CAŁKA OZNACZONA

Pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi: Pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywą:

1.

x

x

y

2

2







,

x

x

y

2

2





1.















t

a

t

y

t

a

t

x

sin

)

(

cos

)

(

,

0



a

2.

x

y





1

2

,

2

2





x

y

2.















t

a

t

y

t

a

t

x

3

3

sin

)

(

cos

)

(

,

0



a

3.

x

y



,

x

y

2





,

3



x

3.

1

2

2

2

2





b

y

a

x

4.

x

y



,

x

y

4



,

2



x

4.















t

e

t

y

t

e

t

x

t

t

cos

)

(

sin

)

(

5.



























t

a

t

y

t

t

a

t

x

cos

1

)

(

sin

)

(

,

0



a

5.

2

x

y



,

4



y

6.

a

r



)

(



,

0



a

6.

2

x

y



,

x

y



7.









cos

1

)

(





a

r

,

0



a

7.

3

x

y



,

8



y

,

1





x

8.

3

sin

)

(

3









a

r

,

0



a

,









3

,

0



8.

3

x

y



,

3

x

y



Długość łuku krzywej:

9.





2

1

4

x

y





,

2

1

x

y





1.















t

e

t

y

t

e

t

x

t

t

cos

)

(

sin

)

(

2.



























t

a

t

y

t

t

a

t

x

cos

1

)

(

sin

)

(

,

0



a

10.





2

1

2

x

y





,

1

2





x

y

3.

3

sin

)

(

3









a

r

,

0



a

,









3

,

0



11.

x

y



,

2

1

x

y



,

3



x

4.





x

y

sin

ln



,











3

2

,

3





x

12.

2

x

y



,

2

1

x

y



,

9



y

5.





2

1

ln

x

y





,











2

1

,

2

1

x

13.

6

2







x

y

6.

2

2

2

a

y

x





,

0



a

14.

2

x

y



,

x

x

y

3

3







7.









cos

1

)

(





a

r

,

0



a

15.

3

2

x

y



,

4



y

8.





3

2

2

9

4

x

y





odciętej prostą

1





x

16.

3

2

2







x

x

y

,

2

2





x

y

9.















t

a

t

y

t

a

t

x

3

3

sin

)

(

cos

)

(

,

0



a

17.

x

x

y

4

2







,

x

y

2

3



Objętość bryły obrotowej:

18.

2

3y

x



,

6



x

1.

x

y

sin



,

 



,

0



x

19.

2

y

x



,

0



x

,

1



y

2.

1

2

2

2

2





b

y

a

x

3.















t

a

t

y

t

a

t

x

sin

)

(

cos

)

(

,

0



a

20.

y

x





,

2

2

y

x





Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej:

21.

2

y

x



,

2

6

y

x





1.

x

y

sin



,

 



,

0



x

22.

2

2

2







y

y

x

,

2

2

2









y

y

x

2.

2

2

x

a

y





,

0



a

23.

1

6

2







y

y

x

,

1

2

2









y

y

x

3.















t

a

t

y

t

a

t

x

3

3

sin

)

(

cos

)

(

,

0



a

24.

x

x

y





3

,

4





x

y

,

1





x

,

1



x

4.

x

y

ln



,

 

e

x

,

1



25.

x

y

cos



,

x

y

sin



,

0



x

,

2





x

5.















t

e

t

y

t

e

t

x

t

t

cos

)

(

sin

)

(

,











2

,

0



t