Co więcej, granice jednostronne pochodnej :

są nieskończone.

Przykład 9.33.

Funkcja określona jest dla . Stąd Jej pochodna określona jest w sumie przedziałów otwartych . Zwróćmy uwagę, że pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny. Jednak zbiór punktów krytycznych funkcji zawiera dwa punkty: oraz , w których funkcja osiąga minima

W punktach zbioru funkcja nie musi osiągać ekstremum, co ilustrują kolejne przykłady.

Przykład 9.34.

Każdy punkt przedziału jest punktem krytycznym funkcji Dirichleta

gdyż nie jest ona różniczkowalna (ani nawet ciągła) w żadnym punkcie tego przedziału. Jednak w żadnym punkcie przedziału (ani w punkcie wymiernym, ani w niewymiernym) funkcja Dirichleta nie osiąga ekstremum, gdyż w dowolnie małym otoczeniu któregokolwiek punktu znajdziemy punkty wymierne i niewymierne, w których funkcja przyjmuje skrajnie różne wartości: albo jeden, albo zero.

Przykład 9.35.

Funkcja

określona jest dla wszystkich liczb rzeczywistych, stąd . Jej pochodna

nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny . Funkcja jest nieparzysta, ściśle rosnąca, nie osiąga więc ekstremum w żadnym punkcie swojej dziedziny, również w , mimo że jest to punkt krytyczny tej funkcji.

[Edytuj]

Twierdzenie o wartości średniej

Wnioskiem z twierdzenia Rolle'a jest następujące

Twierdzenie 9.36. [twierdzenie Cauchy'ego]

Niech będą funkcjami ciągłymi w przedziale domkniętym i różniczkowalnymi w przedziale otwartym . Wówczas istnieje punkt taki, że

Zwróćmy uwagę, że powyższą równość można zapisać w bardziej przejrzystej postaci (i łatwiejszej do zapamiętania):

o ile oraz . Twierdzenie Cauchy'ego głosi w tym przypadku, że istnieje wewnątrz przedziału punkt taki, że stosunek przyrostów wartości funkcji i między punktami i jest równy stosunkowi pochodnych tych funkcji w punkcie .

Dowód 9.36.

Rozważmy pomocniczo funkcję określoną dla . Funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym , różniczkowalna w przedziale otwartym o pochodnej równej

Ponadto . Na mocy twierdzenia Rolle'a istnieje więc taki punkt , w którym zeruje się pochodna , skąd wynika teza twierdzenia.

Jako wniosek z twierdzenia Cauchy'ego otrzymujemy

Twierdzenie 9.37. [twierdzenie Lagrange'a]

Jeśli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym i różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego , to istnieje punkt taki, że

Dowód 9.37.

Wystarczy w twierdzeniu Cauchy'ego podstawić Wówczas , oraz .

Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach (skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia można zapisać też następująco:

Innymi słowy: przyrost wartości funkcji odpowiadający przyrostowi argumentu funkcji od do równy jest iloczynowi przyrostu argumentu i wartości pochodnej funkcji w pewnym punkcie pośrednim leżącym między punktami i .

Pamiętamy, że interpretacją geometryczną ilorazu różnicowego jest współczynnik kierunkowy siecznej wykresu funkcji przechodzącej przez punkty i . Twierdzenie Lagrange'a orzeka więc, że między punktami i da się znaleźć taki punkt , że styczna do wykresu funkcji w punkcie jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty i .

Wnioskiem z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej jest twierdzenie, które wiąże monotoniczność funkcji ze znakiem pierwszej pochodnej.

Twierdzenie 9.38.

Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale .

a) Jeśli dla wszystkich , to jest rosnąca w przedziale .

a') Jeśli dla wszystkich , to jest ściśle rosnąca w przedziale .

b) Jeśli dla wszystkich , to jest stała w przedziale .

c) Jeśli dla wszystkich , to jest malejąca w przedziale .

c') Jeśli dla wszystkich , to jest ściśle malejąca w przedziale .

Dowód 9.38.

Dla dowolnych punktów z przedziału zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a potrafimy wskazać punkt taki, że . Z równości tej wynikają powyższe implikacje.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum w przypadku, gdy funkcja jest różniczkowalna.

