Obwody Elektryczne 2

Doc. dr inż. Hanna Morawska

Zakład Elektrotechniki Teoretycznej

Instytut Elektrotechniki Teoretycznej,
Metrologii i Materiałoznawstwa

Tel.[phone]
mail: [e-mail]
lub [e-mail]

Konsultacje:
środa, godz. 13:30- 15:00

Podstawowe właściwości liczb

zespolonych



j

e

X

jb

a

x







Postać algebraiczna

Postać
wykładnicza

a

- cześć rzeczywista
liczby x

b

- część urojona
liczby x

Re x

Im x

x

a

b



X

- moduł liczby x



- argument liczby x

2

j

e

1

-

j







2

j

-

e

j

-





j

e

j

j

j

j

j

















2

2

1

1

)

(

1





-j

e

j

X

b

a

x









liczba zespolona sprzężona z
x

2

2

2

b

a

X

e

X

e

X

x

x

j

j



















Wzór
Eulera











jsin

cos

e

j

to

Ponieważ











sin

cos

e

j

j

j

X

X

b

a

x











Jak przejść z jednej postaci do
drugiej ?

2

2

b

a

X





2

2

2

2

sin

cos

b

a

b

b

a

a













oraz





sin

cos

X

b

X

a





postać
trygonometryczna

Re x

Im x

x

a

b



UWAGA!!! Jeżeli

a > 0

2

2













a < 0

a

b

tg

arc





2















lu
b











2

a

tg

arc

b









a

b

Im

Re

a

b

Im

Re











2

2

2













a

b

Im

Re

2















a

b

tg

arc











b

a

x

j





I lub IV ćwiartka

II ćwiartka

III ćwiartka

Podstawowe obliczenia dla liczb
zespolonych

)]

(

)

[(

)

)(

(

ad

bc

j

bd

ac

jd

c

jb

a













2

2

)

(

)

(

)

)(

(

)

)(

(

d

c

ad

bc

j

bd

ac

jd

c

jd

c

jd

c

jb

a

jd

c

jb

a

























)

(

)

(

)

(

)

(

d

b

j

c

a

jd

c

jb

a















)

(

)

(

)

(

)

(

d

b

j

c

a

jd

c

jb

a















Przedstawimy liczbę daną w postaci algebraicznej w postaci
wykładniczej:

20

10 j

x





3

,

22

5

10

400

100

20

10

2

2













X



44

,

63

10

20



arctg



więc



44

,

63

3

,

22

20

10

j

e

j

x







A)

B)

20

30 j

x





05

.

36

1300

400

900

)

20

(

30

2

2















X



69

.

33

30

)

20

(







arctg





69

.

33

05

.

36

20

30

j

e

j

x









60

40 j

x







C)

11

,

72

5200

60

)

40

(

2

2











X









69

.

123

31

.

56

180

40

60

180











arctg





69

,

123

11

,

72

60

40

j

e

j

x









D)

50

20 j

x







85

.

53

2900

)

50

(

)

20

(

2

2













X

0

0

0

0

82

,

111

2

,

68

180

20

50

180

















arctg



0

82

.

111

85

.

53

50

20

j

e

j

x











20



x

0





E)

10

10

2





X



0

10

10

j

e

x





30





x

30

)

30

(

2







X



180









180

30

30

j

e

x







E)



180





lub

F)

50

j

x 

50

50

2





X



90







90

50

50

j

e

j

x





20

j

x 



20

)

20

(

2







X

o

90







o

j

e

j

x

90

20

20









o

o

o

o

o

j

j

j

j

e

e

e

e

15

)

60

45

(

60

45

2

10

20

10

20









o

o

o

o

o

j

j

j

j

e

e

e

e

30

)

30

60

(

30

60

600

600

20

30











Metoda symboliczna

Metoda ta polega na zamodelowaniu przebiegów
sinusoidalnych prądów i napięć za pomocą
liczb zespolonych.











sin

j

cos

e

j

Wzór Eulera

Im(A)

Re(A)

A



A

a=Re(A
)

b=Im(A)

Podstawowe zależności metody symbolicznej:

















x

x

m

t

j

m

mt

t

sin

j

t

cos

X

e

X

X

x



























Wprowadzimy zespoloną funkcję czasu:









)

t

(

x

t

sin

X

X

Im

x

m

mt



















)

t

(

x

t

cos

X

X

Re

x

m

mt















x

m

t

X

t

x









sin

)

(

Chcemy zamodelować funkcję sinus:

Definicja wartości symbolicznej

(zespolonej) wielkości sinusoidalnej

Wartością symboliczną (

zespoloną

) wielkości

sinusoidalnie zmiennej:





x

m

t

sin

X

)

t

(

x









nazywamy wyrażenie postaci:

x

j

e

X

X





gdzie

2

X

X

m



jest wartością skuteczną
funkcji sinusoidalnej x(t)

x



jest fazą początkową
funkcji sinusoidalnej x(t)





t

j

Xe

2

Im

)

t

(

x

















)

t

(

x

)

t

sin(

X

e

X

Im

e

e

X

2

Im

Xe

2

Im

)

t

(

x

x

m

)

t

(

j

m

t

j

j

t

j

x

x



































X

m

x



t











x

m

t

sin

X

)

t

(

x









Wskaz ruchomy

Im(X

mt

)

Re(X

mt

)

Jak przejść od praw obwodowych
zapisanych dla wartości chwilowych
do zależności dla wartości zespolonych?

Chcemy zbudować zależności
dla prądów i napięć dla elementów idealnych:
opornika, cewki i kondensatora

Ri

u 

dt

di

L

u 

dt

du

C

i 

oraz prawa Kirchhoffa.

