WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

1. Procent Prosty

1. Procent Prosty



Odsetki w kolejnych latach naliczane są zawsze od wartości

Odsetki w kolejnych latach naliczane są zawsze od wartości

początkowej (PV) ulokowanego kapitału.

początkowej (PV) ulokowanego kapitału.



Nie następuje okresowa kapitalizacja odsetek, czyli dopisanie

Nie następuje okresowa kapitalizacja odsetek, czyli dopisanie

naliczonych odsetek do wartości początkowej.

naliczonych odsetek do wartości początkowej.



Wartość przyszła (FV) jest obliczana zgodnie z poniższym

Wartość przyszła (FV) jest obliczana zgodnie z poniższym

wzorem:

wzorem:

Gdzie:

Gdzie:



PV – wartość początkowa zainwestowanego kapitału

PV – wartość początkowa zainwestowanego kapitału



FV – wartość przyszła zainwestowanego kapitału

FV – wartość przyszła zainwestowanego kapitału



n – liczba okresów bazowych

n – liczba okresów bazowych



i – stopa procentowa

i – stopa procentowa





ni

PV

FV







1





ni

PV

FV







1

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Przykład 1.

Przykład 1.

Na rachunku terminowym w banku ulokowano kwotę 125 000

Na rachunku terminowym w banku ulokowano kwotę 125 000

PLN na 7 lat. Rachunek jest oprocentowany stopą 3,76 % w

PLN na 7 lat. Rachunek jest oprocentowany stopą 3,76 % w

stosunku rocznym. Oblicz wartość zainwestowanego kapitału

stosunku rocznym. Oblicz wartość zainwestowanego kapitału

po siedmiu latach przy założeniu oprocentowania prostego.

po siedmiu latach przy założeniu oprocentowania prostego.

PV = 125 000 PLN

PV = 125 000 PLN

n = 7 lat

n = 7 lat

i = 3,76 %

i = 3,76 %

FV = 125 000 PLN x (1 + 7 x 0,0376) =

FV = 125 000 PLN x (1 + 7 x 0,0376) =

157 900 PLN

157 900 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Przykład 2.

Przykład 2.

Jaką kwotę powinno się wpłacić na rachunek terminowy w

Jaką kwotę powinno się wpłacić na rachunek terminowy w

banku oprocentowany stopą 4,33 % aby po 6 latach uzyskać

banku oprocentowany stopą 4,33 % aby po 6 latach uzyskać

150 000 PLN przy założeniu oprocentowania prostego.

150 000 PLN przy założeniu oprocentowania prostego.

FV = 150 000 PLN

FV = 150 000 PLN

n = 6 lat

n = 6 lat

i = 4,33 %

i = 4,33 %

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

PV = 150 000 PLN / (1 + 6 x 0,0433) =

PV = 150 000 PLN / (1 + 6 x 0,0433) =

119 067 PLN

119 067 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

2. Procent Złożony (kapitalizacja zgodna)

2. Procent Złożony (kapitalizacja zgodna)



Odsetki podlegają okresowej kapitalizacji powiększając tym

Odsetki podlegają okresowej kapitalizacji powiększając tym

samym podstawę naliczania odsetek na rachunku terminowym,

samym podstawę naliczania odsetek na rachunku terminowym,



Okres stopy procentowej jest tożsamy z okresem kapitalizacji

Okres stopy procentowej jest tożsamy z okresem kapitalizacji

odsetek

odsetek



Wartość przyszła (FV) jest naliczana zgodnie z poniższym

Wartość przyszła (FV) jest naliczana zgodnie z poniższym

wzorem

wzorem

Gdzie:

Gdzie:



PV – wartość początkowa zainwestowanego kapitału

PV – wartość początkowa zainwestowanego kapitału



FV – wartość przyszła zainwestowanego kapitału

FV – wartość przyszła zainwestowanego kapitału



n – liczba okresów bazowych

n – liczba okresów bazowych



i – stopa procentowa

i – stopa procentowa

 

n

i

PV

FV







1

 

n

i

PV

FV







1

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Przykład 3.

