

a

b

Niech dany będzie przedział domknięty a, b.

Definicja:

Zbiór punktów X

n

= { x

0

, x

1

, . . . , x

n

} określony

warunkami:

a = x

0

< x

1

< x

2

< . . . < x

n-1

<

x

n

= b

nazywamy

podziałem przedziału

a, b na przedziały częściowe

x

0

, x

1

 , x

1

, x

2

 , . . . , x

n-1

, x

n

 .

Definicja:

Jeżeli X

n

= {x

0

, x

1

, . . . , x

n

} jest podziałem przedziału a, b,

oraz

x

i

= x

i

-

x

i-1

, i = 1, 2, . . .

, n

oznaczają długości przedziałów częściowych, to liczbę

nazywamy

średnicą

tego podziału.

d

n

= max

x

i ,

1 i 

n

Definicja:

Ciąg podziałów {X

n

} przedziału a, b nazywamy

normalnym

ciągiem podziałów

tego przedziału, jeżeli:

lim d

n

= 0.

n

Zbiór punktów

Definicja:

Załóżmy, że dany jest podział X

n

= {x

0

, x

1

, . . . , x

n

}

przedziału a, b

na przedziały częściowe: x

0

, x

1

 , x

1

, x

2

 , . . . , x

n-1

, x

n

 . W każdym z

przedziałów częściowych można wybrać w sposób dowolny po jednym
punkcie tworząc nowy zbiór .

X

n

spełniających
warunki

nazywamy

zbiorem punktów pośrednich

podziału X

n . .

x

i

  x

i-1

, x

i



X

n

= { x

0

, x

1

, . . . ,

x

n

}

Definicja:

Weźmy funkcję f(x) określoną i ograniczoną na przedziale a, b i

niech

X

n

= {x

0

, x

1

, . . . , x

n

}

będzie podziałem przedziału a, b

na przedziały częściowe, a

zbiorem

punktów pośrednich.

X

n

= { x

0

, x

1

, . . . , x

n

}

Sumę S

n

iloczynów wartości

funkcji f(x) w punktach

pośrednich

f(

x

i

)

x

i

przedziałów częściowych przez długości 

x

i

tych przedziałów,

czyli wyrażenie postaci:

nazywamy

sumą całkową Riemanna

funkcji f(x) na

przedziale a, b.







n

1

i

i

i

n

Δx

)

x

(

f

S

Suma całkowa S

n

, przy założeniu, że f(x) 0 dla x 

a, b , ma prostą interpretację geometryczną:

f(

x

i

)

Jest ona sumą pól prostokątów o podstawach 

x

i

i wysokościach

,

x

i

przy czym  x

i-1

, x

i

 .

a=x

0

x

1

x

2

x

i-1

x

i

x

n-1

x

n

=b

x

i

x

n

x

2

x

1

x

n

x

i

x

2

x

1

y

x

y =
f(x)

f(

x

1

)

f(

x

2

)

f(

x

i

)

f(

x

n

)

Definicja:

Niech funkcja f(x) będzie określona i ograniczona na przedziale
a, b .

X

n

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów {

X

n

}

przedziału

a, b istnieje skończona granica ciągu sum całkowych {S

n

}

niezależna od wyboru punktów pośrednich , to granicę tę nazywamy

całką oznaczoną

(w sensie Riemanna)

funkcji f(x) w granicach

od a do b

i oznaczamy symbolem:



b

a

dx

x

f

.

)

(

Liczbę

a

nazywamy

dolną granicą całkowania

, liczbę

b

-

górną

granicą całkowania

, a przedział



a, b



-

przedziałem

całkowania.

Jeżeli całka oznaczona funkcji f(x) w przedziale

a, b istnieje, to

mówimy, że funkcja f(x) jest

całkowalna

w przedziale a, b .

Całka oznaczona ma prostą interpretację geometryczną w
przypadku funkcji nieujemnej, tzn. gdy f(x)0 dla x  a, b.

Interpretacja

Interpretacja

geometryczna:

geometryczna:

Suma S

n

jest sumą pól n prostokątów zakreskowanych na

rysunku 1 i jednocześnie przybliżoną wartością pola |D|
obszaru D ograniczonego wykresem funkcji f(x), osią OX oraz
prostymi x = a i x = b.

Zatem całka
oznaczona



b

a

dx

x

f

)

(

jest więc to pole figury
ograniczonej

przez krzywą y = f(x), oś OX oraz proste x = a i x = b.

Przy podziale przedziału a, b na coraz mniejsze podprzedziały,
każdy prostokąt jest coraz węższy i suma S

n

jest coraz lepszym

przybliżeniem pola obszaru D.

a

b

y

x

| D

| D

|

|

y = f(x)

Interpretacja geometryczna (2)

Interpretacja geometryczna (2)

Twierdzeni
e:

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale a, b , to jest ona
całkowalna na tym przedziale.

Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona w przedziale a, b i ma w tym
przedziale co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, to

funkcja ta jest całkowalna na tym przedziale.

Twierdzeni
e:

Uwaga:

Mówiąc o całce oznaczonej należy pamiętać, że jeżeli istnieje

całka oznaczona

, to jest ona liczbą, nie należy

zatem mylić pojęć: całka nieoznaczona i całka oznaczona.



b

a

dx

x

f

)

(

Jakie funkcje są całkowalne?

Definicja:

0

)

(





a

a

dx

x

f



b

a

dx

x

f

)

(







a

b

dx

x

f

)

(

Twierdzeni
e:

Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna na w przedziale a, b i jeżeli c

 a, b, to funkcja f(x) jest całkowalna na przedziałach a, c i c,

b oraz zachodzi równość:











b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

.

)

(

)

(

)

(

Podstawowe własności całki

oznaczonej

Twierdzenie:

Jeżeli f(x) jest funkcją całkowalną

w przedziale a, b

, a k jest

stałą, to funkcja

k f(x)

jest również całkowalna

w

przedziale a, b

i zachodzi równość:







b

a

b

a

dx

x

f

k

dx

x

f

k

)

(

)

(

Twierdzenie:

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne

w przedziale a, b

, to ich

suma oraz różnica są całkowalne na tym przedziale i zachodzi
równość:













b

a

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

]

)

(

)

(

[

Twierdzenie (Newtona -
Leibniza) :

Jeżeli F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej

w

przedziale a, b

, to:







b

a

a

F

b

F

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

Przykład:

Przykład:

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja t = (x) jest różniczkowalna w przedziale (, )
i odwzorowuje ten przedział na przedział (a, b), w którym
funkcja f (t) jest całkowalna, to zachodzi wzór:







dt

t

f

dx

x

x

f

)

(

)

(

'

)]

(

[



