Teoria względności
Teoria względności
Położenie i ruch
Położenie i ruch
•
Względność położenia
Względność położenia
•
Ruchome układy odniesienia
Ruchome układy odniesienia
•
Sformułowanie zasady względności
Sformułowanie zasady względności
Poszukiwanie transformacji łączącej inercjalne układy odniesienia
Poszukiwanie transformacji łączącej inercjalne układy odniesienia
•
Czasoprzestrzeń
Czasoprzestrzeń
•
Transformacja Lorentza
Transformacja Lorentza
Konsekwencje kinematyczne transformacji Lorentza
Konsekwencje kinematyczne transformacji Lorentza
•
Prędkość c jako prędkość graniczna
Prędkość c jako prędkość graniczna
•
Paradoks bliźniąt
Paradoks bliźniąt
•
Zjawisko Dopplera
Zjawisko Dopplera
•
Skrócenie Lorentza
Skrócenie Lorentza
W stronę dynamiki czyli energia i pęd
W stronę dynamiki czyli energia i pęd
Wykład
Wykład
21
21
Jest to zasada
korespondencji i wraz z
zasadą względności
(transformacja Lorentza)
pozwala znaleźć zasady
dynamiki oraz poprawną
postać zasady zachowania
pędu i energii.
No właśnie.
Tymczasem II zasada
dynamiki Newtona
przewiduje
nieograniczony
wzrost prędkości ciała
poddanego działaniu
stałej siły.
Nie musimy, a nawet
nie możemy!
Należy ją
zmodyfikować a nie
odrzucić, przecież dla
małych prędkości jest
ona słuszna.
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
Wykład
Wykład
21c
21c
Może się tylko do niej
nieograniczenie zbliżyć.
Prędkość c jest
graniczną wartością
prędkości cząstki
materialnej, której nie
może ona nie tylko
przekroczyć, ale nawet
osiągnąć.
Czyli musimy
zmienić tę zasadę!
Nowe wzory
muszą mieć tę
własność, że dla
małych prędkości
przechodzą w
odpowiednie wzory
fizyki klasycznej.
Słusznie!
Jest to zadanie, którym
zajmowaliśmy się przy
wyznaczaniu prędkości granicznej
i możesz skorzystać z
doświadczenia, którego wtedy
nabyłeś.
Zasada korespondencji
w połączeniu z zasadą
względności jest
potężnym narzędziem
teoretycznym, za
pomocą, którego
można rzeczywiście
dojść do niezwykłych
przewidywań.
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada korespondencji
zasada korespondencji
Wykład
Wykład
21c
21c
Opiszmy więc ruch cząstki
odbywający się w stałym
jednorodnym polu
elektrycznym
skierowanym wzdłuż osi x.
Zasada korespondencji jest zasadą metodologiczną mówiącą, że skoro ustaliliśmy
pewne prawidłowości w węższym zakresie zjawisk, to rozszerzając tę domenę i
szukając nowych, ogólniejszych praw, musimy równocześnie wytłumaczyć,
dlaczego w dotychczasowych warunkach ujawniły się te uproszczone, odkryte
wcześniej prawidłowości.
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
Newtona
Newtona
Wykład
Wykład
21c
21c
Jak poprzednio dzielimy
ruch cząstki na wiele
etapów, w których zmiana
prędkości jest mała i do
każdego etapu możemy
zastosować prawo
Newtona.
Świetnie!
To jest właśnie
zasada
korespondencji
.
v
F ma
eE m
t
D
=
=
D
wzory klasyczne
Prawo Newtona
ustala związek
między v a t w
każdym kolejno
rozpatrywanym
układzie U
n
1
/
1
1
/
1
/
1
1
/
n
n
n
v c
v c
v
c
v c
v c
- D
�
�
- �
�
+D
�
�
=
- D
�
�
+�
�
+D
�
�
prędkość cząstki po n
etapach:
1
1
v
c
v
c
l
D
-
=
D
+
2
2
1
1
n
n
n
v c
l
l
-
=
+
( )
2
1
2
eE
x
a t
a
m
D =
D
=
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
Newtona
Newtona
Wykład
Wykład
21c
21c
n-ty etap
rozpędzania
„odbywa” się w
układzie n-1.