Przykład 3.

Na rachunku terminowym w banku ulokowano kwotę 125 000

Na rachunku terminowym w banku ulokowano kwotę 125 000

PLN na 7 lat. Rachunek jest oprocentowany stopą 3,76 % w

PLN na 7 lat. Rachunek jest oprocentowany stopą 3,76 % w

stosunku rocznym. Oblicz wartość zainwestowanego kapitału

stosunku rocznym. Oblicz wartość zainwestowanego kapitału

po siedmiu latach przy założeniu oprocentowania złożonego.

po siedmiu latach przy założeniu oprocentowania złożonego.

PV = 125 000 PLN

PV = 125 000 PLN

n = 7 lat

n = 7 lat

i = 3,76 %

i = 3,76 %

FV = 125 000 PLN x (1 + 0,0376)

FV = 125 000 PLN x (1 + 0,0376)

7

7

=

=

161 852 , 60 PLN

161 852 , 60 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Przykład 4.

Przykład 4.

Jaką kwotę powinno się wpłacić na rachunek terminowy w

Jaką kwotę powinno się wpłacić na rachunek terminowy w

banku oprocentowany stopą 4,33 % aby po 6 latach uzyskać

banku oprocentowany stopą 4,33 % aby po 6 latach uzyskać

150 000 PLN przy założeniu oprocentowania złożonego.

150 000 PLN przy założeniu oprocentowania złożonego.

PV = 150 000 PLN

PV = 150 000 PLN

n = 6 lat

n = 6 lat

i = 4,33 %

i = 4,33 %

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

FV = 150 000 PLN / (1 + 0,0433)

FV = 150 000 PLN / (1 + 0,0433)

6

6

=

=

116 315 , 10 PLN

116 315 , 10 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

3. Porównanie wartości zainwestowanego kapitału w

3. Porównanie wartości zainwestowanego kapitału w

czasie oprocentowania prostego i złożonego.

czasie oprocentowania prostego i złożonego.

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

4. Procent Złożony (kapitalizacja niezgodna)

4. Procent Złożony (kapitalizacja niezgodna)



Odsetki podlegają okresowej kapitalizacji powiększając tym

Odsetki podlegają okresowej kapitalizacji powiększając tym

samym podstawę naliczania odsetek na rachunku terminowym,

samym podstawę naliczania odsetek na rachunku terminowym,



Okres stopy procentowej nie jest tożsamy z okresem

Okres stopy procentowej nie jest tożsamy z okresem

kapitalizacji odsetek

kapitalizacji odsetek



Wartość przyszła (FV) jest naliczana zgodnie z poniższym

Wartość przyszła (FV) jest naliczana zgodnie z poniższym

wzorem

wzorem

Gdzie:

Gdzie:



PV – wartość początkowa zainwestowanego kapitału

PV – wartość początkowa zainwestowanego kapitału



FV – wartość przyszła zainwestowanego kapitału

FV – wartość przyszła zainwestowanego kapitału



n – liczba okresów bazowych

n – liczba okresów bazowych



i – stopa procentowa w stosunku rocznym

i – stopa procentowa w stosunku rocznym



k – okres kapitalizacji (miesięczna – 12, kwartalna – 4,

k – okres kapitalizacji (miesięczna – 12, kwartalna – 4,

półroczna – 2, roczna – 1, dwuletnia – 0,5 itp.)

półroczna – 2, roczna – 1, dwuletnia – 0,5 itp.)





k

n

k

i

PV

FV









1





k

n

k

i

PV

FV









1

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Przykład 5.

Przykład 5.

