Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy statystyczne

Definicja, sformułowanie i

weryfikacja

Autor: Janusz Górczyński

2

Definicja

Hipotezą statystyczną jest dowolne zdanie orzekające o
parametrach populacji lub jej rozkładzie. Prawdziwość
hipotezy jest oceniana na podstawie wyników próby
losowej.

Hipoteza statystyczna może orzekać o parametrach
populacji i takie hipotezy nazywamy hipotezami
parametrycznymi.

Pozostałe hipotezy statystyczne (te, które nie dotyczą
parametrów), nazywamy hipotezami
nieparametrycznymi.

Autor: Janusz Górczyński

3

Hipotezy parametryczne

Przykład 1.
Interesuje nas wydajność pracy pracowników
pewnego zakładu produkcyjnego. Zakładamy, że
modelem tej cechy może być zmienna losowa
normalna o nieznanych parametrach m i .
Przypuszczamy,

że

średnia

wydajność

(w populacji) jest równa znanej wartości m

0

.

Tym

samym

sformułowaliśmy

hipotezę

statystyczną dotyczącą parametru m:

H m m

0

0

: 

Autor: Janusz Górczyński

4

Hipotezy nieparametryczne

Przykład 2.
W poprzednim przykładzie założyliśmy, że
interesująca nas cecha (wydajność pracy
pracowników) może być modelowana zmienną
losową normalną. Możemy więc sformułować
hipotezę dotyczącą rozkładu tej cechy:

H X

N m

0

: ~ ( ; )



Autor: Janusz Górczyński

5

Weryfikacja hipotezy

Hipoteza statystyczna musi być na podstawie
wyników próby zweryfikowana.
Testem

statystycznym

nazywamy

regułę

postępowania, która każdej możliwej próbie
przyporządkowuje decyzję odrzucenia hipotezy lub
nie daje podstaw do podjęcia takiej decyzji.
Proces weryfikacji hipotezy statystycznej obejmuje
z jednej strony jej sformułowanie (jako tzw.
hipotezy zerowej), z drugiej strony musimy
sformułować hipotezę alternatywną oznaczaną z
reguły symbolem H

1

.

Autor: Janusz Górczyński

6

Weryfikacja hipotez
statystycznych

H m m H m m

0

0

1

0

:

:





Rozpatrzmy hipotezę parametryczną z
przykładu 1, gdzie wypowiadaliśmy się o
możliwej wartości średniej generalnej.
Odpowiednią hipotezę zerową i alternatywną
możemy zapisać jako:

Na podstawie wyników próby losowej chcemy
teraz skonstruować taki test statystyczny, który
da możliwość podjęcia decyzji co do
prawdziwości hipotezy zerowej.

Autor: Janusz Górczyński

7

Weryfikacja hipotez
statystycznych (c.d.)

x

s

m

x

t

0





x m





0

0

x m

 

Przy konstrukcji testu skorzystamy z faktu, że
statystyka:

ma, przy prawdziwości H

0

:m=m

0

, rozkład t-

Studenta z liczbą stopni swobody v = n - 1.
Załóżmy, że H

0

:m=m

0

jest prawdziwa.

Jeżeli tak, to m



m

0

= 0 oraz

(ponieważ ). Tym samym wartość
statystyki t powinna niewiele odbiegać od zera
(jeżeli H

0

jest prawdziwa).

Autor: Janusz Górczyński

8

Weryfikacja hipotez
statystycznych (c.d.)

m m



0

x

s

m

x

t

0





P t t

v

(

)

,









t

v



,

W sytuacji, gdy wartości statystyki t będą
odbiegać od zera dość znacznie, to powinniśmy
zacząć wątpić w prawdziwość naszego założenia
(o tym, że ).

Pozostaje do rozstrzygnięcia kwestia, kiedy
można uznać, że wyniki naszej próby świadczą
przeciwko prawdziwości hipo-tezy zerowej.
Wykorzystamy do tego celu fakt, że dla każdego

znajdziemy taką wartość , dla której
spełniona jest równość

Autor: Janusz Górczyński

9

Weryfikacja hipotez
statystycznych (c.d.)

t

v



,

(

;

) (

;

)

,

,

  



 

t

t

v

v





(

;

)

,

,

 t

t

v

v





Tym samym wartość wyznacza nam
obszar krytyczny dla naszej hipotezy H

0

:

Jeżeli wartość empiryczna statystyki t znajdzie
się w tym obszarze, to H

0

musimy odrzucić

jako zbyt mało prawdopodobną.

Obszar jest obszarem
dopuszczalnym dla H

0 ,

mówimy, że wyniki naszej

próby nie przeczą hipotezie zerowej. Proszę
zauważyć, że nie jest to równoważne zdaniu, że
hipoteza zerowa jest prawdziwa! (my jej tylko nie
możemy odrzucić).

