Ruch falowy

Ruch falowy



Fale mechaniczne

Fale mechaniczne



Fale dźwiękowe

Fale dźwiękowe



Promieniowanie elektromagnetyczne

Promieniowanie elektromagnetyczne



Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej

Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej



Energia fali elektromagnetycznej

Energia fali elektromagnetycznej



Zjawisko polaryzacji

Zjawisko polaryzacji



Zjawiska optyczne

Zjawiska optyczne



Interferencja

Interferencja



Dyfrakcja

Dyfrakcja

Wykład

Wykład

4

4

Fale mechaniczne

Fale mechaniczne



Fale mechaniczne

Fale mechaniczne

•

Rodzaje fal

Rodzaje fal

•

Rozchodzenie się fal

Rozchodzenie się fal

•

Superpozycja fal

Superpozycja fal

•

Interferencja

Interferencja

•

Fale stojące

Fale stojące

•

Rezonans

Rezonans



Fale dźwiękowe

Fale dźwiękowe

•

Charakterystyki dźwięku

Charakterystyki dźwięku

•

Fale podłużne

Fale podłużne

•

Dudnienia

Dudnienia

•

Zjawisko Dopplera

Zjawisko Dopplera

Wykład

Wykład

4

4

Fale mechaniczne

Fale mechaniczne

Wykład

Wykład

4

4

Falami mechanicznymi nazywamy fale powstające w ośrodkach

sprężystych.

Powstają one w wyniku wychylenia się jakiegoś fragmentu ośrodka

sprężystego z położenia równowagi. Dzięki sprężystym właściwościom

ośrodka drgania te przekazywane są do dalszych jego części i fala

przechodzi przez cały ośrodek. Ośrodek jako całość nie przesuwa się

wraz z falą.

Energia fali to kinetyczna i potencjalna

energia cząstek materii.

Ruch falowy jest związany z dwoma

procesami: z transportem energii przez

ośrodek od cząstki do cząstki i z ruchem

drgającym poszczególnych cząstek dokoła

ich położeń równowagi. Ruch falowy nie

jest związany z ruchem materii jako

całości.

Do rozchodzenia się fal mechanicznych

niezbędny jest ośrodek materialny.

Rodzaje fal

Rodzaje fal

Wykład

Wykład

4

4

Powierzchnia falowa

kulista

Fala trójwymiarowa – powietrze

w otoczeniu drgającej kuli

Fala dwuwymiarowa –

powierzchnia wody w postaci

okręgów

Powierzchnia falowa

kołowa

Fala jednowymiarowa – punkty

materialne cienkiej struny

Powierzchnia falowa

jeden punkt

Fale płaskie

Fale poprzeczne

v

tylko w ciałach stałych

Fale podłużne

v

we wszystkich
ośrodkach
sprężystych

Rozchodzenie się fal

Rozchodzenie się fal

Wykład

Wykład

4

4

x

y

t=0 t=t

vt



Na podstawie równania można zbadać zachowanie się w czasie
określonej wartości zmiennej y np. szczytu fali – matematycznie
oznacza to, że badamy jak zmienia się w czasie x przy zachowaniu
ustalonej wartości dla (x-vt).

.

x vt const

dx

v

dt

- =

=

(

)

y f x vt

=

-

dla fali biegnącej

w prawo

prędkość fazowa fali

2

sin

A

y y

x

p

l

=

długość fali

amplituda fali

po czasie t

(

)

2

sin

A

y y

x vt

p

l

=

-

Okres dla fali jest czasem, w którym

fala przemieszcza się na odległość

równą jednej długości fali:

T

v

l

=

2

2

sin

A

y y

x

t

T

p

p

l

�

�

=

-

�

�

�

�

Rozchodzenie się fal

Rozchodzenie się fal

równanie fali

równanie fali

Wykład

Wykład

4

4

(

)

sin

A

y y

kx

t

w j

=

-

-

(

)

(

)

sin
sin

A

A

y y

kx

t

y y

kx

t

w

w

=

-

=

+

2

2

sin

A

y y

x

t

T

p

p

l

�

�

=

-

�

�

�

�

liczba falowa

częstość kołowa

x

y



v

T

k

l

w

= =



faza początkowa

równanie fali sinusoidalnej przesuwającej się w prawo

równanie fali sinusoidalnej przesuwającej się w lewo

Rozchodzenie się fal

Rozchodzenie się fal

zasada Huygensa

zasada Huygensa

Wykład

Wykład

4

4

Każdy punkt ośrodka, do którego dociera czoło fali staje się

samodzielnym źródłem wysyłającym fale kuliste cząstkowe.

Powierzchnia styczna do wszystkich fal kulistych cząstkowych stanowi

nowe czoło fali.

Rozchodzenie się fal

Rozchodzenie się fal

prawo odbicia i załamania

prawo odbicia i załamania

Wykład

Wykład

4

4

Prawo odbicia

1. Promień fali padającej, fali odbitej i
normalna wystawiona w punkcie padania
leżą w jednej płaszczyźnie.

2. Kąt padanie równy jest kątowi odbicia

Prawo załamania

1. Promień fali padającej, fali załamanej i
normalna wystawiona w punkcie padania
leżą w jednej płaszczyźnie.

2. Stosunek sinusa kąta padania do
sinusa kąta załamania równa się
stosunkowi prędkości rozchodzenia się
fali w ośrodku pierwszym do prędkości
rozchodzenia się fali w ośrodku drugim.