Wniosek 9.39.

Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale . Jeśli w punkcie pochodna funkcji zeruje się (tj. ) oraz zmienia znak, to znaczy

a) jest dodatnia w przedziale i ujemna w ,

b) jest ujemna w przedziale i dodatnia w ,

to funkcja osiąga w punkcie ekstremum, odpowiednio:

a) minimum lokalne,

b) maksimum lokalne.

Dowód 9.39.

a) Na mocy poprzedniego twierdzenia funkcja jest ściśle rosnąca w przedziale i ściśle malejąca w przedziale , osiąga więc maksimum lokalne w punkcie . Dowód w przypadku b) jest podobny.

Zwróćmy uwagę, że nie potrzeba zakładać zerowania się pierwszej pochodnej funkcji w punkcie . Prawdziwy jest więc także

Wniosek 9.40.

Jeśli funkcja ciągła w przedziale jest różniczkowalna w przedziałach oraz , przy czym pochodna jest

a) dodatnia w przedziale i ujemna w ,

b) ujemna w przedziale i dodania w ,

to funkcja osiąga w punkcie ekstremum, odpowiednio:

a) minimum lokalne,

b) maksimum lokalne.

Przykład funkcji , która osiąga minimum w punkcie , a ma pochodną ujemną dla , a dodatnią dla i wcale nie ma pochodnej w punkcie , stanowi ilustrację ostatniego wniosku.

Przykład 9.41.

Pochodna funkcji wynosi

Stąd w przedziale , a w obu przedziałach oraz pochodna jest dodatnia. Na mocy wykazanego twierdzenia, funkcja jest ściśle rosnąca w przedziale , następnie maleje w przedziale i znowu rośnie w przedziale . Wobec tego w punkcie osiąga maksimum lokalne równe , a w punkcie minimum lokalne równe .

Uwaga 9.42.

Założenie, że pochodna (odpowiednio , itd) w każdym punkcie przedziału jest istotne.

a) Rozważmy funkcję: gdzie oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej , czyli największą liczbę całkowitą nie większą od . Wówczas jest różniczkowalna w zbiorze (czyli wszędzie poza zbiorem liczb całkowitych) i w zbiorze tym pochodna , mimo że funkcja jest rosnąca.

b) Funkcja jest różniczkowalna w zbiorze i w każdym punkcie tego zbioru jej pochodna . Jednak funkcja ta nie jest ściśle rosnąca w zbiorze . Jest natomiast ściśle rosnąca w każdym z przedziałów postaci , gdzie .

Podane funkcje są ciągłe poza zbiorem liczb całkowitych. Można jednak skonstruować przykład funkcji ciągłej, rosnącej o zerowej pochodnej w prawie każdym punkcie, to znaczy w każdym punkcie przedziału poza punktami trójkowego zbioru Cantora

Przypomnijmy, że zbiór ten rozważaliśmy w ramach pierwszego modułu.

Przykład 9.43.

Niech będzie dowolną liczbą z przedziału zapisaną w systemie trójkowym za pomocą ciągu cyfr . Niech będzie najmniejszą liczbą naturalną, dla której . Innymi słowy: niech będzie pozycją pierwszej jedynki w zapisie trójkowym liczby , licząc od przecinka pozycyjnego w prawo. Jeśli nie ma takiej liczby, przyjmujemy . Określmy ciąg

za pomocą którego definiujemy funkcję Cantora (zwaną także diabelskimi schodami) wzorem

Łatwo sprawdzić, że , , a na odcinkach, które usuwamy kolejno z przedziału podczas kolejnych etapów konstrukcji trójkowego zbioru Cantora, funkcja ta jest stała:

i tak dalej. Można wykazać, że funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie przedziału . Zauważmy, że funkcja Cantora jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru (tj. w każdym punkcie przedziału poza punktami trójkowego zbioru Cantora ). Pochodna funkcji Cantora jest w tych punktach równa zeru, a mimo to (co nietrudno zauważyć) funkcja

Cantora jest rosnąca (niemalejąca) w przedziale .