„Odbywa” się tzn.
że w tym właśnie
układzie cząstka
rozpoczyna ruch z
prędkością zerową i
pokonuje drogę x
w czasie t .
( )
2
0
t
D �
Sumy
sprowadzają się
do sumy postępu
geometrycznego
( )
( )
( )
( )
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
a t
v
t
x
v
c
v
t
a t
c
t
v
c
-
-
-
-
D
+
D
D
=
-
D +
D
D
=
-
(
)
( )
1
1
2
0
0
2
1
1
2
0
0
2
1
1
1
n
n
k
k
k
k
k
n
n
k
k
k
k
v
x
x
t
v
c
t
t
t
v
c
-
-
=
=
-
-
=
=
=
D
=D
-
=
D
=D
-
�
�
�
�
Z transformacji Lorentza:
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
Newtona
Newtona
Wykład
Wykład
21c
21c
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
n
n
k
k
n
n
n
k
k
l
l
l
l
l
l
l
l
l
-
=
-
-
-
-
-
=
-
=
-
-
-
=
=
-
-
�
�
2
2
1
1
n
n
n
v c
l
l
-
=
+
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
1 1
2 1
1
1
2 1
n
n
n
n
c t
x
t
t
l l
l
l
l l
l
l
-
-
D
=
�
- - -
�
�
�
-
D
=
�
- + -
�
�
�
-
1
1
v
c
v
c
l
D
-
=
D
+
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
v
c
v
c
v
c
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
-
-
=
=
+
-
�
�
-
- �
�
+
�
�
-
+
=
=
-
+
-
( )
0
v
D �
0
0
lim
lim
1
/
1
1
/
v
v
t
t
c
c
v
a
v c
v c
D �
D �
D
D
=
=
D
- D
-
+D
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
Newtona
Newtona
Wykład
Wykład
21c
21c
2
2
2
2
2
1
1
1
1
eEx mc
v
c
mv
eEt
v
c
�
�
�
�
�
�
=
-
�
�
-
�
�
�
�
=
-
1
l �
2
1 /
1 /
2
2
1 /
1 /
1 /
1 /
2
1 /
1 /
c
v c
v c
x
a
v c
v c
c
v c
v c
t
a
v c
v c
�
�
+
-
=
+
-
�
�
-
+
�
�
�
�
+
-
=
-
�
�
-
+
�
�
1
1
n
v
c
v
c
l
-
=
+
2
2
1
2
2
1
1
eE
x
t
m
eEt
mc
=
� �
+ +� �
� �
eE
a
m
=
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
ujęcie relatywistyczne II zasady dynamiki
Newtona
Newtona
2
2
1
2
2
1
1
eE
x
t
m
eEt
mc
=
� �
+ +� �
� �
Wykład
Wykład
21c
21c
Jeżeli czas t jest krótki tzn. jeżeli cząstka
się jeszcze zbytnio nie rozpędziła wzór
upodabnia się do wzoru klasycznego.
2
1
2
eE
x
t
m
�
A jeżeli czas t jest długi?
2
1
2
2
eEt
mc
eE
x
t
ct
eEt
m
mc
>>
�
=
Czyli prędkość cząstki
dąży do c!
2
2
2
1
1
1
eU mc
v
c
�
�
�
�
�
�
=
-
�
�
-
�
�
�
�
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
energia
energia
Wykład
Wykład
21c
21c
Wyrażenie to dla
małych prędkości
v musi przyjmować
zwykłą postać.
