CHARAKTERYSTYKI

CHARAKTERYSTYKI

BEZWŁADNOŚCIOWE CIAŁA

BEZWŁADNOŚCIOWE CIAŁA

CZŁOWIEKA

CZŁOWIEKA

Ruch postępowy i obrotowy części ciała

Ruch postępowy i obrotowy części ciała

Kamil Podsiad, Łukasz Urbański

Kamil Podsiad, Łukasz Urbański

Budowa ukł. kostno-stawowego ogranicza

Budowa ukł. kostno-stawowego ogranicza

możliwości

możliwości

ruchowe części ciała w stawach wyłącznie do

ruchowe części ciała w stawach wyłącznie do

ruchów

ruchów

obrotowych. Oznacza to, że dwie sąsiednie części

obrotowych. Oznacza to, że dwie sąsiednie części

ciała połączone stawem mogą poruszać się

ciała połączone stawem mogą poruszać się

względem

względem

siebie jedynie ruchem obrotowym. Jednocześnie

siebie jedynie ruchem obrotowym. Jednocześnie

oś

oś

stawu – stanowiącego element złożonego

stawu – stanowiącego element złożonego

mechanizmu

mechanizmu

nazywanego łańcuchem kinematycznym – może

nazywanego łańcuchem kinematycznym – może

przemieszczać się w przestrzeni, wykonując ruch

przemieszczać się w przestrzeni, wykonując ruch

postępowy.

postępowy.

W efekcie więc mamy do czynienia ze

W efekcie więc mamy do czynienia ze

złożeniem

złożeniem

dwóch rodzajów ruchów: postępowego i

dwóch rodzajów ruchów: postępowego i

obrotowego.

obrotowego.

Nazywa się je ruchami niezależnymi z

Nazywa się je ruchami niezależnymi z

powodu ich

powodu ich

odmiennej natury, oraz przyczyn je

odmiennej natury, oraz przyczyn je

wywołujących-

wywołujących-

oznacza to, że nie mają one wspólnych

oznacza to, że nie mają one wspólnych

składowych,

składowych,

czyli że z jednego z nich nie można

czyli że z jednego z nich nie można

przedstawić jako

przedstawić jako

kombinacji drugiego.

kombinacji drugiego.

Dowolne ciało ( w tym ciało lub część ciała

Dowolne ciało ( w tym ciało lub część ciała

człowieka) w zasadzie może poruszać się

człowieka) w zasadzie może poruszać się

ruchem

ruchem

postępowym, obrotowym lub też dwoma

postępowym, obrotowym lub też dwoma

jednocześnie.

jednocześnie.

W tym ostatnim przypadku, gdy mamy do

W tym ostatnim przypadku, gdy mamy do

czynienia z

czynienia z

ruchem zawierającym składową postępową

ruchem zawierającym składową postępową

i

i

obrotową, mówimy, że ciało porusza się

obrotową, mówimy, że ciało porusza się

ruchem

ruchem

dowolnym.

dowolnym.

Można więc stwierdzić, że każdy ruch dowolny ciała (bryły

Można więc stwierdzić, że każdy ruch dowolny ciała (bryły

sztywnej)

sztywnej)

można przedstawić jako superpozycję (czyli złożenie) dwóch

można przedstawić jako superpozycję (czyli złożenie) dwóch

rodzajów ruchów niezależnych: postępowego i obrotowego.

rodzajów ruchów niezależnych: postępowego i obrotowego.

Ruch np.

Ruch np.

podudzia sprintera (a dokładnie jego składową w

podudzia sprintera (a dokładnie jego składową w

płaszczyźnie np.

płaszczyźnie np.

strzałkowej) można przedstawić w postaci sumy dwóch

strzałkowej) można przedstawić w postaci sumy dwóch

ruchów

ruchów

niezależnych: obrotowego względem osi poprzecznej stawu

niezależnych: obrotowego względem osi poprzecznej stawu

kolanowego

kolanowego

oraz postępowego, opisującego sposób przemieszczania się –

oraz postępowego, opisującego sposób przemieszczania się –

w

w

rozważanej płaszczyźnie –osi ruchu obrotowego.

rozważanej płaszczyźnie –osi ruchu obrotowego.

Ruch podudzia sprintera jako złożenie ruchu

Ruch podudzia sprintera jako złożenie ruchu

obrotowego względem osi 0 z prędkością w i

obrotowego względem osi 0 z prędkością w i

postępowego z

postępowego z

predkością v.

predkością v.

RUCH POSTĘPOWY: MODELE CIAŁ W RUCHU

RUCH POSTĘPOWY: MODELE CIAŁ W RUCHU

POSTĘPOWYM

POSTĘPOWYM

Ruch jest zjawiskiem polegającym na przemieszczaniu się

Ruch jest zjawiskiem polegającym na przemieszczaniu się

ciał

ciał

względem siebie. Stwierdzenie to zawiera sugestię

względem siebie. Stwierdzenie to zawiera sugestię

polegającą

polegającą

na tym, że aby rozstrzygnąć, czy interesujące nas ciało A

na tym, że aby rozstrzygnąć, czy interesujące nas ciało A

znajduje się w ruchu, należy obserwować jego położenie

znajduje się w ruchu, należy obserwować jego położenie

względem innego ciała B, które dla nas będzie stanowić

względem innego ciała B, które dla nas będzie stanowić

punkt

punkt

odniesienia. Tak przeprowadzona obserwacja pozwoli nam

odniesienia. Tak przeprowadzona obserwacja pozwoli nam

stwierdzić, czy interesujące nas ciało A znajduje się (lub nie)

stwierdzić, czy interesujące nas ciało A znajduje się (lub nie)

w ruchu względem ciała B. Opisana sytuacja przedstawia

w ruchu względem ciała B. Opisana sytuacja przedstawia

typowy sposób postępowania przy obserwacji, badaniu i

typowy sposób postępowania przy obserwacji, badaniu i

opisie

opisie

ruchu ciał, wyraża ona bowiem pewną fundamentalną

ruchu ciał, wyraża ona bowiem pewną fundamentalną

własność ruchu jako zjawiska, nazywaną względnością ruchu.

własność ruchu jako zjawiska, nazywaną względnością ruchu.