Na rachunku terminowym w banku ulokowano kwotę 125 000

Na rachunku terminowym w banku ulokowano kwotę 125 000

PLN na 7 lat. Rachunek jest oprocentowany stopą 3,76 % w

PLN na 7 lat. Rachunek jest oprocentowany stopą 3,76 % w

stosunku rocznym. Oblicz wartość zainwestowanego kapitału

stosunku rocznym. Oblicz wartość zainwestowanego kapitału

po siedmiu latach przy założeniu oprocentowania złożonego

po siedmiu latach przy założeniu oprocentowania złożonego

oraz miesięcznej kapitalizacji odsetek.

oraz miesięcznej kapitalizacji odsetek.

PV = 125 000 PLN

PV = 125 000 PLN

n = 7 lat

n = 7 lat

i = 3,76 %

i = 3,76 %

k = 12

k = 12

FV = 125 000 PLN x (1 + 0,0376/12)

FV = 125 000 PLN x (1 + 0,0376/12)

7x12

7x12

=

=

162 569 , 00 PLN

162 569 , 00 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Przykład 6.

Przykład 6.

Jaką kwotę powinno się wpłacić na rachunek terminowy w

Jaką kwotę powinno się wpłacić na rachunek terminowy w

banku oprocentowany stopą 4,33 % aby po 6 latach uzyskać

banku oprocentowany stopą 4,33 % aby po 6 latach uzyskać

150 000 PLN przy założeniu oprocentowania złożonego oraz

150 000 PLN przy założeniu oprocentowania złożonego oraz

kapitalizacji kwartalnej.

kapitalizacji kwartalnej.

PV = 150 000 PLN

PV = 150 000 PLN

n = 6 lat

n = 6 lat

i = 4,33 %

i = 4,33 %

k = 4

k = 4

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

FV = 110 959,40 PLN / (1 + 0,0433/4)

FV = 110 959,40 PLN / (1 + 0,0433/4)

6x4

6x4

=

=

116 315 , 10 PLN

116 315 , 10 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

5. Porównanie wartości zainwestowanego kapitału w

5. Porównanie wartości zainwestowanego kapitału w

czasie oprocentowania prostego i złożonego.

czasie oprocentowania prostego i złożonego.

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

6. Efektywna roczna stopa procentowa

6. Efektywna roczna stopa procentowa



Im częściej następuje kapitalizacja odsetek (dopisanie ich do

Im częściej następuje kapitalizacja odsetek (dopisanie ich do

ulokowanego kapitału) tym większa jest wartość końcowa

ulokowanego kapitału) tym większa jest wartość końcowa

zainwestowanego kapitału.

zainwestowanego kapitału.



Zwrot z zainwestowanego kapitału w stosunku rocznym jest

Zwrot z zainwestowanego kapitału w stosunku rocznym jest

zatem wyższy niż wynikało by to z podawanej w stosunku

zatem wyższy niż wynikało by to z podawanej w stosunku

rocznym stopy procentowej stanowiącej podstawę naliczania

rocznym stopy procentowej stanowiącej podstawę naliczania

odsetek.

odsetek.



Zwrot w stosunku rocznym będzie równy rocznej efektywnej

Zwrot w stosunku rocznym będzie równy rocznej efektywnej

stopie procentowej, którą można obliczyć posługując się

stopie procentowej, którą można obliczyć posługując się

następującym wzorem:

następującym wzorem:

Gdzie:

Gdzie:



i

i

ef

ef

– efektywna roczna stopa procentowa

– efektywna roczna stopa procentowa



i

i

r

r

– stopa procentowa w stosunku rocznym

– stopa procentowa w stosunku rocznym



k – kapitalizacja odsetek

k – kapitalizacja odsetek





1

1







k

r

ef

k

i

i





1

1







k

r

ef

k

i

i

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Przykład 7.

Przykład 7.

