1.Ciało liczbowe- zbiór liczb zawierający więcej niż 1 liczbę i taki, że wykonalne są wszystkie 4 działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 nazywamy ciałem liczbowym. Q (quotient) - zbiór liczb wymiernych jest ciałem R (real) - zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem. Zbiór wszystkich liczb w postaci
,
jest ciałem liczbowym (ogólnie
). Niech D będzie wymierne dodatnie, nie będące kwadratem liczby wymiernej. Zbiór liczb w postaci
,
jest ciałem liczbowym. Każde ciało liczbowe zawiera ciało Q (
).

2.Niech Z_p={0,1,2,... , p-1}, p jest liczbą pierwszą w zbiorze Z_p. Określamy działania:
reszta z dzielenia sumy a+b przez p
reszta z dzielenia iloczynu ab przez p.

3.Szukamy ciała C takiego że: 1) ciało C zawiera ciało R; 2) równanie z²=-1 ma w ciele C przynajmniej jedno rozwiązanie; 3) ciało C jest najmniejszym ciałem spełniającym warunki 1), 2). Konstrukcja metodą Hamiltona: Rozpatrujemy zbiór ; Określamy działania:
oraz
4. Własności liczb zespolonych: z=a+bi, gdzie a - część rzeczywista (Real) [a=Re z], b - część urojona (Imagine) [b=Im z] Mnożenie: (2+3i)*(-4+2i)= -8+4i-12i+6i²= -8-6-8i= -14-8i. Dzielenie (mnożymy przez liczbę sprzężoną):
. Jeśli z jest wektorem, to ma długość, kierunek i zwrot. Długość wynosi
i nazywamy ją modułem bądź wartością bezwzględną liczby zespolonej z i oznaczamy |z|. Kierunek i zwrot wektora z=a+bi można określić, podając miarę ϕ kąta skierowanego, którego pierwszym ramieniem jest półoś rzeczywista dodatnia, a druga ramieniem - wektor z. Tę miarę nazwiemy argumentem liczby z.

5. Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej nazywamy taką liczbę w, że wⁿ=z, takich liczb jest dokładnie n wyjątkiem jest 0 gdyż ma tylko jeden pierwiastek. Każda liczba zespolona z=a+bi≠0 ma dwa różne pierwiastki drugiego stopnia, określone wzorami:

Liczba z=|z|(cosϕ+isinϕ)≠0 ma dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia. Określone są wzorem

6.Równanie algebraiczne stopnia n (zasadnicze twierdzenie algebry) o współczynnikach zespolonych ma w ciele liczb zespolonych dokładnie n pierwiastków (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

---