@@@@@@@@@@@@@@

Ćwiczenie 9.1.

Obliczyć pochodną funkcji (o ile istnieje)

a) , , , , ,

b) , , , , , ,

c) , , , ,

Wskazówka

a) Skorzystać z twierdzeń o pochodnej sumy, iloczynu, ilorazu funkcji oraz twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej.

b) Skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.

c) Skorzystać z następującej tożsamości

a następnie z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej.

d) Sprawdzić, czy istnieje pochodna podanej funkcji w zerze. W tym celu obliczyć granice i . Należy tu skorzystać z tego, że istnieje granica i jest równa zeru. Udowodnienie tego faktu wymaga na przykład zastosowania reguły de l'Hospitala, którą poznamy w module 11.

Rozwiązanie

a) Mamy

b) Wykażemy, że dla . Niech , wtedy . Funkcją odwrotną do jest . Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, otrzymujemy

ponieważ dla .

Wykażemy, że . Niech , wtedy . Funkcją odwrotną do jest

. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, otrzymujemy

ponieważ .

Wykażemy, że . Niech , wtedy . Funkcją odwrotną do

jest . Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, otrzymujemy

ponieważ .

Wykażemy, że dla . Niech , wtedy . Funkcją odwrotną do

jest . Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, otrzymujemy

ponieważ .

Wykażemy, że dla . Niech , wtedy . Funkcją odwrotną do jest . Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, otrzymujemy

ponieważ .

Wykażemy, że dla . Niech , wtedy . Funkcją odwrotną do jest . Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, otrzymujemy

ponieważ .

c) Mamy

d) Zauważmy, że dla pochodna . Ponadto dla mamy

Pozostaje nam wykazać istnienie pochodnej w punkcie . Obliczmy granice prawo i lewostronne ilorazu różnicowego. Mamy

oraz (podstawiając )

Wynika z tego, że istnieje granica ilorazu różnicowego, czyli funkcja ma pochodną .

Ćwiczenie 9.2.

Dla jakich wartości parametrów funkcja

ma pochodną na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Wskazówka

Najpierw sprawdzić, kiedy podana funkcja jest ciągła. Istnienie pochodnej sprawdzić jak w ćwiczenieu 9.1. d).

Rozwiązanie

Jest oczywiste, że funkcja ma pochodną dla . Pozostaje do sprawdzenia istnienie pochodnej w punkcie . Funkcja posiadająca pochodną jest w szczególności ciągła, czyli , co daje nam pierwszy warunek, który muszą spełniać parametry a i b

Obliczmy granice prawo- i lewostronną ilorazu różnicowego. Mamy

oraz

czyli . Stąd dostajemy, że .

Ćwiczenie 9.3.

Znaleźć

a) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie ,

b) równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie

c) kąt pod jakim przecinają się funkcje i w punkcie .

Wskazówka

a), b) Jaka jest interpretacja geometryczna pochodnej?

c) Kąt pod jakim przecinają się dwie funkcje to kąt przecięcia się stycznych do tych funkcji.

Rozwiązanie

a) Obliczmy pochodną funkcji . Otrzymujemy . W szczególności . W związku z tym równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie ma postać , czyli .

b) Obliczmy pochodną funkcji . Otrzymujemy . W szczególności . W związku z tym równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie ma postać , czyli .

c) Obliczmy pochodną funkcji i pochodną funkcji . Otrzymujemy
i . W szczególności i . Korzystając ze wzoru na tangens różnicy kątów

dostajemy, że tangens kąta pod jakim przecinają się te funkcje w punkcie wynosi

Stąd otrzymujemy, że krzywe te przecinają się pod kątem .

Ćwiczenie 9.4.

Zbadać monotoniczność funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) .

Wskazówka

Wykorzystać związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji.