Jaka jest efektywna roczna stopa procentowa dla stopy rocznej

Jaka jest efektywna roczna stopa procentowa dla stopy rocznej

4,33% przy założeniu kapitalizacji miesięcznej

4,33% przy założeniu kapitalizacji miesięcznej

i

i

ef

ef

= 150 000 PLN

= 150 000 PLN

i

i

r

r

= 4,33%

= 4,33%

k = 12

k = 12

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

i

i

ef

ef

= (1 + 0,0433/12)

= (1 + 0,0433/12)

^12

^12

– 1 = 0,0442

– 1 = 0,0442

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

7. Przydatne przekształcenia wzorów (procent złożony)

7. Przydatne przekształcenia wzorów (procent złożony)



Przy znanych PV, FV oraz n – stopę procentową obliczamy

Przy znanych PV, FV oraz n – stopę procentową obliczamy

następującym wzorem:

następującym wzorem:



Przy znanych PV,FV oraz i – liczbę okresów obliczamy

Przy znanych PV,FV oraz i – liczbę okresów obliczamy

następującym wzorem:

następującym wzorem:

1

















n

PV

FV

i

1

















n

PV

FV

i

 

i

PV

FV

n

















1

ln

ln

 

i

PV

FV

n

















1

ln

ln

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

8. Przydatne przekształcenia wzorów

8. Przydatne przekształcenia wzorów

(procent złożony – kapitalizacja niezgodna)

(procent złożony – kapitalizacja niezgodna)



Przy znanych PV, FV oraz n i k – stopę procentową obliczamy

Przy znanych PV, FV oraz n i k – stopę procentową obliczamy

następującym wzorem:

następującym wzorem:



Przy znanych PV,FV oraz i i k – liczbę okresów obliczamy

Przy znanych PV,FV oraz i i k – liczbę okresów obliczamy

następującym wzorem:

następującym wzorem:











 

















k

i

k

PV

FV

n

1

ln

ln











 

















k

i

k

PV

FV

n

1

ln

ln





















1

k

n

PV

FV

k

i





















1

k

n

PV

FV

k

i

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

8. Annuitety (Renty)

8. Annuitety (Renty)



Regularne, stałe, równe co do wartości strumienie przepływu

Regularne, stałe, równe co do wartości strumienie przepływu

gotówki (zarówno wpływy jak i wydatki) pojawiające się w

gotówki (zarówno wpływy jak i wydatki) pojawiające się w

równych odstępach czasu,

równych odstępach czasu,



Do regularnych płatności możemy zaliczyć płatności odsetek od

Do regularnych płatności możemy zaliczyć płatności odsetek od

obligacji, opłaty leasingowe, spłaty rat niektórych rodzajów

obligacji, opłaty leasingowe, spłaty rat niektórych rodzajów

kredytów

bankowych,

regularne

wpływy

i

wydatki

kredytów

bankowych,

regularne

wpływy

i

wydatki

przedsiębiorstw itp,

przedsiębiorstw itp,



Wszelkie obliczenia związane z wyznaczaniem wartości przyszłej

Wszelkie obliczenia związane z wyznaczaniem wartości przyszłej

(FV) oraz wartości obecnej (PV) annuitetów będą się opierały na

(FV) oraz wartości obecnej (PV) annuitetów będą się opierały na

metodach obliczeniowych związanych z oprocentowaniem

metodach obliczeniowych związanych z oprocentowaniem

złożonym,

złożonym,



Bardzo istotnym aspektem obliczeń związanych z annuitetami

Bardzo istotnym aspektem obliczeń związanych z annuitetami

jest uwzględnienie w rachunku momentu występowania

jest uwzględnienie w rachunku momentu występowania

płatności w okresie. Z reguły rozpatrywane są dwa przypadki:

płatności w okresie. Z reguły rozpatrywane są dwa przypadki:

1.

1.

Płatność przypada na początek okresu (mówimy wtedy

Płatność przypada na początek okresu (mówimy wtedy

annuitecie płatnym z góry),

annuitecie płatnym z góry),

2.

2.