Autor: Janusz Górczyński

10

Błędy weryfikacji

Wyniki próby mogą być takie, że uznamy za fałszywą i
odrzucimy hipotezę H

0

, która w rzeczywistości jest

prawdziwa. Jest to tzw. błąd I rodzaju, a prawdopodo-
bieństwo jego popełnienia jest równe .
Możliwa jest także sytuacja odwrotna: wyniki próby
nie pozwoliły na odrzucenie H

0

, która w rzeczywistości

była fałszywa. Popełniamy wtedy tzw. błąd II rodzaju,
a jego prawdopodobieństwo jest równe .
Zwiększenie liczebności próby powoduje zmniejszenie
prawdopodobieństwa .

Autor: Janusz Górczyński

11

Błędy weryfikacji
cd.

Brak podstaw

do odrzucenia

H

0

Odrzucenie

H

0

H

0

prawdziwa

P-stwo

P-stwo
Błąd I rodzaju

H

0

fałszywa

P-stwo
Błąd II rodzaju

P-stwo
Moc testu





1









1

Autor: Janusz Górczyński

12

Hipoteza o średniej
generalnej m

H m m

0

0

: 

H m m

1

0

: 

t

v n



,   1

Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny o
nieznanych parametrach

m

i



.

Na podstawie n-

elementowej próby losowej chcemy zweryfikować

hipotezę zerową

wobec alternatywy

Procedura testowa:

1. Ustalamy poziom istotności 

2. Obliczamy wartość empiryczną statystyki t-

Studenta

3. Odczytujemy z tablic statystycznych wartość

krytyczną statystyki

x

emp

S

m

x

t

0

.





Autor: Janusz Górczyński

13

Hipoteza o średniej
generalnej m (c.d)

Wnioskowanie:
Jeżeli , to H

0

odrzucamy na

korzyść H

1

.

Jeżeli , to nie mamy podstaw do
odrzucenia H

0

.

t

t

emp

v

.

,





t

t

emp

v

.

,





Autor: Janusz Górczyński

14

Hipoteza o średniej
generalnej m (c.d.)

H m m

0

0

: 

H m m

0

0

: 

H m m

1

0

: 

H m m

1

0

: 

H m m

1

0

: 

H m m

1

0

: 

(

,

)

,

   t

v

2



(

,

)

,

t

v

2



 

t

t

emp

v

 

2



,

t

t

emp

v



2



,

Hipoteza może być także

weryfikowana przy inaczej skonstruowanej

hipotezie alternatywnej ( lub

). Procedura weryfikacyjna przebiega

podobnie, zmienia się tylko obszar krytyczny:

Hipoteza
zerowa

Alternatywa
(jednostronna)

Obszar krytyczny

H

0

odrzucamy,

jeżeli:

Autor: Janusz Górczyński

15

Hipoteza o równości dwóch
średnich generalnych

Procedura testowa:
1. Ustalamy poziom istotności 
2. Obliczamy wartość empiryczną statystyki t-
Studenta

3. Odczytujemy z tablic statystycznych wartość
krytyczną statystyki

X

N m

1

1

~ ( ; )



X

N m

2

2

~ ( ; )



H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



t

x x

s

emp

r

.





1

2

t

v n n



,   

1

2

2

Niech oraz . Na

podstawie odpowiednich prób losowych chcemy

zweryfikować hipotezę:
wobec

Autor: Janusz Górczyński

16

Hipoteza o równości dwóch
średnich generalnych (c.d.)

Wnioskowanie o prawdziwości
wobec

Jeżeli , to H

0

odrzucamy jako zbyt mało

prawdopodobną.

Jeżeli , to nie mamy podstaw do

odrzucenia H

0

.

H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



t

t

emp

v

.

,





t

t

emp

v

.

,





Autor: Janusz Górczyński

17

Hipoteza o różnicy średnich
generalnych (c.d.)

Niech oraz . Na
podstawie odpowiednich prób losowych chcemy
zweryfikować hipotezę:
Hipoteza alternatywna może być jednostronna (
lub )
Procedura

testowa

przebiega

podobnie

jak

poprzednio,

zmieniają

się

jedynie

obszary

krytyczne.
Hipoteza zerowa Hipotezy alternatywne

Obszar krytyczny

X

N m

1

1

~ ( ; )



X

N m

2

2

~ ( ; )



H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



H m m

1

1

2

:



H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



H m m

1

1

2

:



(

,

)

,

   t

v

2



(

,

)

,

t

v

2



 

Autor: Janusz Górczyński

18

Inny sposób weryfikacji hipotezy
o równości średnich. NIR

Hipoteza

przy

jest odrzucana wtedy, gdy

:

Iloczyn nazywamy najmniejszą
istotną różnicą (least significant difference) i
oznaczamy skrótem NIR (LSD).

