WYBÓR SCHEMATU PODSTAWOWEGO

i

k

k

i

1) Znane są wzory transformacyjne dla prętów:

oraz

A

B

kąt prosty

k

i



C

2







gdy podpora dla przypadku tworzy kąt inny niż 90º

to obowiązują wzory transformacyjne,

jak dla przypadku !

(udowodnić)

B

i

A

I)





Układ 2x kinematycznie niewyznaczalny

II)





 90







2



0

1





3



1

2

1

2

Układ 2x kinematycznie niewyznaczalny







;

0

1





wzory dla (1-2) dla obrotu tak jak dla
schematu



B

1





2



1



3



2



 

2

1



 

2

2



 

0

2

3





III)

1

2

1





2







 90

1



 

1

2



 

1

1



 

1

3



1

1





1

2





Układ 3x kinematycznie niewyznaczalny

wzory dla (1-2) jak dla schematu

A





2

1

;

;







2) Znane są wzory transformacyjne dla pręta:

i

k

i

k



identycznie dla

A’

B’

pod warunkiem, że





 180

C’

i

k

Ten pręt zachowuje się jak statycznie
wyznaczalny, tzn. obrót podpory o kąt
nie wywoła momentów zginających w pręcie:

k

k



k



1

2





wzory jak dla postać łańcucha
kinematycznego jak w poprzednim
przypadku

A’

I

układ 2 x kinematycznie
niewyznaczalny







;

I)

1

2





układ 2 x kinematycznie
niewyznaczalny







;

II)

wzory jak dla tzn. stan

nie wywoła się wewnętrznych w pręcie
(1-2)

C’

1

i

1









Łańcuch kinematyczny jak dla
przypadku poprzedniego

II

1

2

III)

Układ 3x kinematycznie niewyznaczalny





2

1

;

;











 180

wzory jak dla

postacie łańcucha kinematycznego (
) jak w poprzednim przypadku

A’

III

2

1

i

dla







1



2



SYMETRIA I ANTYSYMETRIA

oś symetrii

O

geometryczn
a

obciążenie

O

O

S

A

dla obciążenia
symetrycznego

S

2

1

2

1

















A

dla obciążenia
antysymetrycznego

2

1

2

1













S

dla
punktu
O

0

v

0

u

0

M







A

dla
punktu
O

0

v

0

u

0

M







1



2



2



1



1

2

1

- wykres M
dla pręta 1-
2 jest
zerowy -
u=0
- v=0

- wykres M
dla pręta 1-2
nie jest
zerowy

12

)

A

(

12

J

2

1

J



1

2

J

2

1

pozostałe warunki
przemieszczeniowe pozostają
zgodne z przemieszczeniami
całego układu

3)

S

A

Zadanie domowe: sprowadzić schemat 3) do obliczenia dwóch
schematów i

S A

2)

pręt w osi symetrii



przeguby występujące w prętach prostych

„blokada” do pręta
(podpora liniowa) →
niewiadomy przesuw



A

B

A

przegub łączący pręty
leżące na jednej prostej

B

przegub łączący pręty ,
które nie leżą na jednej
prostej

niekoniecznie

zawsze

INNE PRZYPADKI

zmienna sztywność pręta na jego długości (skokowa)

1

J

2

J





1

2

C

- pręt dzielimy na 2 odcinki (1-C) i (C-2)

- C staje się dodatkowym węzłem
wewnętrznym



niewiado

ma

 



- (1-C) i (C-2) leżą na jednej
prostej ; C ma możliwość
przesuwu poziomego



dodatkowa niewiadoma

 



zmienna sztywność o charakterze ciągłym

1



2



1



3



3



2



model

dodatkowe

dzielimy na skończoną
liczbę odcinków (prętów) o
stałej sztywności (EJ)



niewiadom
e





i

i

oraz





pręty zakrzywione aproksymuje się ciągiem prętów
prostych



kształt zmienia się w
sposób ciągły

rama; ciąg prętów
prostych krzywa
„łamana”



model

WZORY TRANSFORMACYJNE DLA PRĘTÓW PROSTYCH

O SPRĘŻYSTYCH PODPORACH

i



i

i

v

i

R

podatna podpora liniowa

k

1

f

;

f

1

k

k

v

R

;

f

v

R

k

R

v

;

f

R

v

i

i

i

i

i

i

i

i













liniowa:

f – podatność podpory

k – sztywność
podpory

i



i

M

podatna podpora
kątowa





































1

f

;

f

1

M

;

f

M

M

;

f

M

i

i

i

i

i

i

i

i



kątowa:

– sztywność podpory

– podatność podpory





f

Zadania:

1)

liniowa

i

k

i



L

Wymuszenie kinematyczne





















ik

i

k

k

i

k

L

v

v

v

i

v

oraz

rozwiązanie:

równanie różniczkowe
osi odkształconej

metoda sił

na podstawie wzorów
dla prętów o
niepodatnych
podporach

Metoda
sił:

i

k

1

X

ki

1

M

X 

Dane:

-obrót
podpory

-obrót pręta

k



ik





















L

v

v

i

k

ik

L

1

L

1

1

M

1

X

1





1















































i

i

2

i

L

0

2

1

11

K

3

1

EJ

3

L

L

1

EJ

1

1

3

2

L

1

2

1

1

L

1

L

1

dx

EJ

M

EJ

L

K

3

i

i







ik

k

k

i

k

p

1

v

L

1

v

L

1







































ik

k

11

p

1

1

3

K

K

L

EJ

3

X





























3

K

K

L

EJ

3

T

T

;

3

K

K

L

EJ

3

M

ik

k

2

ki

ik

ik

k

ki





























- brak
podpory

i



0

K

,

0

i







0

M

,

0

3

K

K

lim

ki

0

K

















K

,

i



1

K

3

1

1

lim

3

K

K

lim

K

K





















1

L

EJ

3

M

k

k

ki











- podpora
niepodatna

i



Wykorzystanie znanych wzorów

podpora niepodatna:

podpora podatna:





ik

i

o
ki

L

EJ

3

M









ki

M

ki

o
ki

ki

M

M

M







ki

M



- dodatkowy moment,
który powstanie przez
obrót pręta
wynikający z podatności
podpory





L

M

R

,

R

,

L

ki

i

i

i

i

i























i

2

ki

L

M











 











L

EJ

3

M

ki









ki

ik

k

i

2

ki

ik

k

ki

M

K

3

L

EJ

3

L

M

L

EJ

3

L

EJ

3

M









































ik

k

ki

ki

L

EJ

3

K

3

M

M



















K

3

K

L

EJ

3

M

ik

k

ki













2)

kątowa

EJ

L

K







i

k



L

Metoda
sił:

1

X

2

X

wymuszeni
e:

i



4

K

K

L

EJ

2

M

X

;

4

K

3

K

L

EJ

4

M

X

i

ki

2

i

ik

1



















przypadek

1)

0

K

,

0







0

4

K

K

lim

4

3

4

K

3

K

lim

0

K

0

K















0

M

L

3EJ

4

3

L

EJ

4

M

ki

i

i

ik











2)











K

,

1

4

K

K

lim

1

4

K

3

K

lim

K

K



















i

ki

i

ik

L

EJ

2

M

,

L

EJ

4

M









Sztywność podpory k

EJ

II sposób:

ki

i

ki

ik

i

ik

M

L

EJ

2

M

,

M

L

EJ

4

M

















M



- momenty wywołane dodatkowym obrotem podpory

k

;

M

ki

k











L

4EJ

M

L

2EJ

M

k

ki

k

ik





















2

ki

1

ik

X

M

;

X

M

















































2

i

2

2

i

1

X

L

EJ

4

L

EJ

2

X

X

L

EJ

2

L

EJ

4

X



4

K

K

L

EJ

2

X

4

K

3

K

L

EJ

4

X

i

2

i

1















inne przypadki:

i

k

i



i

k

i



k







itd….