Płatność przypada na koniec okresu (mówimy wtedy

Płatność przypada na koniec okresu (mówimy wtedy

annuitecie płatnym z dołu),

annuitecie płatnym z dołu),

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

8. Annuitety (Renty)

8. Annuitety (Renty)



Regularne, stałe, równe co do wartości strumienie przepływu

Regularne, stałe, równe co do wartości strumienie przepływu

gotówki (zarówno wpływy jak i wydatki) pojawiające się w

gotówki (zarówno wpływy jak i wydatki) pojawiające się w

równych odstępach czasu,

równych odstępach czasu,



Do regularnych płatności możemy zaliczyć płatności odsetek od

Do regularnych płatności możemy zaliczyć płatności odsetek od

obligacji, opłaty leasingowe, spłaty rat niektórych rodzajów

obligacji, opłaty leasingowe, spłaty rat niektórych rodzajów

kredytów

bankowych,

regularne

wpływy

i

wydatki

kredytów

bankowych,

regularne

wpływy

i

wydatki

przedsiębiorstw itp,

przedsiębiorstw itp,



Wszelkie obliczenia związane z wyznaczaniem wartości przyszłej

Wszelkie obliczenia związane z wyznaczaniem wartości przyszłej

(FV) oraz wartości obecnej (PV) annuitetów będą się opierały na

(FV) oraz wartości obecnej (PV) annuitetów będą się opierały na

metodach obliczeniowych związanych z oprocentowaniem

metodach obliczeniowych związanych z oprocentowaniem

złożonym,

złożonym,



Bardzo istotnym aspektem obliczeń związanych z annuitetami

Bardzo istotnym aspektem obliczeń związanych z annuitetami

jest uwzględnienie w rachunku momentu występowania

jest uwzględnienie w rachunku momentu występowania

płatności w okresie. Z reguły rozpatrywane są dwa przypadki:

płatności w okresie. Z reguły rozpatrywane są dwa przypadki:

1.

1.

Płatność przypada na początek okresu (mówimy wtedy

Płatność przypada na początek okresu (mówimy wtedy

annuitecie płatnym z góry),

annuitecie płatnym z góry),

2.

2.

Płatność przypada na koniec okresu (mówimy wtedy

Płatność przypada na koniec okresu (mówimy wtedy

annuitecie płatnym z dołu),

annuitecie płatnym z dołu),

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^4

^4

1215,5

1215,5

1

1

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^3

^3

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^2

^2

1157,6

1157,6

2

2

1102,5

1102,5

0

0

1050,0

1050,0

0

0

1000,0

1000,0

0

0

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^1

^1

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^0

^0

5525,63

5525,63

Wartość przyszłą (FV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

Wartość przyszłą (FV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

 

i

i

R

FV

n

1

1









 

i

i

R

FV

n

1

1









jeżeli płatności dokonywane są na końcu każdego okresu!

jeżeli płatności dokonywane są na końcu każdego okresu!

1000

1000

1

1

1000

1000

2

2

1000

1000

3

3

1000

1000

4

4

1000

1000

5

5

FV Renty płatnej z dołu

FV Renty płatnej z dołu

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^5

^5

1276,2

1276,2

8

8

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^4

^4

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^3

^3

1215,5

1215,5

1

1

1157,6

1157,6

2

2

1102,5

1102,5

0

0

1050,0

1050,0

0

0

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^2

^2

1000 x

1000 x

(1+0,05)

(1+0,05)

^1

^1

5801,91

5801,91

Wartość przyszłą (FV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

Wartość przyszłą (FV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

 

)

1

(

1

1

i

i

i

R

FV

n













 

)

1

(

1

1

i

i

i

R

FV

n













jeżeli płatności dokonywane są na początku każdego okresu!

jeżeli płatności dokonywane są na początku każdego okresu!

1000

1000

1

1

1000

1000

2

2

1000

1000

3

3

1000

1000

4

4

1000

1000

5

5

FV Renty płatnej z góry

FV Renty płatnej z góry

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^5

^5

]

]

952,38

952,38

907,03

907,03

863,84

863,84

822,70

822,70

783,53

783,53

4329,48

4329,48

Wartość obecną (PV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

Wartość obecną (PV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

 

i

i

R

PV

n











1

1

 

i

i

R

PV

n











1

1

jeżeli płatności dokonywane są na końcu każdego okresu!

jeżeli płatności dokonywane są na końcu każdego okresu!

