Obwody prądu

sinusoidalnego ze

sprzężeniami

magnetycznymi

Zadanie 1

Obliczyć impedancję dwójników.
Dane:



= 10

6

rd/s,

L

1

= 5 mH,

L

2

= 1 mH,

k = 0.894
C

1

= 3 nF,

C

2

= 6 nF,

C

3

= 2 nF,

R

1

= 4 k,

R

2

= 2 k.

i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2

C

C

C

L

L

1

2

3

2

1

Dwójnik 1:

Metoda 1:

Rozwiązanie

z równań

Kirhhoffa:

















































0

1

2

1

2

2

1

1

U

I

I

jX

R

jX

jX

jX

R

L

M

M

L









 











 









































2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

M

L

L

M

M

L

L

L

jX

jX

R

jX

R

jX

U

I

jX

jX

R

jX

R

jX

R

U

I

i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2

Impedancja:

Jest równa:





 







2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

L

M

L

L

jX

R

jX

jX

R

jX

R

I

U

Z



















 





























k

e

j

j

j

j

j

I

U

Z

j



37

2

1

1

1

7

2

.

4

6

.

5

1

2

2

1

2

5

4

Dwójnik 1:

Metoda 2:

Układ równoważny bez sprzężeń i

zwijanie impedancji:

i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2

i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

L - M

L - M

R

R

M

1

1

2

2

1

2

1

2



 









M

M

L

M

M

L

M

L

jX

jX

jX

R

jX

jX

jX

R

jX

jX

R

Z



















2

2

2

2

1

1

1

Dwójnik 2:

Impedancja Z

M

: Rozwiązanie z równań

Kirhhoffa:













































M

M

L

M

M

L

U

U

I

I

jX

jX

jX

jX

2

1

2

1













 















 































2

2

1

1

2

2

2

1

2

1

M

L

L

M

M

L

M

M

L

L

M

M

L

M

jX

jX

jX

jX

U

jX

U

I

jX

jX

jX

jX

U

jX

U

I

Z

Z

M

C



C

C

C

i t( )

u t( )

i t( )

L

L

1

2

3

1

M

2

2

1









M

L

L

M

L

L

M

M

X

X

X

X

X

X

j

I

I

U

Z

2

2

1

2

2

1

2

1













Impedancja Z

C

:

Impedancja Z:











3

2

1

2

1

3

3

2

1

3

2

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

X

X

X

X

X

X

j

jX

jX

jX

jX

jX

jX

Z





































3

2

1

2

1

3

2

1

2

2

1

2

C

C

C

C

C

C

M

L

L

M

L

L

X

X

X

X

X

X

j

X

X

X

X

X

X

j

Z



























k

j

j

j

Z

148

.

0

1

248

.

0

10

1

Zadanie 2

Obliczyć prądy gałęziowe stosując
metodę oczkową. Dane: e(t)=
10cos(10

6

t+60) V,

L

1

= 5 mH,

L

2

= 2 mH,

C

1

= 0.5 nF,

C

2

= 0.16(6)

nF,
L

M

= 1 mH,

Z = -j1 k

Z

C

C

L

L

L

L

2

1

1

1

2

2

E

Układ równoważny bez

sprzężeń:

Reaktancje

obwodu

wynoszą:

X

L1

= 5 k,

X

L2

= 2 k,

X

C1

= 2 k,

X

C2

= 6 k,

X

M

= 1 k.

Z

C

C

L

- L

- L

- L

- L

L

L

L

L

L

2

1

M

M

M

M

M

M

1

1

2

2

E

Macierz
impedancji
obwodowych:
[Z

0

]=

Wektor

napięć

obwodowy

ch [E

0

]=













1

2

1

1

1

1

1

1

2

C

L

M

M

M

C

L

C

M

C

C

L

X

X

j

jX

jX

jX

Z

X

X

j

jX

jX

jX

X

X

j

















2

1

1

1

2

2

1

2

3

j

j

j

j

j

j

j

j

j













V

e

E

j

0

0

2

10

0

0

60





Z

C

C

L

- L

- L

- L

- L

L

L

L

L

L

2

1

M

M

M

M

M

M

1

1

2

2

E

Równanie prądów

obwodowych:

Przybiera postać:

Skąd: I

A

= 10e

-j30°

mA,

I

B

= 10e

j150°

mA, I

C

= 0 mA.