Do przeprowadzenia obserwacji (pomiaru i w efekcie opisu)

Do przeprowadzenia obserwacji (pomiaru i w efekcie opisu)

ruchu ciała

ruchu ciała

należy w sposób jednoznaczny określić układ odniesienia

należy w sposób jednoznaczny określić układ odniesienia

(traktowany

(traktowany

umownie jako nieruchomy), względem którego będą

umownie jako nieruchomy), względem którego będą

dokonywane

dokonywane

obserwacja i pomiary, od niego zależy bowiem obraz przebiegu

obserwacja i pomiary, od niego zależy bowiem obraz przebiegu

ruchu.

ruchu.

Zmiana ukł. odniesienia może powodować zmianę obrazu

Zmiana ukł. odniesienia może powodować zmianę obrazu

badanego

badanego

ruchu np. ruch podudzia sprintera obserwowany względem

ruchu np. ruch podudzia sprintera obserwowany względem

układu

układu

odniesienia związanego z udem jest ruchem obrotowym o

odniesienia związanego z udem jest ruchem obrotowym o

charakterze

charakterze

cyklicznym. Obraz ruchu tego samego podudzia, lecz uzyskany

cyklicznym. Obraz ruchu tego samego podudzia, lecz uzyskany

względem układu odniesienia związanego z podłożem, oprócz

względem układu odniesienia związanego z podłożem, oprócz

składowej obrotowej będzie zawierać również składową

składowej obrotowej będzie zawierać również składową

postępową.

postępową.

RUCH POSTĘPOWY

RUCH POSTĘPOWY

Ruchem postępowym nazywamy ruch, w

Ruchem postępowym nazywamy ruch, w

kórym

kórym

wszystkie punkty ciała poruszają się po

wszystkie punkty ciała poruszają się po

jednakowych i wzajemnie równoległych

jednakowych i wzajemnie równoległych

torach, w

torach, w

tych samych przedziałach czasu doznając

tych samych przedziałach czasu doznając

jednakowych przemieszczeń.

jednakowych przemieszczeń.

Ruchem postępowym może poruszać się ciało nie

Ruchem postępowym może poruszać się ciało nie

zmieniające swej geometrii, czyli sztywne, i skoro

zmieniające swej geometrii, czyli sztywne, i skoro

wszystkie jego punkty poruszają się po takich

wszystkie jego punkty poruszają się po takich

samych torach z jednakowymi prędkościami

samych torach z jednakowymi prędkościami

chwilowymi, to do opisu ruchu postępowego ciała

chwilowymi, to do opisu ruchu postępowego ciała

wystarczy obserwować i opisać ruch jednego z tych

wystarczy obserwować i opisać ruch jednego z tych

punktów. Wypływa stąd również wniosek: własności

punktów. Wypływa stąd również wniosek: własności

ciał w ruchu postępowym w sposób wystarczający

ciał w ruchu postępowym w sposób wystarczający

można modelować za pomocą punktu materialnego, w

można modelować za pomocą punktu materialnego, w

którym zbiegają się wszystkie siły działające na

którym zbiegają się wszystkie siły działające na

interesujące nas ciało.

interesujące nas ciało.

Skutki działania tych sił opisuje II zasada

Skutki działania tych sił opisuje II zasada

dynamiki

dynamiki

Newtona mówiąca, że przyspieszenie ,

Newtona mówiąca, że przyspieszenie ,

jakiemu

jakiemu

podlega ciało (punkt materialny) o masie

podlega ciało (punkt materialny) o masie

m, jest

m, jest

wprost proporcjonalne do działającej na

wprost proporcjonalne do działającej na

nie

nie

wypadkowej siły (sumy sił), a odwrotnie

wypadkowej siły (sumy sił), a odwrotnie

proporcjonalne do masy ciała m:

proporcjonalne do masy ciała m:

Mówiąc obrazowo, zasada ta powiada, że do

Mówiąc obrazowo, zasada ta powiada, że do

zmiany

zmiany

parametrów ruchu postępowego ciała (czyli

parametrów ruchu postępowego ciała (czyli

zmiany

zmiany

wartości, zwrotu lub kierunku prędkości)

wartości, zwrotu lub kierunku prędkości)

konieczne

konieczne

jest użycie siły, a uzyskane efekty będą zależały

jest użycie siły, a uzyskane efekty będą zależały

od

od

wartości użytej siły, czasu jej działania, a także

wartości użytej siły, czasu jej działania, a także

masy

masy

ciała. W formie ścisłej mówi o tym-wynikające z II

ciała. W formie ścisłej mówi o tym-wynikające z II

zasady dynamiki Newtona-twierdzenie o popędzie

zasady dynamiki Newtona-twierdzenie o popędzie

siły

siły

i zmianie pędu:

i zmianie pędu:

Ruch obrotowy; modele ciał

Ruch obrotowy; modele ciał

w ruchu obrotowym

w ruchu obrotowym

Ruchem obrotowym nazywamy taki ruch,

Ruchem obrotowym nazywamy taki ruch,

w którym

w którym

wszystkie punkty ciała przemieszczają się

wszystkie punkty ciała przemieszczają się

po okręgach

po okręgach

współśrodkowych, doznając w

współśrodkowych, doznając w

jednakowych

jednakowych

odstępach czasu tych samych

odstępach czasu tych samych

przemieszczeń

przemieszczeń

kątowych.

kątowych.