1000

1000

1

1

1000

1000

2

2

1000

1000

3

3

1000

1000

4

4

1000

1000

5

5

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^4

^4

]

]

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^3

^3

]

]

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^2

^2

]

]

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^1

^1

]

]

PV Renty płatnej z dołu

PV Renty płatnej z dołu

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^4

^4

]

]

1000,0

1000,0

0

0

952,38

952,38

907,03

907,03

863,82

863,82

822,70

822,70

4545,95

4545,95

Wartość obecną (PV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

Wartość obecną (PV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

 

 

i

i

i

R

PV

n















1

1

1

 

 

i

i

i

R

PV

n















1

1

1

jeżeli płatności dokonywane są na końcu każdego okresu!

jeżeli płatności dokonywane są na końcu każdego okresu!

1000

1000

1

1

1000

1000

2

2

1000

1000

3

3

1000

1000

4

4

1000

1000

5

5

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^3

^3

]

]

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^2

^2

]

]

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^1

^1

]

]

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^0

^0

]

]

PV Renty płatnej z góry

PV Renty płatnej z góry

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

8. Wartość Bieżąca Netto (NPV)

8. Wartość Bieżąca Netto (NPV)



Inwestorzy bardzo często posiadają pewne wolne środki, które

Inwestorzy bardzo często posiadają pewne wolne środki, które

chcą przeznaczyć na inwestycję, która ma dać im w przyszłości

chcą przeznaczyć na inwestycję, która ma dać im w przyszłości

regularne wpływy o określonej wartości,

regularne wpływy o określonej wartości,



Jeżeli znane są konieczne do poniesienia wydatki inwestycyjne

Jeżeli znane są konieczne do poniesienia wydatki inwestycyjne

oraz możliwe do uzyskania dzięki nim regularne wpływy w

oraz możliwe do uzyskania dzięki nim regularne wpływy w

przyszłości

to

można

ocenić

opłacalność

takiego

przyszłości

to

można

ocenić

opłacalność

takiego

przedsięwzięcia konfrontując je z alternatywną możliwą do

przedsięwzięcia konfrontując je z alternatywną możliwą do

uzyskania przez inwestora na rynku stopą zwrotu z dowolnej

uzyskania przez inwestora na rynku stopą zwrotu z dowolnej

innej inwestycji,

innej inwestycji,



Jako alternatywną stopę zwrotu najczęściej przyjmuje się taką

Jako alternatywną stopę zwrotu najczęściej przyjmuje się taką

formę ulokowania posiadanych środków, która jest wolna od

formę ulokowania posiadanych środków, która jest wolna od

ryzyka np. porównuje się przedsięwzięcie inwestycyjne z

ryzyka np. porównuje się przedsięwzięcie inwestycyjne z

możliwością ulokowania posiadanych środków w obligacje

możliwością ulokowania posiadanych środków w obligacje

emitowane przez skarb państwa,

emitowane przez skarb państwa,



Pierwszym etapem jest obliczenie wartości bieżącej szeregu

Pierwszym etapem jest obliczenie wartości bieżącej szeregu

przewidywanych

płatności

przy

zastosowaniu

wybranej

przewidywanych

płatności

przy

zastosowaniu

wybranej

alternatywnej stopy zwrotu,

