Na dzisiejszych zajęciach zajmiemy się zmiennymi losowymi. I na początek taka definicja. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję
okreslona wzorem

Oto własności dystrybuanty:

1. F jest funkcją niemalejącą

2. F jest funkcją lewostronnie ciągłą

3. 
   

Powyższe trzy własności decydują o tym, czy funkcja jest dystrybuantą. Istnieje jeszcze jednak kilka innych właściwości. A mianowicie:

4. Dystrybuanta zmiennej losowej wyznacza jednoznacznie jej rozkład

5. 
   

6. P(X = a) = F(
   ) - F(a), gdzie F(
   ) oznacza granicę prawostronną (jeśli a jest punktem ciągłości dystrybuanty to P(X = a) = 0).

Popatrzmy na przykład, jakie funkcje są dystrybuantami, a jakie nie są. Najpierw zaczniemy od tych, które nimi są:

Istnieje pewna kalsyfikacja zmiennych losowych.

Wyróżniamy zamienną losową skokową,

ciągłą, osobliwa i mieszaną będącą

połączeniemskokowej i ciągłej.

Osobliwą zajmowac się nie będziemy.

Zmienna lodowa jest skokowa (dyskretna),

jeśli zbiór wszystkich jej wartości jest

skończony lub przeliczalny. Rozkład zmiennej

losowej skokowej często okreslamy za pomocą funkcji

prawdopodobieństwa:
(własność:
. Liczby
nazywamy skokami, a wartości
- punktami skokowymi. Oto, jak wyglada ta funkcja w postaci tabelki:

			…
			…

Suma skoków musi równac się 1. Znając funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej, można wyznaczyć jej dystrybuantę:
, oraz jej rozkład prawdopodobieństwa:
.

Spójrzmy na nastepujący przykład:

Zmienna losowa X o dystrybuancie F jest ciągła, jeśli jej dystrybuanta da się przedstawić w postaci:

gdzie f jest funkcją spełniającą warunki:

i nazywamy ją gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

Teraz jakie mamy własności zmiennej losowej ciągłej:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. P(X = a) = 0 dla dowolnego a należącego do zbioru liczb rzeczywistych (brak punktów skokowych).

5. F jest funkcją ciągłą i prawie wszędzie różniczkowalną F(x) = f(x) (równość zachodzi dla punktów ciągłości gęstości)

No i popatrzmy na taki przykład. Mamy dane
. I tak:

I teraz przejdźmy do kolejnego tematu, a mianowicie do parametrów zmiennej losowej jednowymiarowej. Wartości rozkładu zmiennej losowej często charakteryzujemy jej parametrami. Jednym z nich jest wartośc oczekiwana. Oznaczamy ja EX lub m. Dla zmiennej losowej skokowej przyjmuje ona postać:
jeśli ewentualny szereg zbieżny bezwzglednie, to takie szeregi sa odporne na przykład na zmianę kolejności wyrazów. Dla zmiennej losowej ciągłej:
jeśli ewentualna całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie. Popatrzmy na taki przykład. Dla zmiennej losowej o funkcji prawdopodobieństwa:

EX = -0,2 + 1,2 + 0,6 = 1,6. Graficznie interpretacja wyglada tak:

I spójrzmy na kolejny z przykładów. Dla znmiennej losowej o gęstości:

Oto podstawowe cztery własności wartości oczekiwanej:

1. Ec = c, gdzie c to stała

2. E(aX) = aE(X)

3. E(X+Y) = EX + EY

4. Jeśli X, Y są niezależne, to E(XY) = EX * EY

Ponadto jeśli Y = g(x), to EY =

Miarą rozrzutu wartości zmiennej losowej jest wariancja. Oznaczamy ją jako:
. Wyrazona jest wzorem
.

Dla zmiennej losowej skokowej:
, a dla zmiennej losowej ciągłej:
.

Mamy pięć własności wariancji:

Uzasadnijmy przypadek e:

I na koniec jeśli rozrzut wartości zmiennej losowej chcemy mierzyć w tych samych jednostkach, co X, to stosujemy odchylenie standardowe oznaczane DX, lub
. Okreslamy je wzorem:
.

x

<a,b)

F(a)

F(b)

F(b) - f(a)

1

- 0,5

Natomiast na nastepnej stronie widoczne są funkcje nie będące dystrybuantami :

0

1

0,5

0,5

1

0,5

-1 1 -1 1

1

1

1

1

Wzór na pewna część pola figury z powyższego rysunku

2

f(x)

1

x

F(x)

1

---