Z powyższej definicji wynika, że ruchem obrotowym

Z powyższej definicji wynika, że ruchem obrotowym

może poruszać się ciało sztywne, ruch odbywa się wokół

może poruszać się ciało sztywne, ruch odbywa się wokół

osi

osi

obrotu, zatem punkty ciała leżące na niej są nieruchome,

obrotu, zatem punkty ciała leżące na niej są nieruchome,

pozostałe zaś poruszają się z jednakowymi prędkościami

pozostałe zaś poruszają się z jednakowymi prędkościami

kątowymi. Miarą drogi przebytej w ruchu obrotowym jest

kątowymi. Miarą drogi przebytej w ruchu obrotowym jest

kąt

kąt

zakreślony przez promień łączący obserwowany punkt z

zakreślony przez promień łączący obserwowany punkt z

osią

osią

obrotu (wierzchołek tego kąta leży na osi obrotu). Z

obrotu (wierzchołek tego kąta leży na osi obrotu). Z

prostych

prostych

rozważań geometrycznych wynika, że do opisu ruchu

rozważań geometrycznych wynika, że do opisu ruchu

obrotowego ciała konieczna jest obserwacja co najmniej

obrotowego ciała konieczna jest obserwacja co najmniej

dwóch jego punktów, z których przynajmniej jeden musi

dwóch jego punktów, z których przynajmniej jeden musi

leżeć

leżeć

poza osią obrotu.

poza osią obrotu.

Przyczyną wywołującą ruchy obrotowe ciał

Przyczyną wywołującą ruchy obrotowe ciał

jest

jest

moment siły. Skutki działania momentów

moment siły. Skutki działania momentów

sił na ciała

sił na ciała

opisuje tzw. równanie ruchu obrotowego

opisuje tzw. równanie ruchu obrotowego

bryły

bryły

sztywnej:

sztywnej:

Treść tego równania można wyrazić następująco:

Treść tego równania można wyrazić następująco:

moment siły , działający na bryłę sztywną, nadaje

moment siły , działający na bryłę sztywną, nadaje

jej przyspieszenie kątowe o wartości wprost

jej przyspieszenie kątowe o wartości wprost

proporcjonalnej do działającego momentu siły, a

proporcjonalnej do działającego momentu siły, a

odwrotnie proporcjonalnej do momentu bezwładności

odwrotnie proporcjonalnej do momentu bezwładności

I.

I.

Łatwo zauważyć analogię występującą pomiędzy

Łatwo zauważyć analogię występującą pomiędzy

treścią równania ruchu obrotowego bryły sztywnej a II

treścią równania ruchu obrotowego bryły sztywnej a II

zasadą dynamiki Newtona (obowiązującą w ruchu

zasadą dynamiki Newtona (obowiązującą w ruchu

postępowym). To podobieństwo ma charakter

postępowym). To podobieństwo ma charakter

ograniczony, ponieważ, jak to zostanie wykazane w

ograniczony, ponieważ, jak to zostanie wykazane w

dalszej części naszych rozważań, istnieją sytuacje, w

dalszej części naszych rozważań, istnieją sytuacje, w

których owe analogie nie występują.

których owe analogie nie występują.

Z równania można wyprowadzić

Z równania można wyprowadzić

twierdzenie o

twierdzenie o

momencie pędu:

momencie pędu:

Twierdzenie to powiada, że

Twierdzenie to powiada, że

zmiana

zmiana

momentu pędu bryły

momentu pędu bryły

jest równa

jest równa

popędowi momentu siły

popędowi momentu siły

działającej na bryłę

działającej na bryłę

Szczególnym przypadkiem powyższego

Szczególnym przypadkiem powyższego

twierdzenia

twierdzenia

jest tzw. Zasada zachowania momentu

jest tzw. Zasada zachowania momentu

pędu,

pędu,

odnosząca się do sytuacji, w której

odnosząca się do sytuacji, w której

momenty sił

momenty sił

działające na bryłę sztywną znoszą się(lub

działające na bryłę sztywną znoszą się(lub

są równe

są równe

zeru). Zasada owa powiada, że:

zeru). Zasada owa powiada, że:

Czyli, że moment pędu bryły nie ulega zmianie. Należy

Czyli, że moment pędu bryły nie ulega zmianie. Należy

zwrócić

zwrócić

uwagę, że nie oznacza to, iż wartość prędkości kątowej musi być tu

uwagę, że nie oznacza to, iż wartość prędkości kątowej musi być tu

stała,

stała,

będzie ona bowiem ulegać zmianom wraz ze zmianą momentu

będzie ona bowiem ulegać zmianom wraz ze zmianą momentu

bezwładności

bezwładności

I

I

. w ogólniejszej postaci powyższe twierdzenie w

. w ogólniejszej postaci powyższe twierdzenie w

odniesieniu do układu ciał brzmi: jeżeli w układzie ciał działają tylko

odniesieniu do układu ciał brzmi: jeżeli w układzie ciał działają tylko

siły wewnętrzne (wypadkowy moment sił zewnętrznych względem

siły wewnętrzne (wypadkowy moment sił zewnętrznych względem

osi

osi

obrotu równy jest zeru), to całkowity moment pędu układu pozostaje

obrotu równy jest zeru), to całkowity moment pędu układu pozostaje

stały. Z twierdzenia tego wynika że jeżeli w układzie ciał, pod

stały. Z twierdzenia tego wynika że jeżeli w układzie ciał, pod

wpływem

wpływem

działania sił wewnętrznych, zmieni się moment bezwładności układu

działania sił wewnętrznych, zmieni się moment bezwładności układu

(przez zmianę położenia ciał wchodzących w jego skład w stosunku

(przez zmianę położenia ciał wchodzących w jego skład w stosunku

do

do

osi obrotu), to aby moment pędu układu pozostał stały, musi

osi obrotu), to aby moment pędu układu pozostał stały, musi

zmienić się jego prędkość kątowa. Z zasady tej, zresztą

zmienić się jego prędkość kątowa. Z zasady tej, zresztą

nieświadomie (o

nieświadomie (o

nie oznacza, że nie skutecznie) korzysta kot „spadający na cztery

nie oznacza, że nie skutecznie) korzysta kot „spadający na cztery

łapy”

łapy”

jeżeli nawet zacznie spadać grzbietem w dół, to

jeżeli nawet zacznie spadać grzbietem w dół, to

wprawiając w ruch obrotowy tylną część ciała wraz z

wprawiając w ruch obrotowy tylną część ciała wraz z

ogonem nadaje jej pewien moment pędu różny od zera.

ogonem nadaje jej pewien moment pędu różny od zera.