2
2
2
1
1
1
eEx mc
v
c
�
�
�
�
�
�
=
-
�
�
-
�
�
�
�
Ex U
=
różnica potencjałów
2
2
mv
eU =
klasycznie
2
2
2
2
1
mc
K
mc
v
c
=
-
-
Energia kinetyczna
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
/
1
1
/
1
1
1
/
1
/
1
1
/
1 1 1
2
1
/
1
1
/
v c
K
mc
mc
v
v c
c
v c
mc
v c
v c
mv
mv
mv
v c
v c
�
�
�
�
-
-
�
�
=
-
=
=
�
�
-
-
�
�
�
�
-
-
=
=
-
+
-
=
�
=
+
-
+
-
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
energia
energia
Wykład
Wykład
21c
21c
( )
( )
1
2
2
M
m
m
W K
w K
K
+
=
+
+
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
Wykład
Wykład
21c
21c
V
v
2
v
1
K
M
W
K
m
K
m
w
w
( )
( )
1
2
2
M
m
m
W K
w K
K
+
=
+
+
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
Wykład
Wykład
21c
21c
Rozpatrujemy
rozpad ciała o
masie M na dwa
identyczne ciała
o równych
masach m.
Zasada względności
mówi, że zasada
zachowania energii
powinna być słuszna
w każdym układzie
odniesienia a w
szczególności w
układzie środka masy
?
Układ środka masy
to taki układ, w
którym ciało M
spoczywa.
W takim układzie
prędkości obu
cząstek m będą
po rozpadzie
równe i
przeciwnie
skierowane
2
2
2
2
1
m
mc
K
mc
v
c
=
-
-
0 2
2
m
W
w
K
+ =
+
1
2
2
2
1
1
v V
v V
v
v
vV
vV
c
c
+
-
=
=-
+
-
W układzie doniesienia w
którym układ środka masy
porusza się z dowolną
prędkością V
2
2
2
2
2
2
1
mc
W
w
mc
v
c
�
�
�
�
�
�
-
=
-
�
�
-
�
�
�
�
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
Wykład
Wykład
21c
21c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
Mc
mc
mc
Mc
V
v
v
V
c
c
c
c
-
+
=
�
��
�
-
-
-
-
�
��
�
�
��
�
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
Mc
mc
mc
W
w
Mc
mc
mc
V
c
v V
v V
vV
vV
c
c
c
c
-
+
-
=
-
+
-
�
�
�
�
-
�
�
�
�
+
-
-
-
�
�
�
�
�
�
�
�
+
-
�
�
�
�
�
�
�
�
Zasada zachowania energii w
układzie środka masy
2
2
2
2
2
2
1
mc
W
w
mc
v
c
�
�
�
�
�
�
-
=
-
�
�
-
�
�
�
�
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
Wykład
Wykład
21c
21c
2
2
2
2
2
2
2
1
1
0
1
1
mc
Mc
v
V
c
c
�
��
�
�
��
�
�
��
�
-
-
=
�
��
�
-
-
�
��
�
�
��
�
2
2
2
2
2
1
mc
Mc
v
c
=
-
Wzór musi być
słuszny dla
dowolnej
prędkości
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
mc
W
w
mc
Mc
mc
M
m c
v
c
-
=
-
=
-
=
-
-
zmiana energii
wewnętrznej
Prawda, że to
genialne!
Wszystko się
wyjaśni jeżeli
korzystając z
niego zapiszesz
zasadę
zachowania
energii całkowitej
(
)
2
2
2
2
2
2
2
wew
E
W
w Mc
mc
M
m c
mc
D
= -
=
-
=
-
=D
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
Wykład
Wykład
21c
21c
Jest to jeden z
najważniejszyc
h wzorów
szczególnej
teorii
względności!
?
Energia wewnętrzna ciała
jest całkowicie wyznaczona
przez jego masę!!!