alternatywnej stopy zwrotu,



Obliczona wartość (PV) w dużym uproszczeniu informuje o tym,

Obliczona wartość (PV) w dużym uproszczeniu informuje o tym,

ile dzisiaj pieniędzy musiałby ulokować inwestor w obligacje

ile dzisiaj pieniędzy musiałby ulokować inwestor w obligacje

skarbowe, aby uzyskać przepływy pieniężne identyczne z

skarbowe, aby uzyskać przepływy pieniężne identyczne z

możliwymi do uzyskania z rozważanego przedsięwzięcia

możliwymi do uzyskania z rozważanego przedsięwzięcia

inwestycyjnego,

inwestycyjnego,

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach



Jeżeli obliczona bieżąca wartość wpływów z rozważanego

Jeżeli obliczona bieżąca wartość wpływów z rozważanego

przedsięwzięcia

inwestycyjnego

przekroczy

wydatki

przedsięwzięcia

inwestycyjnego

przekroczy

wydatki

inwestycyjne jakie musiałby ponieść inwestor, to rozważane

inwestycyjne jakie musiałby ponieść inwestor, to rozważane

przedsięwzięcie jest bardziej opłacalne niż alternatywna forma

przedsięwzięcie jest bardziej opłacalne niż alternatywna forma

lokaty środków inwestora (w tym przypadku obligacje skarbu

lokaty środków inwestora (w tym przypadku obligacje skarbu

państwa),

państwa),



Jeżeli relacja pomiędzy wartością bieżącą przewidywanych

Jeżeli relacja pomiędzy wartością bieżącą przewidywanych

wpływów a wydatkami inwestycyjnymi będzie odwrotna, to

wpływów a wydatkami inwestycyjnymi będzie odwrotna, to

będzie to oznaczało, że bardziej opłacalna jest alternatywna

będzie to oznaczało, że bardziej opłacalna jest alternatywna

forma lokaty środków,

forma lokaty środków,



Różnica pomiędzy wartością bieżącą wpływów a wydatkami

Różnica pomiędzy wartością bieżącą wpływów a wydatkami

inwestycyjnymi nosi nazwę Wartości Bieżącej Netto (NPV) i jest

inwestycyjnymi nosi nazwę Wartości Bieżącej Netto (NPV) i jest

często stosowanym wskaźnikiem w ocenie opłacalności

często stosowanym wskaźnikiem w ocenie opłacalności

przedsięwzięć inwestycyjnych,

przedsięwzięć inwestycyjnych,



Przy ocenie przedsięwzięć inwestycyjnych warto jest się

Przy ocenie przedsięwzięć inwestycyjnych warto jest się

posłużyć jeszcze dodatkowo innymi wskaźnikami aby uzyskać

posłużyć jeszcze dodatkowo innymi wskaźnikami aby uzyskać

pełny obraz opłacalności,

pełny obraz opłacalności,



O

ile

w

przypadku

pojedynczego

przedsięwzięcia

O

ile

w

przypadku

pojedynczego

przedsięwzięcia

inwestycyjnego NPV jest skuteczny w określeniu opłacalności o

inwestycyjnego NPV jest skuteczny w określeniu opłacalności o

tyle w przypadku porównywania kilku różnych przedsięwzięć

tyle w przypadku porównywania kilku różnych przedsięwzięć

NPV może okazać się wskaźnikiem ułomnym bez wsparcia przez

NPV może okazać się wskaźnikiem ułomnym bez wsparcia przez

inne metody oceny opłacalności,

inne metody oceny opłacalności,

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^5

^5

]

]

952,38

952,38

907,03

907,03

863,84

863,84

822,70

822,70

783,53

783,53

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^4

^4

]

]

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^3

^3

]

]

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^2

^2

]

]

1000 / [(1+0,05)

1000 / [(1+0,05)

^1

^1

]

]