Aby sumaryczny moment pędu zwierzęcia pozostał

Aby sumaryczny moment pędu zwierzęcia pozostał

niezmienny, przednia część jego ciała wykonuje obroty

niezmienny, przednia część jego ciała wykonuje obroty

w kierunku przeciwnym, uzyskując moment pędu

w kierunku przeciwnym, uzyskując moment pędu

równoważący poprzedni. Jeżeli w układzie ciał działają

równoważący poprzedni. Jeżeli w układzie ciał działają

tylko siły wewnętrzne ( wypadkowy moment sił

tylko siły wewnętrzne ( wypadkowy moment sił

zewnętrznych względem osi obrotu równy jest zeru) to

zewnętrznych względem osi obrotu równy jest zeru) to

całkowity moment pędu układu pozostaje stały.

całkowity moment pędu układu pozostaje stały.

Moment bezwładności

Moment bezwładności

Moment bezwładności jest wielkością

Moment bezwładności jest wielkością

charakteryzującą bezwładność ciał w

charakteryzującą bezwładność ciał w

ruchu obrotowym. Aby wyznaczyć

ruchu obrotowym. Aby wyznaczyć

moment bezwładności ciała A względem

moment bezwładności ciała A względem

osi obrotu 0, należy podzielić ciało A na k

osi obrotu 0, należy podzielić ciało A na k

elementów o wielkich rozmiarach i

elementów o wielkich rozmiarach i

masach oraz wyznaczyć odległość

masach oraz wyznaczyć odległość

każdego z tych elementów od osi obrotu

każdego z tych elementów od osi obrotu

0; suma iloczynów mas kolejnych

0; suma iloczynów mas kolejnych

elementów i kwadratu ich odległości od

elementów i kwadratu ich odległości od

osi obrotu da nam wartość przybliżoną

osi obrotu da nam wartość przybliżoną

poszukiwanego momentu bezwładności

poszukiwanego momentu bezwładności

W uzupełnieniu do tej uproszczonej

W uzupełnieniu do tej uproszczonej

definicji należy

definicji należy

dodać, że dokładność tak wyznaczonej

dodać, że dokładność tak wyznaczonej

wartości

wartości

momentu bezwładności będzie tym lepsza,

momentu bezwładności będzie tym lepsza,

im większa

im większa

będzie liczba elementów

będzie liczba elementów

na które

na które

podzielone zostanie ciało A. ujmując

podzielone zostanie ciało A. ujmując

rzecz ściśle, dokładną wartość momentu

rzecz ściśle, dokładną wartość momentu

bezwładności wyliczymy wyznaczając

bezwładności wyliczymy wyznaczając

granice:

granice:

Twierdzenie o momencie

Twierdzenie o momencie

bezwładności

bezwładności

Z równania ostatniego wynika, że wartość

Z równania ostatniego wynika, że wartość

momentu bezwładności bryły zależy od

momentu bezwładności bryły zależy od

jej położenia względem osi obrotu. Jeżeli

jej położenia względem osi obrotu. Jeżeli

ciało A (przedstawione na kolejnym

ciało A (przedstawione na kolejnym

rysunku) zostanie odsunięte od osi

rysunku) zostanie odsunięte od osi

obrotu 0, to w myśl definicji jego moment

obrotu 0, to w myśl definicji jego moment

bezwładności wzrośnie, ponieważ

bezwładności wzrośnie, ponieważ

Analogicznie przybliżenie ciała A w kierunku

Analogicznie przybliżenie ciała A w kierunku

osi

osi

obrotu spowoduje zmniejszenie jego momentu

obrotu spowoduje zmniejszenie jego momentu

bezwładności. Efekt ten będzie zauważalny do

bezwładności. Efekt ten będzie zauważalny do

chwili,

chwili,

w której środek masy ciała znajdzie się na osi

w której środek masy ciała znajdzie się na osi

obrotu,

obrotu,

kiedy to moment bezwładności przyjmuje

kiedy to moment bezwładności przyjmuje

wartość

wartość

najmniejszą z możliwych. Tę szczególną jego

najmniejszą z możliwych. Tę szczególną jego

wartość

wartość

nazywamy centralnym momentem

nazywamy centralnym momentem

bezwładności.

bezwładności.

Moment bezwładności ciała A

Moment bezwładności ciała A

zależy od jego odległości od osi

zależy od jego odległości od osi

obrotu

obrotu

Znajomość wartości centralnego momentu ciała ma

Znajomość wartości centralnego momentu ciała ma

również zastosowanie praktyczne, pozwala bowiem na

również zastosowanie praktyczne, pozwala bowiem na

wyznaczenie jego momentu bezwładności względem

wyznaczenie jego momentu bezwładności względem

innej (tzn.nie przechodzącej przez środek masy), lecz

innej (tzn.nie przechodzącej przez środek masy), lecz

równoległej osi obrotu. Sposób, w jaki to można

równoległej osi obrotu. Sposób, w jaki to można

zrobić, objaśnia twierdzenie o momencie

zrobić, objaśnia twierdzenie o momencie

bezwładności (twierdzenie Steinera); Moment

bezwładności (twierdzenie Steinera); Moment

bezwładności bryły A względem osi 0’ jest równy

bezwładności bryły A względem osi 0’ jest równy

sumie jego momentu centralnego (względem osi 0,

sumie jego momentu centralnego (względem osi 0,

która jest równoległa do osi 0’) oraz iloczynu masy

która jest równoległa do osi 0’) oraz iloczynu masy

ciała i kwadratu odległości między osiami 0 i 0’

ciała i kwadratu odległości między osiami 0 i 0’

Ilustracja twierdzenia o

Ilustracja twierdzenia o

momencie bezwładności

momencie bezwładności

Zastosowanie twierdzenia Steinera do

Zastosowanie twierdzenia Steinera do

wyznaczenia momentu bezwładności

wyznaczenia momentu bezwładności

podudzia względem osi poprzecznej

podudzia względem osi poprzecznej

stawu kolanowego

stawu kolanowego

Moment bezwładności

Moment bezwładności

układu brył sztywnych

układu brył sztywnych

Wyobraźmy sobie układ kilku brył sztywnych

Wyobraźmy sobie układ kilku brył sztywnych

poruszający się ruchem obrotowym względem osi

poruszający się ruchem obrotowym względem osi

0’.

