Wykład IIIB

Porównania
wielokrotne
średnich- przegląd
testów

Wprowadzenie

Analiza wariancji jest testem istotności. Ma ona

charakter „jakościowy” określając prawdopodo-

bieństwo tego, czy wśród porównywanych

średnich są co najmniej dwie, co do których

mamy przynaj- mniej 95 % pewności, że

pochodzą z populacji o różnych wartościach

średniej prawdziwej. W przypad- ku, gdy w ANOV-

ie odrzucimy H

0

na korzyść H

1

nie wiemy, czy

wśród porównywanych średnich są dwie grupy

średnich które mają różną wartość średniej

prawdziwej, czy też wszystkie średnie są różne. A

może mamy do czynienia z wariantem pośrednim

? (czyli takim który zawiera się pomiędzy dwoma

skrajnymi wymienionymi powyżej).

Wprowadzenie

W związku z tym w sytuacji gdy

w analizie wariancji odrzucamy H

0

musimy przekonać się, które z

badanych średnich różnią się

istotnie, a które nie, dokonując

porównań wielokrotnych średnich

na bazie określonych testów

statystycznych.

Definicje

Grupą jednorodną nazywamy

podzbiór zbioru wszystkich

średnich obiektowych taki, w

którym pomiędzy średnimi nie

ma istotnych różnic.
Również pojedyncza średnia

stanowi grupę jednorodną, jeśli

istotnie różni się od pozostałych.

Rodzaje testów

W praktyce najczęściej stosowanymi

testami są:

1. t - Studenta
2. t – Duncana
3. q –Studenta - Newmana – Keulsa

(q-SNK)

4. q – Tukeya

Test t-Studenta

Jeżeli bezwzględna wartość różnicy pomiędzy
dwoma średnimi obiektowymi z próby jest większa
od w.w. iloczynu, to jest ona różnicą istotną. W
przypadku przeciwnym – różnica jest nieistotna.
Dlatego omawiany iloczyn nazywamy najmniejszą
istotną różnicą (NIR – Least Significant Difference
– LSD)

d

S

t

NIR

e











;

Test t-Studenta

Test t-Studenta można stosować tylko do

porównań średnich obiektowych sąsiednich tj.

takich, które po uporządkowaniu wszystkich

średnich są bezpośrednio obok siebie i nie są

rozdzielone innymi średnimi. W związku z tym

opracowane zostały testy do porównań

wielokrotnych, które tego ograniczenia nie

mają i mogą być wykorzystane do porównania

na zasadzie „każdy z każdym” w obrębie

wszystkich badanych średnich obiektowych.

Do testów tych można zaliczyć test Duncana,

q-SNK, Tukeya.

Zanim zaczniemy
porównywać

Przed porównaniem wielokrotnym średnich (które
dokonujemy bez użycia programu komputerowego)
wszystkie średnie muszą być uporządkowane.
Porównując uzyskane wartości NIR dla różnych testów
możemy testy te uporządkować na tej podstawie. Test
który daje mniejsze wartości NIR określa się testem
mniej ostrym od testu dla którego wartości te są
wyższe i który jest określany jako test o wyższej ostrości
NIR. Określenie te wzięło się z tego, że im wyższą
wartość uzyskamy NIR tym trudniej jest „udowodnić”,
że porównywane średnie obiektowe pochodzą z
populacji, których średnie prawdziwe różnią się istotnie.

Test Duncana

x

m

S

t

NIR

e











;

;

gdzie:
t – jest odczytem z tablic testu Duncana, dla danego
poziomu istotności i tzw. rozstępu (m) oraz liczby
stopni dla błędu
Rozstęp „m” określa położenie średnich po
uporządkowaniu i wynosi 2 dla średnich sąsiednich i
zwiększa się dla średnich oddalonych od siebie o
liczbę średnich, które je rozdzielają.
S

d

– jest średnim błędem różnicy pomiędzy średnimi.

Wadą testu Duncana jest spadek poziomu ufności w
raz ze wzrostem rozstępu. Wynosi on: (1-a)

m-1

Określanie rozstępu

Średnie
A
B
C
D
E

2

2

3

5

gdzie:
q – jest odczytem z tablic testu Newmana Keulsa ,
dla danego poziomu istotności i tzw. rozstępu (m)
oraz liczby stopni swobody dla błędu.
Rozstęp „m” określa się tak samo jak w teście
Duncana
S

x

– jest błędem standardowym wyliczanym z

następującego wzoru:

Test Newmana-Keulsa (q-
SNK)

n

S

S

E

x

2



x

m

S

q

NIR

e









;

;

gdzie:
q – jest odczytem z tablic testu
Newmana Keulsa , dla danego poziomu
istotności i rozstępu maksymalnego tj.
najwyższego do uzyskania wśród
porównywanych średnich.

Test Tukeya

x

m

S

q

NIR

e













max;

;

Przykład tworzenia grup
jednorodnych

W doświadczeniu wzonowym porównano
wpływ 5 odmian jęczmienia(A, B, C, D, E) na
wagę 1 rośliny (g). Wyniki średnie były
następujące A-1,2; B-1,5; C-0,9; D-1,6; E- 1,7

m

2

3

4

5

q

0,05

2,95

3,58

3,96

4,23

NIR

0,05

0,15

0,18

0,20

0,22

Przykład tworzenia grup
jednorodnych

Odmian

a

Waga
(g)

E

1,7

D

1,6

B

1,5

A

1,2

C

0,9

E-C=1,7-0,9=0,8>0,22
r.ist.
E-A=1,7-1,2=0,5>0,20
r.ist.
E-B=1,7-1,5=0,2>0,18
r.ist

E-D=1,7-1,6=0,1<0,15
r.n.

D-C=1,6-0,9=0,7>0,20
r.ist
D-A=1,6-1,2=0,4>0,18
r. ist.

D-B=1,6-1,5=0,1<0,15
r.n.

B-C=1,5-0,9=0,6>0,18
r.ist.
B-A=1,5-1,2=0,3>0,15
r.ist
A-C=1,2-0,9=0,3>0,15
r.ist