0

0

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

2100

2100

I

I

4329,48

4329,48

PV

PV

-

-

=

=

2229,48

2229,48

NPV

NPV

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

8. Węwnętrzna Stopa Zwrotu (IRR)

8. Węwnętrzna Stopa Zwrotu (IRR)



Bardzo przydatny wskaźnik w ocenie opłacalności inwestycji,

Bardzo przydatny wskaźnik w ocenie opłacalności inwestycji,



IRR jest w praktyce stopą dyskontową, dla której wartość

IRR jest w praktyce stopą dyskontową, dla której wartość

bieżąca wpływów z przedsięwzięcia inwestycjnego jest równa

bieżąca wpływów z przedsięwzięcia inwestycjnego jest równa

wydatkom inwestycyjnym,

wydatkom inwestycyjnym,



Pozwala

na

ocenę

przedsięwzięcia

inwestycyjnego

w

Pozwala

na

ocenę

przedsięwzięcia

inwestycyjnego

w

konfrontacji z alternatywnymi możliwymi do uzyskania na rynku

konfrontacji z alternatywnymi możliwymi do uzyskania na rynku

stopami zwrotu, posiadając istotną przewagę nad NPV,

stopami zwrotu, posiadając istotną przewagę nad NPV,

przejawiającą się w prostej możliwości porównywania kilku

przejawiającą się w prostej możliwości porównywania kilku

podobnych przedsięwzięć inwestycyjnych,

podobnych przedsięwzięć inwestycyjnych,



Wyznaczanie IRR jest nie tyle skomplikowane, co pracochłonne.

Wyznaczanie IRR jest nie tyle skomplikowane, co pracochłonne.

Mianowicie należy dokonać obliczeń stosując kolejne coraz

Mianowicie należy dokonać obliczeń stosując kolejne coraz

większe stopy dyskontowe i znaleźć taki moment, w którym NPV

większe stopy dyskontowe i znaleźć taki moment, w którym NPV

z dodatniego stanie się ujemne,

z dodatniego stanie się ujemne,



Im

mniejsze

są

różnice

pomiędzy

kolejnymi

stopami

Im

mniejsze

są

różnice

pomiędzy

kolejnymi

stopami

dsykontowymi, tym większa dokładność prowadzonych obliczeń,

dsykontowymi, tym większa dokładność prowadzonych obliczeń,



Istotę takiego podejścia można zaobserwować na wykresie

Istotę takiego podejścia można zaobserwować na wykresie

przedstawiającym zachowanie się NPV wobec zmieniającej się

przedstawiającym zachowanie się NPV wobec zmieniającej się

stopy dyskontowej,

stopy dyskontowej,

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

1.

1.

Obliczamy NPV kolejno dla stóp dyskontowych 25%, 30%, 35%, 40%

Obliczamy NPV kolejno dla stóp dyskontowych 25%, 30%, 35%, 40%

zapisując wyniki.

zapisując wyniki.

NPV

NPV

25%

25%

=589,28

=589,28

NPV

NPV

30%

30%

=335,57

=335,57

NPV

NPV

35%

35%

=119,96

=119,96

NPV

NPV

40%

40%

= -64,84

= -64,84

2. Identyfikujemy przedział pomiędzy stopą 35% a stopą 40%, w którym

2. Identyfikujemy przedział pomiędzy stopą 35% a stopą 40%, w którym

następuje zmiana z NPV dodatniego na ujemne, dla których NPV odpowiednio

następuje zmiana z NPV dodatniego na ujemne, dla których NPV odpowiednio

wynoszą:

wynoszą:

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Podstawy Nauki o Finansach

Posiadane informacje pozwalają na wyznaczenie IRR wg

Posiadane informacje pozwalają na wyznaczenie IRR wg

wzoru:

wzoru:

W naszym przykładzie odpowiednio:

W naszym przykładzie odpowiednio:

d

d

0

0

– 35%

– 35%

d

d

1

1

– 40%

– 40%

NPV

NPV

0

0

– 119,96

– 119,96

NPV

NPV

1

1

- -64,84

- -64,84

Zatem IRR w omawianym przykładzie wynosi 38%

Zatem IRR w omawianym przykładzie wynosi 38%





0

1

1

0

0

0

d

d

NPV

NPV

NPV

d

IRR















0

1

1

0

0

0

d

d

NPV

NPV

NPV

d

IRR















38

,

0

35

,

0

4

,

0

84

,

64

96

,

119

96

,

119

35

,

0













IRR





38

,

0

35

,

0

4

,

0

84

,

64

96

,

119

96

,

119

35

,

0













IRR