0’.

Każde ciało należące do układu ma względem osi

Każde ciało należące do układu ma względem osi

0’

0’

swoją wartość momentu bezwładności

swoją wartość momentu bezwładności

Moment bezwładności układu jest równy sumie

Moment bezwładności układu jest równy sumie

momentów bezwładności ciał należących do

momentów bezwładności ciał należących do

niego,

niego,

wyznaczonych względem tej samej osi 0’

wyznaczonych względem tej samej osi 0’

Wybrane przykłady

Wybrane przykłady

wykorzystania w sporcie

wykorzystania w sporcie

praw rządzących ruchem

praw rządzących ruchem

obrotowym

obrotowym

Ruchy obrotowe człowieka mogą być

Ruchy obrotowe człowieka mogą być

wykonywane

wykonywane

wokół osi ustalonych: ruchy kończyn w

wokół osi ustalonych: ruchy kończyn w

stawach,

stawach,

kołowroty, wychwyty na drążku itp., lub

kołowroty, wychwyty na drążku itp., lub

swobodnych:

swobodnych:

ruchy obrotowe w locie, salta, śruby, piruety na

ruchy obrotowe w locie, salta, śruby, piruety na

łyżwach itp.

łyżwach itp.

Moment bezwładności układu trzech

Moment bezwładności układu trzech

ciał jest sumą momentów bezwładności

ciał jest sumą momentów bezwładności

elementów układu wyznaczonych

elementów układu wyznaczonych

względem wspólnej osi 0’

względem wspólnej osi 0’

Ruchy obrotowe człowieka

Ruchy obrotowe człowieka

mogą odbywać się wokół osi

mogą odbywać się wokół osi

ustalonych i swobodnych

ustalonych i swobodnych

Osie swobodne to takie, które przechodzą przez środek masy i jednocześnie

Osie swobodne to takie, które przechodzą przez środek masy i jednocześnie

spełniają

spełniają

warunek, że moment bezwładności bryły (człowieka)względem nich jest

warunek, że moment bezwładności bryły (człowieka)względem nich jest

największy

największy

lub najmniejszy. Oś, w stosunku do której moment bezwładności (centralny) jest

lub najmniejszy. Oś, w stosunku do której moment bezwładności (centralny) jest

największy, jest osią stabilną. Oznacza to, że jeżeli ciało obracające się wokół tej

największy, jest osią stabilną. Oznacza to, że jeżeli ciało obracające się wokół tej

osi

osi

zostanie odchylone od niej momentem zewnętrznym , to siły odśrodkowe

zostanie odchylone od niej momentem zewnętrznym , to siły odśrodkowe

spowodują

spowodują

powrót ciała do poprzedniego położenia względem osi obrotu. Oś

powrót ciała do poprzedniego położenia względem osi obrotu. Oś

odpowiadająca

odpowiadająca

najmniejszemu momentowi bezwładności jest osią niestabilną, co oznacza, ze

najmniejszemu momentowi bezwładności jest osią niestabilną, co oznacza, ze

Jakiekolwiek zaburzenie powodujące zmianą jej położenia (np. odchylenie)

Jakiekolwiek zaburzenie powodujące zmianą jej położenia (np. odchylenie)

wywoła

wywoła

przejście ciała do obrotu wokół osi stabilnej, tj. osi największego momentu

przejście ciała do obrotu wokół osi stabilnej, tj. osi największego momentu

bezwładności. Wartości momentów bezwładności względem głównych osi ciała

bezwładności. Wartości momentów bezwładności względem głównych osi ciała

ludzkiego w kilku wybranych pozycjach zawiera tabela

ludzkiego w kilku wybranych pozycjach zawiera tabela

Zagadnienie ruchów obrotowych wokół osi swobodnych rozważmy

Zagadnienie ruchów obrotowych wokół osi swobodnych rozważmy

na

na

przykładzie tzw. przewrotu wolnego, który jest podstawowym

przykładzie tzw. przewrotu wolnego, który jest podstawowym

ćwiczeniem z grupy skoków akrobatycznych. W przebiegu czasowo

ćwiczeniem z grupy skoków akrobatycznych. W przebiegu czasowo

przestrzennym tych ćwiczeń możemy wyróżnić dwie zasadnicze

przestrzennym tych ćwiczeń możemy wyróżnić dwie zasadnicze

fazy:

fazy:

-fazę odbicia

-fazę odbicia

-fazę lotu

-fazę lotu

W fazie lotu zawodnik nie ma kontaktu z podłożem, wobec czego

W fazie lotu zawodnik nie ma kontaktu z podłożem, wobec czego

wypadkowy moment sił działających na jego ciało jest równy zeru

wypadkowy moment sił działających na jego ciało jest równy zeru

(pomijamy opory powietrza). Oznacza to, że może on wpływać na

(pomijamy opory powietrza). Oznacza to, że może on wpływać na

przebieg ruchu swego ciała, korzystając z zasady zachowania

przebieg ruchu swego ciała, korzystając z zasady zachowania

momentu

momentu

pędu (który w tej fazie ma wartość stałą), czyli sterować

pędu (który w tej fazie ma wartość stałą), czyli sterować

prędkością

prędkością

kątową przez zmianę momentu bezwładności swojego ciał

kątową przez zmianę momentu bezwładności swojego ciał

(względem

(względem

osi obrotu przechodzący, jak pamiętamy, przez środek masy

osi obrotu przechodzący, jak pamiętamy, przez środek masy

zawodnika),

zawodnika),

lub też –korzystając z momentu „kociego ogona” – wykonywać

lub też –korzystając z momentu „kociego ogona” – wykonywać

ruchy

ruchy

obrotowe np. kończynami górnymi.

obrotowe np. kończynami górnymi.