    

0

0

0

E

I

Z

































































0

0

2

10

2

1

1

1

2

2

1

2

3

60



j

C

B

A

e

I

I

I

j

j

j

j

j

j

j

j

j

Zadanie 3

Dobrać tak indukcyjność wzajemną
M, aby prąd i

1

(t) opóźniał napięcie

u

1

(t) o kąt /4. Narysować

orientacyjny wykres wskazowy
prądów i napięć. Dane:



= 10

7

rd/s,

L

1

= 0.3 mH,

L

2

= 0.3 mH,

R

1

= 1.8 k,

R

2

= 1 k.

i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2

Wskazówka

Wykorzystamy rozwiązanie zadania 1.
Wartość M wynika z przyrównania impedancji
do wymaganej wartości:

przy czym:

i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2





 







2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

L

M

L

L

jX

R

jX

jX

R

jX

R

I

U

Z



























jb

a

jX

R

X

R

R

X

j

X

X

X

R

R

Z

L

L

L

M

L

L

















2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

Części: rzeczywistą i urojoną wyrażają
wzory

:

uwzględniając warunek: tg



1

= 1,

otrzymuje:

Skąd:

























2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

L

M

L

L

L

L

L

L

L

L

L

M

L

L

X

R

X

X

X

R

R

X

X

R

R

X

R

b

X

R

X

R

R

X

X

X

X

X

R

R

R

a









































1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1























L

L

L

M

L

L

M

L

L

L

L

L

X

R

R

X

X

X

X

X

R

R

R

X

X

X

R

R

X

X

R

R

X

R

a

b

tg



Po przekształceniach:

Po wykonaniu obliczeń: M =  0.173

mH





 







2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

M

L

L

L

L

L

L

X

X

X

R

R

X

R

X

R

R

X

X

R























2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

R

R

X

X

X

R

X

R

R

X

X

R

X

L

L

L

L

L

L

M































73

.

1

8

.

1

9

2

.

4

M

X

Obliczenia do
wykresu
wskazowego dla
U=Ue

j0º

:

• Parametry impedancji Z

1

• Prąd I

1

z prawa Ohma:

• Prąd I

2

z prawa Kirhhoffa dla oczka 1:











k

j

jb

a

Z

1

.

2

1

.

2

1









1

.

2

3

2

42

.

0

1

.

2

6

1

42

.

0















b

a





mA

j

U

j

U

Z

U

I

238

.

0

238

.

0

1

.

2

1

.

2

1

1

1



















mA

j

U

jX

I

jX

R

U

I

M

L

82

.

0

167

.

0

1

1

1

1

2













i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2

Wykres wskazowy
dla: U=Ue

j0º

, U

= 1 V

Sem transformacji: U

M1

-

U

M2





mA

e

U

I

j



45

1

337

.

0









mA

e

U

I

j



26

2

185

.

0





i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2





V

e

U

U

j

L



45

1

00

.

1







V

e

U

U

j

L



64

2

558

.

0







V

e

U

U

j

M



64

1

32

.

0







V

e

U

U

j

M



45

2

58

.

0







V

e

U

U

j

R



45

1

607

.

0









V

e

U

U

j

R



26

2

185

.

0





-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

U

I

1

U

U

-U

U

U

-U

R1

L1

M1

L2

M2

R2

Zadanie 4

Korzystając z wyników rozwiązania
zadania 3, wyznaczyć rozpływ mocy
w obwodzie, Dane: U = 1 V, X

L1

=

X

L2

= 3 k,

X

M

= 1.73

k,
R

1

= 1.8 k,

R

2

= 1 k.

i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2

Wzory:

• Moc czynna w odbiorniku R

2

: P

2

= I

22

R

2

,

• Moc czynna w rezystancji R

1

: P

1

= I

12

R

1

,

• Moce bierne indukcyjności własnych L

1

, L

2

:

Q

1

= I

12

X

L1

, Q

2

= I

22

X

L2

,

• Moce pozorne zespolone sprzężenia: S

M1

=

U

M1

I

1*

, S

M2

= U

M2

I

2*

,

• Moc pozorna zespolona na wejściu: S = U

I

1*

,

• Jak rozpływają się moce ?

i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2

Przykładowe wyniki
obliczeń:

• S

M2

= U

M2

I

2*

= 0.58e

j45º

0.185e

j26º

= 0.107e

j71º

var = 34.8 + j102 mVA,

• P

2

= I

22

R

2

= (0.185)

2

*1 = 34.8 mW,

• Q

2

= I

22

X

L2

= (0.185)

2

*3 = 102 mvar,

• S

M1

= U

M1

I

1*

= 0.32e

j64º

0.337e

j45º

= 0.108e

j109º

var = -34.8 + j102 mVA,

• P

1

= I

12

R

1

= (0.337)

2

*1.8 = 204.4 mW,

• S = U

I

1*

= 10.337e

j45º

= 239.6 + j239 mVA,

• Jak rozpływają się moce ?

i t( )

u t( )

u t( )

i t( )

R

L

L

R

1

1

2

2

1

1

2

2

Zadanie 5

Obliczyć impedancję dwójnika.
Dane:



= 10

6

rd/s,

L

1

= 2 mH,

L

2

= 2 mH,

M = 1 mH,
C = 1 nF,
R = 1 k.

C

i t( )

u t( )

i t( )

L

L

R

2

1

1

2