H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



t

t

emp

v

.

,





x x

s

t

x x

s

t

x x

t s

r

v

r

v

v r

1

2

1

2

1

2























,

,

,

t s

v r



,

Autor: Janusz Górczyński

19

Najmniejsza istotna różnica

Hipotezę

przy alternatywie

będziemy odrzucać wtedy, gdy:

NIR (LSD) jest taką różnicą wartości danej cechy
w dwóch populacjach, którą jeszcze można uznać
za losową (przypadkową).
Różnice większe od NIR są już spowodowane
własnościami danych populacji (nie są
przypadkowe).

H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



x

x

NIR

1

2





Autor: Janusz Górczyński

20

Test istotności dla frakcji

Niech zmienna X ma w populacji rozkład zero-

jedynkowy z prawdopodobieństwem sukcesu p.

Parametr ten można interpretować jako wskaźnik

struktury w populacji.
Interesuje nas weryfikacja hipotezy

zerowej:

wobec
Procedura weryfikacyjna wykorzystuje rozkład N(0, 1):

1. Obliczamy gdzie

2. H

0

odrzucamy, jeżeli

H p p

0

0

: 

H p p

1

0

: 

z

p p

p

p

n

emp.



(

)







0

1

p

k
n



z

z

emp.





Autor: Janusz Górczyński

21

Test istotności dla różnicy
frakcji

Rozważmy dwie zmienne zero-jedynkowe z

parametrami odpowiednio p

1

i p

2

. Interesuje nas

weryfikacja przy alternatywie

.

Niech oraz oznaczają odpowiednio
frakcje elementów wyróżnionych w obu próbach.

Wiadomo, że

Jeżeli jest prawdziwa, to

gdzie p oznacza wspólną wartość dla obu zmiennych.

H p

p

0

1

2

:



H p

p

1

1

2

:



p

k
n

1

1

1



p

k

n

2

2

2





 ~

;

(

)

(

)

p

p

N p

p

p

p

n

p

p

n

1

2

1

2

1

1

1

2

2

2

1

1





















H p

p

p

0

1

2

:







 ~

; (

)

p

p

N

p

p

n

n

1

2

1

2

0

1

1

1



























Autor: Janusz Górczyński

22

Test istotności dla różnicy frakcji
(c.d.)

Jako ocenę wspólnego prawdopodobieństwa sukcesu

dla obu zmiennych przyjmuje się wyrażenie:

Ostatecznie statystyka

ma rozkład N(0, 1).
Hipotezę przy

odrzucamy,
jeżeli

p

k k
n n






1

2

1

2

z

p

p

p

p

n

n

emp























(

)

1

2

1

2

1

1

1

H p

p

0

1

2

:



H p

p

1

1

2

:



z

z

emp.





Autor: Janusz Górczyński

23

Test istotności dla wariancji

Niech , interesuje nas weryfikacja
hipotezy
przy alternatywie .
W praktyce nie formułuje się H

1

jako dwustronnej czy

lewostronnej, co wynika z faktu, że duża wariancja jest
niekorzystna.

Weryfikację hipotezy zerowej przeprowadzamy w
oparciu o n-elementową próbę wykorzystując fakt, że
statystyka

ma rozkład z liczbą stopni swobody v
= n – 1.

X

N m

~ ( ;

)



2

H

0

2

0

2

:







H

1

2

0

2

:







(

)

n

s

 1

2

2





2

Autor: Janusz Górczyński

24

Test istotności dla wariancji
(c.d.)

Jeżeli prawdziwa jest H

0

, to statystyka

ma rozkład z liczbą stopni swobody v = n - 1.

Wnioskowanie:
Jeżeli , to H

0

odrzucamy na

korzyść H

1

.

Jeżeli , to nie mamy podstaw

do odrzucenia H

0 .





emp

n

s

2

2

0

2

1





(

)



2







emp

v n

2

1

2



 

,







emp

v n

2

1

2



 

,

Autor: Janusz Górczyński

25

Test istotności dla dwóch
wariancji

Niech oraz .
Na podstawie odpowiednich prób losowych chcemy
zweryfikować przy alternatywie

Statystyka

ma rozkład Fishera-Snedecora z liczbami stopni
swobody

oraz

.

.