Warunkiem skutecznego wykonania skoku jest to,

Warunkiem skutecznego wykonania skoku jest to,

aby

aby

czas trwania fazy lotu pozwalał gimnastykowi na

czas trwania fazy lotu pozwalał gimnastykowi na

wykonanie pełnego obrotu (o kąt równy 2π) ciała.

wykonanie pełnego obrotu (o kąt równy 2π) ciała.

Zatem im krócej będzie trwała ta faza, z tym

Zatem im krócej będzie trwała ta faza, z tym

większą

większą

prędkością kątową ω będzie musiał odbywać się

prędkością kątową ω będzie musiał odbywać się

ruch

ruch

obrotowy gimnastyka a tym samym trudniej mu

obrotowy gimnastyka a tym samym trudniej mu

będzie spełnić powyższy warunek. O czasie trwania

będzie spełnić powyższy warunek. O czasie trwania

fazy lotu decydować będzie pęd w kierunku

fazy lotu decydować będzie pęd w kierunku

pionowym jaki uzyskuje zawodnik w fazie odbicia:

pionowym jaki uzyskuje zawodnik w fazie odbicia:

Również i prędkość kątowa zależeć

Również i prędkość kątowa zależeć

będzie od momentu pędu jaki zdoła

będzie od momentu pędu jaki zdoła

uzyskać gimnastyk

uzyskać gimnastyk

w fazie odbicia. Im większa będzie jego

w fazie odbicia. Im większa będzie jego

wartość,

wartość,

tym krócej będzie trwał pełny obrót ciała.

tym krócej będzie trwał pełny obrót ciała.

Przykład wartości momentu bezwładności

Przykład wartości momentu bezwładności

ciała człowieka w stosunku do głównych osi

ciała człowieka w stosunku do głównych osi

(wg. G. Hochmutha

(wg. G. Hochmutha

Z powyższych rozważań widać, że o pomyślnym

Z powyższych rozważań widać, że o pomyślnym

wykonaniu przewrotu wolnego (salta) decyduje faza

wykonaniu przewrotu wolnego (salta) decyduje faza

odbicia, w której zawodnik, wykorzystuje

odbicia, w której zawodnik, wykorzystuje

współdziałanie

współdziałanie

sił swoich mięśni oraz reakcji podłoża, stara się nadać

sił swoich mięśni oraz reakcji podłoża, stara się nadać

swojemu ciału możliwie duży pęd skierowany pionowo

swojemu ciału możliwie duży pęd skierowany pionowo

ku górze oraz uzyskać pewną wartość momentu pędu,

ku górze oraz uzyskać pewną wartość momentu pędu,

pozwalającą na wykonanie pełnego obrotu ciał w

pozwalającą na wykonanie pełnego obrotu ciał w

pozycji

pozycji

„

„

skupionej” (minimalny moment bezwładności

skupionej” (minimalny moment bezwładności

I

I

)

)

podczas trwania lotu.

podczas trwania lotu.

O powodzeniu wykonania wolnego obrotu ciała w

O powodzeniu wykonania wolnego obrotu ciała w

locie, czyli wobec osi swobodnej decyduje

locie, czyli wobec osi swobodnej decyduje

początkowy moment pędu oraz zdolność do

początkowy moment pędu oraz zdolność do

zmiany momentu bezwładności ciała,

zmiany momentu bezwładności ciała,

pozwalający w sposób kontrolowany zmieniać

pozwalający w sposób kontrolowany zmieniać

prędkość ruchu obrotowego

prędkość ruchu obrotowego

Prześledźmy sposób skutecznej realizacji tej

Prześledźmy sposób skutecznej realizacji tej

fazy na

fazy na

konkretnym przykładzie przewrotu wolnego w

konkretnym przykładzie przewrotu wolnego w

przód

przód

w pozycji kucznej. Na rysunku kolejnym

w pozycji kucznej. Na rysunku kolejnym

przedstawiono cyklokinogramy przewrotu

przedstawiono cyklokinogramy przewrotu

wolnego z

wolnego z

miejsca i z rozbiegu. Realizacje te różnią się od

miejsca i z rozbiegu. Realizacje te różnią się od

siebie

siebie

w sposób na tyle istotny, zwłaszcza w sposobie

w sposób na tyle istotny, zwłaszcza w sposobie

uzyskiwania momentu pędu, że warto zwrócić

uzyskiwania momentu pędu, że warto zwrócić

na to

na to

uwagę.

uwagę.

W przewrocie wolnym w przód z miejsca fazie

W przewrocie wolnym w przód z miejsca fazie

odbicia odpowiadają dwie pierwsze sylwetki. Na

odbicia odpowiadają dwie pierwsze sylwetki. Na

początku tej fazy zawodnik stara się uzyskać

początku tej fazy zawodnik stara się uzyskać

możliwie duży pęd skierowany pionowo ku górze.

możliwie duży pęd skierowany pionowo ku górze.