Rozwiązanie

Obliczmy pochodną funkcji . Mamy

dla dowolnego , czyli funkcja jest rosnąca w przedziale i w przedziale .

b) Obliczmy pochodną funkcji . Mamy

Zauważmy, że w zbiorze , czyli funkcja jest malejąca w przedziale i w przedziale . Mamy również w zbiorze , czyli funkcja jest rosnąca w przedziale i przedziale .

c) Obliczmy pochodną funkcji . Mamy

Zauważmy, że w zbiorze , czyli funkcja jest tam malejąca. Mamy również w zbiorze , czyli funkcja jest tam rosnąca.

d) Obliczmy pochodną funkcji . Mamy

Zauważmy, że w zbiorze , czyli funkcja jest malejąca w przedziale i w przedziale . Mamy również w zbiorze , czyli funkcja jest rosnąca w przedziale
i w przedziale .

Ćwiczenie 9.5.

a) Wykazać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

b) Wykazać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

c) Wykazać, że jeśli wielomian stopnia ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych, to jego pochodna ma (licząc z krotnościami) pierwiastków rzeczywistych.

Wskazówka

a), b) By udowodnić istnienie miejsca zerowego, skorzystać z własności Darboux. W celu wykazania jego jedyności zbadać monotoniczność odpowiedniej funkcji.

c) Skorzystać z twierdzenia Rolle'a.

Rozwiązanie

a) Niech . Na początek zauważmy, iż oraz . Z własności Darboux wynika, że istnieje punkt taki, że . Ponadto zauważmy, że pochodna funkcji jest nieujemna, czyli funkcja jest rosnąca. Stąd wynika, że nie może istnieć inny pierwiastek równania .

b) Niech . Na początek zauważmy, iż oraz . Z własności Darboux wynika, że istnieje punkt taki, że . Ponadto zauważmy, że pochodna funkcji jest ujemna, czyli funkcja jest (ściśle) malejąca. Stąd wynika, że nie może istnieć inny pierwiastek równania .

c) Jeśli są kolejnymi pierwiastkami wielomianu , to z twierdzenia Rolle'a wynika, że istnieje punkt taki, że . Tak więc pomiędzy kolejnymi pierwiastkami wielomianu leży pierwiastek pochodnej tego wielomianu. Ponadto jeżeli jest pierwiastkiem -krotnym wielomianu , to jest pierwiastkiem -krotnym pochodnej wielomianu . Z powyższego rozumowania wynika, iż pochodna ma pierwiastków rzeczywistych.

Ćwiczenie 9.6.

Wykazać, że funkcja dana wzorem

gdzie , jest ciągła w każdym punkcie, ale nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie osi rzeczywistej.

Wskazówka

Funkcja jest zdefiniowana szeregiem funkcyjnym. W celu wykazania ciągłości funkcji sprawdzić, czy szereg ten jest jednostajnie zbieżny. Aby udowodnić, że nie ma pochodnej, wystarczy zauważyć, że jest okresowa oraz wykorzystać fakt, że dla zachodzi równość . W jakich punktach sumy częściowe szeregu definiującego funkcję nie mają pochodnej?

Rozwiązanie

Nasza funkcja jest dana szeregiem

gdzie . Zauważmy, że skoro , to

Powyższy szereg jest więc jednostajnie zbieżny, czyli funkcja jako jego suma jest ciągła.

Teraz wykażemy, że nie ma pochodnej w żadnym punkcie. Na początek zauważmy, że skoro jest funkcją okresową o okresie , to też jest funkcją okresową o okresie . Z tego wynika, że wystarczy ograniczyć nasze rozważania do przedziału . Przez oznaczmy -tą sumę częściową naszego szeregu. Wtedy

jest funkcją, która nie ma pochodnej w punkcie , bo funkcja nie ma pochodnej w punkcie . Dalej mamy

Funkcja jest funkcją okresową o okresie . Korzystając z równości dla
, wnioskujemy, że nie ma pochodnej w punktach .Ogólnie jest funkcją okresową o okresie , więc

nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru

Zobacz rysunek poniżej.

Tak więc funkcja na pewno nie ma pochodnej w żadnym punkcie zbioru

Zwróćmy uwagę na fakt, że zbiór jest gęsty na odcinku

, tzn. .

Teraz weźmy dowolny punkt . Wykażemy, że nie ma pochodnej w punkcie . Zwróćmy uwagę, że funkcja jest parzysta, bo jest funkcją parzystą. Możemy więc założyć bez straty ogólności, że . Zauważmy również, że dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba całkowita taka, że