Lemat 1

J

eż

e

l

i

k



j

e

s

t

l

i

c

z

bą

r

z

e

c

z

y

w

i

s

t

ą

,

z

a

ś

)

(

t

z

k

z

e

s

p

o

l

o

ną

f

u

n

k

c

j

ą

c

z

a

s

u

(

k

=

1

,

.

.

.

m

)

,

t

o





)

(

Im

)

(

Im

1

1

t

z

t

z

k

m

k

k

m

k

k

k























Lemat 2

Jeżeli

,

2

t

j

mt

Xe

X





gdzie

j

e

x

X

X





to













mt

mt

mt

X

j

X

dt

d

X

dt

d



Im

Im

Im

















Lemat 3

Jeżeli









t

j

Be

t





Im

Ae

Im

:

t

j





gdzie A i B są liczbami zespolonymi to:

B

A







m

k

k

i

1

0





t

j

k

k

e

I

i



2

Im







0

2

Im

1







t

j

k

m

k

e

I



Korzystamy z LEMATU 1:

0

2

Im

1



















m

k

t

j

k

e

I



)

0

Im(

2

Im

1

t

j

m

k

t

j

k

e

e

I























Lemat 3

0

1







m

k

k

I

Prawa Kirchhoffa - PPK

0

1







m

k

k

I

PPK:







n

k

k

u

1

0





t

j

k

k

e

U

u



2

Im







0

2

Im

1







t

j

k

n

k

e

U



Korzystamy z LEMATU 1:

0

2

Im

1



















n

k

t

j

k

e

U



)

e

Im(

e

U

Im

t

j

m

k

t

j

k





0

2

1



















Lemat 3

0

1







n

k

k

U

Prawa Kirchhoffa - NPK

0

1







n

k

k

U

NPK:









sin

2

)

(

sin

2

)

(

i

u

t

I

t

i

t

U

t

u

















Niech:





t

j

Ue



2

Im







t

j

e

I



2

Im



gdzie

u

j

e

U

U





i

j

e

I

I





Prawo Ohma

Ri

u 









t

j

t

j

Ie

R

Ue





2

Im

2

Im



Lemat 3

Lemat 1

RI

U 

i

u

j

j

e

I

R

e

U







I

R

U



i

u







0







i

u







I

U

R

i

u

R

Orawo Ohma dla opornika

U

I

i

u







I

U

R

i

j

e

I

R

U

I

R

U







dt

di

L

u 

Lemat 3

Lemat 1i2

LI

j

U















 



2







i

u

j

j

e

I

L

e

U

I

L

U





2











i

u

2















i

u





















t

j

t

j

t

j

t

j

Ie

L

j

Ie

j

L

Ie

dt

d

L

Ue













2

Im

2

Im

2

Im

2

Im







L

i

u

L

I

U

Prawo Ohma dla cewki

U

I

u



i



2















i

u

L

I

U

)

2

(















i

j

e

I

L

U

I

L

j

U

dt

du

C

i 

Lemat 3

Lemat 1i2

CU

j

I





















2







u

i

j

j

e

U

C

e

I

U

C

I





2











u

i

2

















i

u





















t

j

t

j

t

j

t

j

Ue

C

j

Ue

j

C

Ue

dt

d

C

Ie













2

Im

2

Im

2

Im

2

Im







C

i

u

C

I

U

Prawo Ohma dla kondensatora

U

I

u



i



2

















i

u

C

I

U

)

2

(

1

1

















i

j

e

I

C

U

I

C

j

U

RI

U 

LI

j

U





CU

j

I





I

C

j

I

C

j

U





1

1







Wykład 2

1. Impedancja

2. Admitancja

3. Obliczanie prostych obwodów

prądu sinusoidalnego

metodą symboliczną

u

j

e

U

U





i

j

e

I

I





Prądy i napięcia będziemy zapisywać w postaci:

Definicja:

Impedancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych napięcia i prądu

I

U

Z 





i

u

i

u

j

j

j

e

I

U

e

I

e

U

I

U

Z

















RI

U 

LI

j

U





CU

j

I





R

I

U

Z





Impedancja

L

j

I

U

Z







C

j

I

U

Z



1







Definicja:

Admitancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych prądu i napięcia

U

I

Y 





u

i

u

i

j

j

j

e

U

I

e

U

e

I

U

I

Y



















j

e

Z

Z

Y







1

1



j

e

Z

Z 

RI

U 

LI

j

U





CU

j

I





G

R

U

I

Y

R







1

Admitancjancja

L

j

U

I

Y

L



1







C

j

U

I

Y

C







0

0

1

2

2

2

2























L

L

B

L

X

B

G

B

j

B

G

G

jB

G

L

j

R

Z





Połączenie szeregowe RL

R

L

U

L

U

R

I

U





L

R

U

U

L

jI

IR

L

j

R

I

IZ

U





















I

U

R

U

L

U



R

L







tg

Połączenie szeregowe RC

R

C

U

L

U

R

I

U

U

R

I

U

C

U

0

0

1

1

1

2

2

2

2



























C

B

C

X

B

G

B

j

B

G

G

jB

G

C

j

R

Z

C

C









C

R

U

U

C

jI

IR

C

j

R

I

IZ

U

































1

1

CR





1

tg





Zależności między R i G oraz X i B

2

2

B

G

G

R





2

2

B

G

B

X















2

2

2

2

1

B

G

B

j

B

G

G

jB

G

jB

G

jB

G

jB

G

jX

R

Z