Siła reakcji podłoża R oraz suma sił ciężkości

Siła reakcji podłoża R oraz suma sił ciężkości

i bezwładności czyli

i bezwładności czyli

leżą na jednej prostej (moment sił od nich

leżą na jednej prostej (moment sił od nich

pochodzący jest równy zeru). Na końcu fazy

pochodzący jest równy zeru). Na końcu fazy

odbicia (sylwetka 2) siły

odbicia (sylwetka 2) siły

R

R

i

i

P

P

są przesunięte

są przesunięte

względem siebie, wobec czego tworzą parę sił,

względem siebie, wobec czego tworzą parę sił,

której moment wprowadza gimnastyka w ruch

której moment wprowadza gimnastyka w ruch

obrotowy (nadaje mu moment pędu). Warto

obrotowy (nadaje mu moment pędu). Warto

również zwrócić uwagę na szybki ruch obrotowy

również zwrócić uwagę na szybki ruch obrotowy

kończyn górnych w czasie fazy trwania odbicia;

kończyn górnych w czasie fazy trwania odbicia;

moment pędu związany z tym ruchem dodaje się

moment pędu związany z tym ruchem dodaje się

do poprzedniego zwiększając w ten sposób

do poprzedniego zwiększając w ten sposób

całkowity moment pędu gimnastyka

całkowity moment pędu gimnastyka

.

.

Cyklokinogram wolnego

Cyklokinogram wolnego

przewrotu w przód a) z

przewrotu w przód a) z

miejsca; b) z rozbiegu

miejsca; b) z rozbiegu

W przewrocie wolnym z rozbiegu sposób uzyskania początkowego

W przewrocie wolnym z rozbiegu sposób uzyskania początkowego

momentu pędu, a zatem zapoczątkowanie ruchu obrotowego opiera się

momentu pędu, a zatem zapoczątkowanie ruchu obrotowego opiera się

na innej zasadzie. Podczas rozbiegu zawodnik uzyskuje prędkość

na innej zasadzie. Podczas rozbiegu zawodnik uzyskuje prędkość

poziomą: przez unieruchomienie stóp na podłożu w fazie odbicia

poziomą: przez unieruchomienie stóp na podłożu w fazie odbicia

poziome składowe reakcji podłoża i sił bezwładności wytwarzają

poziome składowe reakcji podłoża i sił bezwładności wytwarzają

moment obrotowy którego wartość zależy min. Od prędkości rozbiegu,

moment obrotowy którego wartość zależy min. Od prędkości rozbiegu,

a

a

chwilowa oś obrotu znajduje się w punkcie zetknięcia stóp z podłożem.

chwilowa oś obrotu znajduje się w punkcie zetknięcia stóp z podłożem.

Moment ten w zasadzie działa na gimnastyka przez czas trwania całej

Moment ten w zasadzie działa na gimnastyka przez czas trwania całej

fazy odbicia (dłużej niż w przypadku poprzednim), wobec czego i

fazy odbicia (dłużej niż w przypadku poprzednim), wobec czego i

moment pędu, jaki uzyskuje zawodnik, jest większy niż poprzednio.

moment pędu, jaki uzyskuje zawodnik, jest większy niż poprzednio.

Świadczy o tym kierunek ruchu obrotowego kończyn górnych, który

Świadczy o tym kierunek ruchu obrotowego kończyn górnych, który

jest

jest

przeciwny do kierunku obrotów całego ciała w fazie lotu, czyli ze

przeciwny do kierunku obrotów całego ciała w fazie lotu, czyli ze

moment pędu kończyn odejmuje się od momentu pędu pozostałych

moment pędu kończyn odejmuje się od momentu pędu pozostałych

części ciała; nie przeszkadza to w pomyślnym wykonaniu pełnego

części ciała; nie przeszkadza to w pomyślnym wykonaniu pełnego

obrotu w fazie lotu. W tym opisie pominięto pęd uzyskany w fazie

obrotu w fazie lotu. W tym opisie pominięto pęd uzyskany w fazie

odbicia, konieczny do uniesienia ciała w górę.

odbicia, konieczny do uniesienia ciała w górę.

Przykładem ruchu obrotowego ciała człowieka wokół osi

Przykładem ruchu obrotowego ciała człowieka wokół osi

ustalonej może być kołowrót olbrzymi. Rozważamy warunki

ustalonej może być kołowrót olbrzymi. Rozważamy warunki

mechaniczne tego ćwiczenia. W ruchu tym następuje

mechaniczne tego ćwiczenia. W ruchu tym następuje

rozpraszanie energii mechanicznej przez tarcie (np. dłoni o

rozpraszanie energii mechanicznej przez tarcie (np. dłoni o

drążek) i opory powietrza. Co zatem powoduje, że gimnastyk

drążek) i opory powietrza. Co zatem powoduje, że gimnastyk

może wykonywać obroty wokół drążka, jakby do owych strat

może wykonywać obroty wokół drążka, jakby do owych strat

nie dochodziło?. Ktoś może odpowiedzieć, że zawodnik

nie dochodziło?. Ktoś może odpowiedzieć, że zawodnik

wykorzystując właśnie siłę tarcia pomiędzy drążkiem a

wykorzystując właśnie siłę tarcia pomiędzy drążkiem a

dłońmi, wytwarza siłę mięśni, np. zginaczy stawu

dłońmi, wytwarza siłę mięśni, np. zginaczy stawu

promieniowo nadgarstkowego, czyli moment siły

promieniowo nadgarstkowego, czyli moment siły

kompensujący stratę energii. Jeżeli byłaby to prawda to w jaki

kompensujący stratę energii. Jeżeli byłaby to prawda to w jaki

sposób mogą ten moment wytwarzać dzieci wykonujące

sposób mogą ten moment wytwarzać dzieci wykonujące

kołowrót na huśtawce, gdzie oś obrotu jest dobrze

kołowrót na huśtawce, gdzie oś obrotu jest dobrze

ułożyskowana (minimalne tarcie) i ponadto znajduje się poza

ułożyskowana (minimalne tarcie) i ponadto znajduje się poza

zasięgiem dłoni dziecka? Nie tu zatem tkwi rozwiązanie

zasięgiem dłoni dziecka? Nie tu zatem tkwi rozwiązanie

problemu. Może nam go dostarczyć dokładniejsza analiza

problemu. Może nam go dostarczyć dokładniejsza analiza

przebiegu ruchu: zauważamy, że przy wykonywaniu kołowrotu

przebiegu ruchu: zauważamy, że przy wykonywaniu kołowrotu

zawodnik wykonuje ruchy zginania i prostowania stawów

zawodnik wykonuje ruchy zginania i prostowania stawów

biodrowych. Zginanie odbywa się przy „podchodzeniu” do

biodrowych. Zginanie odbywa się przy „podchodzeniu” do

najwyższej pozycji, a prostowanie w jej pobliżu nieco później.

najwyższej pozycji, a prostowanie w jej pobliżu nieco później.