X

N m

1

1

1

~ ( ;

)



X

N m

2

2

2

~ ( ;

)



H

0

1

2

2

2

:







H

1

1

2

2

2

:







F

s

s



1

2

1

2

2

2

2

2





u n

 

1

1

v n

 

2

1

Autor: Janusz Górczyński

26

Test istotności dla dwóch
wariancji (c.d.)

Jeżeli jest prawdziwa, to również
statystyka

ma rozkład Fishera-Snedecora z

liczbami stopni

swobody
oraz .
Z uwagi na konstrukcję tablic statystycznych, które
zawierają wartości tylko dla prawostronnego obszaru
krytycznego, wartość empiryczną statystyki F
budujemy tak, aby była większa od 1 (w liczniku
umieszczamy większą wariancję z próby).

H

0

1

2

2

2

:







F

s
s



1

2

2

2

u n

 

1

1

v n

 

2

1

Autor: Janusz Górczyński

27

Test istotności dla dwóch
wariancji (c.d.)

Wnioskowanie:
1. Obliczamy wartość empiryczną statystyki

2. Dla ustalonego  odczytujemy z tablic wartość

krytyczną

gdzie u i v są odpowiednio liczbami stopni

swobody dla średnich kwadratów w liczniku i
mianowniku

.

3. Jeżeli , to odrzucamy na

korzyść

F

s
s

emp



1

2

2

2

F

u v



, ,

F

F

emp

u v





, ,

H

0

1

2

2

2

:







H

1

1

2

2

2

:







Autor: Janusz Górczyński

28

Hipotezy nieparametryczne

Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności
należą:


2

(chi-kwadrat) Pearsona

 (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
w Shapiro-Wilka

Autor: Janusz Górczyński

29

Test zgodności

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie,
że cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F

0

(x):

wobec
Statystyka

przy prawdziwości H

0

ma asymptotyczny rozkład

z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.



2

H F x

F x

0

0

: ( )

( )



H F x

F x

1

0

: ( )

( )





2

2







(

)

n n

n

j

j

t

j

t

j



2

Autor: Janusz Górczyński

30

Test zgodności (c.d.)

Wielkość jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.

Wartość empiryczną statystyki

porównujemy z wartością krytyczną
wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.

n

np

j

t

j





2



emp

j

j

t

j

t

j

n n

n

2

2







(

)



 ,v k u

   1

2

Autor: Janusz Górczyński

31

Test zgodności Chi-kwadrat

Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

))

;

(

(

2

1

j

j

t

j

x

x

x

P

p





Która jest teoretycznym
prawdopodobieństwem wystąpienia
obserwacji w j-tym przedziale przy założeniu
prawdziwości H0.

Autor: Janusz Górczyński

32

Test 

2

zgodności kilku

rozkładów

Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako F

i

, to hipoteza zerowa ma postać:

Zastosowanie testu 

2

wymaga zestawienia próby w

postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym kierunku
umieszczamy poziomy danej cechy, w drugim
populacje.

H F

F

F

k

0

1

2

:

...

  

Autor: Janusz Górczyński

33

Test 

2

zgodności kilku

rozkładów (c.d.)

Klasy

Numer populacji

cechy X

1

2

....

k

1

n

11

n

21

....

n

k1

2

n

12

n

22

....

n

k2

:

n

ij

r

n

1r

n

2r

....

n

kr

Autor: Janusz Górczyński

34

Test 

2

zgodności kilku

rozkładów (c.d.)

Statystyka testowa ma postać:

gdzie

Przy prawdziwości H

0

statystyka ta ma rozkład



2

Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).

Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.







2

2

1

1













n

n

n

ij

ij

t

ij

t

j

r

i

k

n

n n

n

ij

t

i

j









Autor: Janusz Górczyński

35

Podejmowanie decyzji
weryfikacyjnych na podstawie
krytycznego poziomu istotności

Dotychczas

podejmowaliśmy

decyzje

weryfikacyjne poprzez zbadanie, czy wartość
empiryczna statystyki testowej znajduje się w
obszarze krytycznym danej hipotezy (przy z góry
ustalonym poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla
konkretnej

statystyki

z

próby

prawdopodobieństwa odrzucenia hipotezy
zerowej.

Prześledźmy

to

na

przykładzie

weryfikacji hipotezy

H m m wobec H m m

0

0

1

0

:

:





Autor: Janusz Górczyński

36

Krytyczny poziom istotności
(c.d.)

Dla wartości empirycznej statystyki t

emp

wyznaczonej

na podstawie n-elemnetowej próby obliczane jest
prawdo-podobieństwo otrzymania wartości statystyki
testującej co najmniej tak dużej, jak ta uzyskana z
próby, czyli

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .

Jeżeli , to

H

0

odrzucamy

.

Jeżeli , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H

0

.

p P t t

emp





(

)

p



p