( )
( )
1
2
2
m
m
M
W
w K
K
K
-
=
+
-
( )
(
)
( )
(
)
1
2
2
2
2
M
m
m
K
Mc
K
mc
K
mc
+
=
+
+
+
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
Wykład
Wykład
21c
21c
( )
( )
1
2
2
m
m
M
W
w K
K
K
-
=
+
-
( )
(
)
( )
(
)
1
2
2
2
2
M
m
m
K
Mc
K
mc
K
mc
+
=
+
+
+
W fizyce klasycznej z równaniem tym nie można wiele zrobić ponieważ energie
wewnętrzne nie są określone przez mechaniczne charakterystyki
rozpatrywanego ciała. Zależą one np. od temperatury i bez znajomości
szczegółowych własności ciał nie potrafimy powiedzieć ile energii kinetycznej
zamieni się na energię wewnętrzną w wyniku zderzenia dwóch ciał.
W teorii względności równanie wyrażające zasadę zachowania energii nie
zawiera żadnych nieznanych wielkości.
Ciało spoczywające ma energię kinetyczną równą zeru, czyli jego całkowita
energia w tym stanie równa się jego energii wewnętrznej.
Energia wewnętrzna nazywa się energią spoczynkową ciała.
Piękny wynik,
ale niestety
często mylnie
interpretowany
.
Nie może być mowy o zamianie
„masy na energię”. Niczego na
energię nie można zamienić.
Można tylko zmienić postać
energii z wewnętrznej na
kinetyczną. Towarzyszy temu
zmniejszenie masy i to wszystko.
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
Wykład
Wykład
21c
21c
2
E mc
=
?
To znaczy, że to zupełnie tak
samo jak przy zamianie energii
potencjalne wody na energię
kinetyczną. Towarzyszy temu
zmniejszenie wysokości ale jest
absurdem mówienie o zamianie
wysokości na energię
Brawo!
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
Wykład
Wykład
21c
21c
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
/
1
/
M
Mc
E K
Mc
Mc
Mc
v c
v c
�
�
=
+
=
-
+
=
�
�
-
-
�
�
(
)
(
)
2
2
i
i
j
j
pocz
konc
K Mc
K
mc
+
=
+
�
�
Energia całkowita ciała jest sumą energii kinetycznej i energii spoczynkowej.
i
j
pocz
konc
E
E
=
� �
Zasada zachowania energii
(
)
2
K
m c
D =- D
Wzrost lub ubytek energii kinetycznej produktów
reakcji w stosunku do energii kinetycznej cząstek
pierwotnych pochodzi całkowicie z ubytku lub
wzrostu sumy mas mnożonej przez c
2
.
Ponadto, energia nie zostaje uzyskana
lecz
wyzwolona
co oznacza, że przy
zamianie energii wewnętrznej na
kinetyczną staje się ona łatwiej
dostępna, bardziej widoczna i bardziej
użyteczna. I nie ma mowy o
powstawaniu energii – energia jako
wielkość zachowana nie może z
niczego powstać ani w nic się
zamienić!
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
(
)
2
K
m c
D =- D
Wykład
Wykład
21c
21c
Nie koniecznie.
Zmiana energii
kinetycznej
zależy również od
wielkości m,
która może być
bardzo mała.
c
2
jest ogromną
liczbą czyli
uzyskana energia
jest bardzo duża!
I jeszcze jedno w teorii względności nie
obowiązuje prawo zachowania masy.
Podstawowe znaczenie dla wszystkich
procesów ma prawo zachowania energii
całkowitej, w ramach którego jest możliwa
zamiana energii wewnętrznej na kinetyczną
(lub odwrotnie).
Towarzyszy temu zmiana sumy mas wszystkich
ciał obecnych na początku i na końcu procesu.
I to wszystko co trzeba na ten temat wiedzieć!
Żadnej energomasy, żadnej równoważności
masy i energii, żadnej materializacji i
dematerializacji, żadnego mistycyzmu!