To zginanie i prostowanie powoduje przemieszczanie się

To zginanie i prostowanie powoduje przemieszczanie się

środka ciężkości zawodnika w kierunku do i od osi obrotu

środka ciężkości zawodnika w kierunku do i od osi obrotu

Oznacza to, że w najwyższym położeniu ponad

Oznacza to, że w najwyższym położeniu ponad

drążkiem w pozycji zgiętej energia potencjalna

drążkiem w pozycji zgiętej energia potencjalna

zawodnika jest mniejsza niż w pozycji

zawodnika jest mniejsza niż w pozycji

wyprostowanej. Podczas wykonywania obrotów

wyprostowanej. Podczas wykonywania obrotów

energia ta zmienia się w energie kinetyczną

energia ta zmienia się w energie kinetyczną

(całkowicie w pozycji, gdy środek ciężkości

(całkowicie w pozycji, gdy środek ciężkości

zawodnika przejmuje położenie najniższe), a

zawodnika przejmuje położenie najniższe), a

następnie ponownie w energię potencjalną. Część

następnie ponownie w energię potencjalną. Część

jej ulega rozproszeniu. Czyli, aby wykonać pełny

jej ulega rozproszeniu. Czyli, aby wykonać pełny

obrót, należy obniżyć poziom energii potencjalnej

obrót, należy obniżyć poziom energii potencjalnej

w położeniu najwyższym przy podchodzeniu (stąd

w położeniu najwyższym przy podchodzeniu (stąd

zginanie kończyn), a następnie, aby uzupełnić

zginanie kończyn), a następnie, aby uzupełnić

straty, ponownie (w okolicy położenia

straty, ponownie (w okolicy położenia

najwyższego), wykorzystując pracę mięśni

najwyższego), wykorzystując pracę mięśni

„podnieść” środek ciężkości, dodając tym samym

„podnieść” środek ciężkości, dodając tym samym

energii potencjalnej pozwalającej wykonać

energii potencjalnej pozwalającej wykonać

następny obrót.

następny obrót.

Tor ruchu środka ciężkości

Tor ruchu środka ciężkości

zawodnika wykonującego

zawodnika wykonującego

kołowrót olbrzymi

kołowrót olbrzymi

W przypadku ruchów obrotowych wykonywanych

W przypadku ruchów obrotowych wykonywanych

wokół osi swobodnych o przebiegu ruchu

wokół osi swobodnych o przebiegu ruchu

decyduje

decyduje

umiejętne wykorzystanie zasady zachowania

umiejętne wykorzystanie zasady zachowania

momentu

momentu

pędu. Mogą tu występować sytuację dwojakiego

pędu. Mogą tu występować sytuację dwojakiego

rodzaju:

rodzaju:

- zmiana prędkości kątowej ruchu przez zmianę

- zmiana prędkości kątowej ruchu przez zmianę

momentu bezwładności ciała

momentu bezwładności ciała

- wykonywanie ruchów obrotowych metodą

- wykonywanie ruchów obrotowych metodą

kociego

kociego

ogona.

ogona.

Przykładem pierwszego może być zmiana

Przykładem pierwszego może być zmiana

konfiguracji

konfiguracji

części ciała podczas wykonywania salta. Drugą

części ciała podczas wykonywania salta. Drugą

grupę

grupę

natomiast reprezentuje np. próba ratowania się

natomiast reprezentuje np. próba ratowania się

przed

przed

upadkiem skoczka narciarskiego przy

upadkiem skoczka narciarskiego przy

lądowaniu,

lądowaniu,

polegająca na wykonywania ruchów kończynami

polegająca na wykonywania ruchów kończynami

górnymi w płaszczyźnie strzałkowej,

górnymi w płaszczyźnie strzałkowej,

powodujących

powodujących

ruch pozostałej części ciała skoczka w kierunku

ruch pozostałej części ciała skoczka w kierunku

przeciwnym, zazwyczaj przywracającym je do

przeciwnym, zazwyczaj przywracającym je do

pionu.

pionu.

Symulowano liczbę możliwych obrotów ciała jakie

Symulowano liczbę możliwych obrotów ciała jakie

wykonuje gimnastyk podczas spadania (zeskoku)

wykonuje gimnastyk podczas spadania (zeskoku)

po wykonaniu kołowrotu olbrzymiego na drążku.

po wykonaniu kołowrotu olbrzymiego na drążku.

Wysokość z jakiej spada ciało, jest względnie

Wysokość z jakiej spada ciało, jest względnie

stała,

stała,

czas spadania wyznaczony przez przyspieszenie

czas spadania wyznaczony przez przyspieszenie

ziemskie jest ograniczony. Najlepsi gimnastycy

ziemskie jest ograniczony. Najlepsi gimnastycy

wykonują obecnie trzy obroty (salta) w czasie ok.

wykonują obecnie trzy obroty (salta) w czasie ok.

1,36 sekundy. Wykonanie czterech salt jest

1,36 sekundy. Wykonanie czterech salt jest

niemożliwe, jeżeli nie zmieni się warunków

niemożliwe, jeżeli nie zmieni się warunków

technicznych tj. wysokości lub elastyczności

technicznych tj. wysokości lub elastyczności

drążka

drążka

tak, by wydłużyć potrzebny czas spadania do ok. 2

tak, by wydłużyć potrzebny czas spadania do ok. 2

sekund.

sekund.

DZĘKUJEMY ZA

DZĘKUJEMY ZA

UWAGĘ

UWAGĘ