USTALANIE NIEZBĘDNEJ

LICZBY OBSERWACJI

PRZYPADEK

1.

Najprostszy

przypadek

określenia

niezbędnej

liczby obserwacji dla wyznaczenia
poszukiwanej wartości na założonym
poziomie ufności (1-α) występuje
wówczas, gdy znane jest odchylenie
standardowe σ dla zastosowanej
metody pomiaru. Wówczas długość
dopuszczalnej odchyłki d od wartości
średniej (dopuszczalny błąd wartości
średniej) obliczymy z zależności

skąd

(1)

-

współczynnik, który po pomnożeniu go przez

wyznacza
granicę nieprzekroczenia dopuszczalnego błędu
d przy zadanym
poziomie ufności (1-α),
- odchylenie standardowe.

PRZYKŁAD do przypadku 1

Założenie:

znane jest odchylenie

standardowe pojedynczego pomiaru czasu
wykonywania danej czynności roboczej
wynoszące σ = ±30 s.

Pytanie:

Ile należy wykonać pomiarów aby

oszacować czas wykonywanej czynności z
dokładnością d = ±20 s przy poziomie
ufności (1-α) = 0,95.

Zgodnie z zależnością

otrzymujemy:

PRZYPADEK

2.

Nie

jest

znane

odchylenie standardowe σ dla przyjętej
metody pomiaru. Z tego względu
należy

je

określić

ze

wstępnie

przeprowadzonej

próbnej

serii

pomiarów,

np.

o

liczności

n

o

(oznaczymy je ). Współczynnik ,
wyznaczający granicę nieprzekroczenia
błędu dopuszczalnego przy zadanym
poziomie ufności (1-α), określa się na
podstawie tablic, np. Studenta.
Dopuszczalny błąd wyniku wyznacza
zależność

skąd:

(2)

Jeżeli znalezione z tej zależności n > n

o

to należy dodatkowo

zaobserwować (n – n

o

) danych.

DOTĄD ZROBIŁEM 17.03.2014

PRZYKŁAD do przypadku 2

Założenie:

nie jest znane odchylenie

standardowe

σ

wykonywania

pojedynczego pomiaru czasu danej
czynności roboczej.

Pytanie:

Ile należy wykonać pomiarów

aby

oszacować

średni

czas

wykonywania badanej czynności z
błędem nie większym niż 3s przy
poziomie ufności wynoszącym (1-α) =
0,95.

Z treści zadania wynika, że
mamy do czynienia z
jednostronnym

obszarem

krytycznym, gdyż błąd mniejszy od
3s wolno nam popełnić, a jedynie
nie wolno popełnić błędu większego
od 3s.

Zgodnie

z

procedurą

określoną

zależnością (2)

należy w pierwszej kolejności określić
odchylenie

standardowe

S

pojedynczego

pomiaru

ustalonym

sprzętem. W tym celu posiadanym
chronometrem

wykonano

próbny

pomiar, z którego wyniki w
sekundach zawiera poniższa macierz:
x

i

≡ │ 210; 212; 212; 216;

210 │

Odchylenie standardowe oblicza się z
zależności

lub

Wybieramy

Odchylenie standardowe jest
definiowane jako pierwiastek z
wariancji, zatem poszukiwane S

2

jest

wariancją zmiennej losowej, którą
jest wynik pomiaru. Jej obliczenie
daje wynik.

 odchylenia od średniej, ich
kwadraty i sumy:
X-x ≡ │ +2; 0; 0;
-4; +2 │ = 0
(X-x)

2

≡ │ 4; 0; 0;

16; 4 │ = 24

 wartość średnia: X = 212

gdyż wzór ten odnosi się do „małej
próby”.

skąd wariancja (kwadrat odchylenia
standardowego) pojedynczej
obserwacji S

2

= 6

Z kolei, z tablicy do
wyznaczania obszaru krytycznego
dla testów statystycznych opartych
na

rozkładzie

t-Studenta,

przy

uwzględnieniu obszaru krytycznego
jednostronnego i czterech stopni
swobody, wypisujemy t

α

= 2,13185

kwantyl

rozkładu

0.9

0.95

0.975

0.98

0.99

0.995

0.999

0.9995

obszar

krytyczny
jednostro

nny,

0.1

0.05

0.025

0.02

0.01

0.005

0.001

0.0005

obszar

krytyczny

dwustron

ny

0.2

0.1

0.05

0.04

0.02

0.01

0.002

0.001

n=1

3.07768 6.31375 12.7062 15.8945 31.8205 63.6568 318.306 636.627

2

1.88562 2.91999 4.30265 4.84873 6.96456 9.92484 22.3272 31.5990

3

1.63774 2.35336 3.18245 3.48191 4.54070 5.84091 10.2145 12.9240

4

1.53321 2.13185 2.77644 2.99853 3.74695 4.60409 7.17318 8.61031

5

1.47588 2.01505 2.57058 2.75651 3.36493 4.03214 5.89344 6.86884

6

1.43976 1.94318 2.44691 2.61224 3.14267 3.70743 5.20763 5.95880

7

1.41492 1.89458 2.36462 2.51675 2.99795 3.49948 4.78528 5.40787

8

1.39682 1.85955 2.30600 2.44898 2.89646 3.35539 4.50079 5.04130

9

1.38303 1.83311 2.26216 2.39844 2.82144 3.24984 4.29681 4.78092

10

1.37218 1.81246 2.22814 2.35931 2.76377 3.16927 4.14370 4.58691

Tablica t

α

do wyznaczania obszaru krytycznego dla

testów statystycznych opartych na rozkładzie t-Studenta
o danej liczbie n stopni swobody.

skąd wariancja (kwadrat odchylenia
standardowego) pojedynczej
obserwacji S

2

= 6

Z kolei, z tablicy do
wyznaczania obszaru krytycznego
dla testów statystycznych opartych
na

rozkładzie

t-Studenta,

przy

uwzględnieniu obszaru krytycznego
jednostronnego i czterech stopni
swobody, wypisujemy t

α

= 2,13185

Podstawiając te dane do
zależności (2)
, otrzymujemy n = 3
+ 1 = 4.
Odpowiedź: wystarczą cztery
obserwacje (pomiary).

Dziękuję

Tablica do wyznaczania obszaru krytycznego dla testów statystycznych opartych na rozkładzie t-Studenta o danej liczbie n stopni swobody.

kwantyl

rozkładu

0.9

0.95

0.975

0.98

0.99

0.995

0.999

0.9995

n=1

3.07768 6.31375 12.7062 15.8945 31.8205 63.6568 318.306 636.627

2

1.88562 2.91999 4.30265 4.84873 6.96456 9.92484 22.3272 31.5990

3

1.63774 2.35336 3.18245 3.48191 4.54070 5.84091 10.2145 12.9240

4

1.53321 2.13185 2.77644 2.99853 3.74695 4.60409 7.17318 8.61031

5

1.47588 2.01505 2.57058 2.75651 3.36493 4.03214 5.89344 6.86884

6

1.43976 1.94318 2.44691 2.61224 3.14267 3.70743 5.20763 5.95880

7

1.41492 1.89458 2.36462 2.51675 2.99795 3.49948 4.78528 5.40787

8

1.39682 1.85955 2.30600 2.44898 2.89646 3.35539 4.50079 5.04130

9

1.38303 1.83311 2.26216 2.39844 2.82144 3.24984 4.29681 4.78092

10

1.37218 1.81246 2.22814 2.35931 2.76377 3.16927 4.14370 4.58691