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania energii
zasada zachowania energii
Wykład
Wykład
21c
21c
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania pędu
zasada zachowania pędu
Wykład
Wykład
21c
21c
2
1
i
i
i
v V
v
Vv
c
�
+
=
�
+
2
1
i
i
i
V V
V
VV
c
�
+
=
�
+
Rozpatrzmy teraz proces, w którym dowolna liczba ciał początkowych w wyniku
dowolnego oddziaływania przekształca się w zbiór ciał końcowych.
V – prędkość
układu U`
względem układu U
m
1
v
1
m
2
v
2
m
3
v
3
m
4
v
4
m
5
v
5
m
i
v
i
M
1
V
1
M
2
V
2
M
i
V
i
M
3
V
3
M
4
V
4
M
5
V
5
Dzięki tym relacjom
(transformacja Lorentza) można
ustalić związek całkowitej energii
danego ciała w układzie U z jego
całkowitą energią w układzie U`.
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania pędu
zasada zachowania pędu
Wykład
Wykład
21c
21c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
vV
mc
mc
mc
c
E
V
vV
v V
c
v V
c
c c
vV
c
c
vV
mc
mc
mv
c
V
V
v
V
v
v
c
c
c
c
c
V
�
�
�
+
�
�
�
�
=
=
=
=
�
�
�
�
�
� �
�
-
+
-
+
�
� �
�
�
�
�+
�
� �
�
-
�
�
�
�
�
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
+
�
�
�
�
�
�
�
=
=
+
=
�
�
�
�
�
�
��
� �
� �
�
�
�
�
�
-
-
-
-
-
�
��
� �
� �
�
�
�
�
�
�
��
� �
� �
�
�
�
�
�
=
-
2
2
2
2
1
mv
E V
v
c
c
�
�
�
�
�
�
�
�+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
pocz
konc
pocz
konc
E
E
E
E
�
�
-
=
-
=
�
�
� �
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania pędu
zasada zachowania pędu
Wykład
Wykład
21c
21c
Skorzystamy teraz z zasady względności, czyli zażądamy aby zasada zachowania
energii całkowitej była spełniona zarówno w układzie U jak w układzie U`
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
0
1
1
1
1
i i
i i
pocz
konc
i
i
mv
MV
E V
E V
V
v
V
V
c
c
c
c
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
+
-
+
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
-
-
-
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
1
1
2
2
1
1
l
n
j
j
i i
i
j
i
j
mv
MV
V
v
c
c
=
=
�
�
=
�
�
�
�
�
�
-
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania pędu
zasada zachowania pędu
Wykład
Wykład
21c
21c
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
l
n
j j
i i
pocz
konc
i
j
i
j
mv
MV
V
E
E
V
V
V
v
c
c
c
c
=
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
-
=
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
-
-
-
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
0
0
2
2
1
mv
v
c
�
�
�
�
-
�
�
�
�
Z zasady zachowania energii i zasady względności wynika, że w
danym procesie oddziaływania nie ulega zmianie suma
następujących wielkości:
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
zasada zachowania pędu
zasada zachowania pędu
2
2
1
mv
mv
v
c
�
�
�
-
�
�
�
�
Wykład
Wykład
21c
21c
dla małych prędkości
2
2
1
mv
p
v
c
=
�
�
-
�
�
�
�
v
uv
W stronę dynamiki
W stronę dynamiki
2
2
2
1
mc
E
v
c
=
�
�
-
�
�
�
�
Wykład
Wykład
21c
21c
Energia spoczynkowa: mc
2
2
2
1
mv
p
v
c
=
�
�
-
�
�
�
�
v
uv
Masa „spoczynkowa”: m
Teoria względności
Teoria względności
podsumowanie
podsumowanie
Wykład
Wykład
21
21
5. Prędkość c jako prędkość graniczna
2. Zasada względności
3. Czasoprzestrzeń
4. Transformacja Lorentza
1. Układy inercyjne
6. Zasada korespondencji
Wykład
Wykład
21
21
No to poruszanie się
w czasoprzestrzeni
mamy na jakiś czas
„z głowy”!