fala
płaska

fala
płaska

fala
płaska

kąt
padania

kąt
odbicia

kąt
załamania

Rozchodzenie się fal

Rozchodzenie się fal

zasada Huygensa – prawo odbicia

zasada Huygensa – prawo odbicia

Wykład

Wykład

4

4

czo

ło

fal

i p

ad

ają

ce

j

czo

ło fa

li o

dbit

ej

N









v

2

t

Rozchodzenie się fal

Rozchodzenie się fal

zasada Huygensa – prawo

zasada Huygensa – prawo

załamania

załamania

Wykład

Wykład

4

4

czo

ło

fal

i p

ad

ają

cej

N









czo

ło f

ali

zał

am

ane

j

v

1

v

2

v

1

t

P

1

sin

vt

P

a =

2

sin

v t

P

b =

1

2

sin

sin

v

v

a

b

=

1

2,1

2

v

n

v

=

współczynnik załamania
ośrodka drugiego
względem pierwszego

1

2

v

v

a

b

>

>

przejście z ośrodka

rzadszego do gęstszego

Rozchodzenie się fal

Rozchodzenie się fal

prędkość fali w ośrodku

prędkość fali w ośrodku

sprężystym

sprężystym

Wykład

Wykład

4

4

M

e

s

e

D

=

Prawo Hooke’a

naprężenie powodujące
odkształcenie w ośrodku
sprężystym

moduł
sprężystości
ośrodka

odkształcenie
względne

Druga zasada dynamiki Newtona

v

m

t

s

D

=

D

m

v

t

e

r e

D

=

D =

D

( )

( )

2

2

2

M

M

t

t

e

e

e

r e

r

e

D

D

=

=

D

D

M

v

r

=

prędkość
rozchodzenia się
zaburzenia

l

l

v

F

S

Superpozycja fal

Superpozycja fal

Wykład

Wykład

4

4

Doświadczalnie ustalono, że kilka fal może przebiegać ten sam obszar

przestrzeni niezależnie od siebie. Oznacza to, że przemieszczenie

dowolnej cząstki w ustalonej chwili czasu jest sumą przemieszczeń,

który wywołałyby poszczególne fale.

Proces wektorowego dodawania przemieszczeń nazywamy

superpozycją.

Ważną konsekwencją zasady superpozycji jest możliwość rozłożenia

skomplikowanych ruchów falowych na kombinację prostych fal.

Francuski matematyk J. Fourier wykazał, że dowolny periodyczny ruch
cząstki może być przedstawiony w postaci kombinacji liniowej ruchów

harmonicznych prostych.

( )

0

1

2

3

1

2

sin

sin2

sin3

cos

cos2

y t

A A

t A

t A

t

B

t B

t

w

w

w

w

w

= +

+

+

+ +

+

+

K

K

Interferencja fal

Interferencja fal

Wykład

Wykład

4

4

(

)

1

sin

A

y

y

kx

t

w j

=

-

-

(

)

2

sin

A

y

y

kx

t

w

=

-

(

)

(

)

1

2

sin

sin

A

y y

y

y

kx

t

kx

t

w

j

w

= +

=

�

-

-

+

-

�

�

�

2sin

cos

2 cos sin

2

2

2

2

A

A

y y

kx

t

y

kx

t

j

j

j

j

w

w

�

�

�

� �

�

=

-

-

=

-

-

�

�

�

� �

�

�

�

�

� �

�

(

)

(

)

1

1

sin

sin

2sin

cos

2

2

A

B

B A

B A

+

=

+

-

Zjawisko interferencji jest szczególnym przypadkiem superpozycji.

Zjawisko to polega na nakładaniu się (superpozycji) dwóch lub więcej

ciągów falowych harmonicznych o jednakowej częstotliwości i nie

zależnych od czasu różnicach faz wywołujących wychylenie cząstek od

położenia równowagi skierowane wzdłuż tej samej prostej.

nowa amplituda

zależna od różnicy faz

dwóch fal składowych

Interferencja fal

Interferencja fal

Wykład

Wykład

4

4

(

)

1

sin

A

y

y

kx

t

w j

=

-

-

(

)

2

sin

A

y

y

kx

t

w

=

-

1

sin

A

y

y

k x

t

k

j

w

�

�

�

�

=

-

-

�

�

�

�

�

�

�

�

w porównaniu z falą 2 fala 1 jest przesunięta wzdłuż

osi x o /k

w ustalonym punkcie przestrzeni fale 1 i 2 wywołują

drgania harmoniczne proste przesunięte w czasie o /

1

sin

A

y

y

kx

t

j

w

w

�

�

�

�

=

-

+

�

�

�

�

�

�

�

�

1

sin

A

y

y

k x

t

k

j

w

�

�

�

�

=

-

-

�

�

�

�

�

�

�

�

(

)

2

sin

A

y

y

kx

t

w

=

-

Interferencja fal

Interferencja fal

Wykład

Wykład

4

4

x

y

/k

Fale stojące

Fale stojące

Wykład

Wykład

4

4

(

)

2

sin

A

y

y

kx

t

w

=

+

(

)

1

sin

A

y

y

kx

t

w

=

-

2 sin cos

A

y

y

kx

t

w

=

amplituda zmienia się z

położeniem cząstki



amplituda jest ekstremalna dla:

3

3

,

,

,

,

2 2

4 4

kx

x

p

p

l

l

=

=

K

K

równanie fali stojącej

amplituda jest minimalna (zero) dla:

,2 ,

, ,

2

kx

x

l

p p

l

=

=

K

K

t=1/4T

t=3/4T

t=1/2T

1/4

1/2

3/4

Fale stojące

Fale stojące

Wykład

Wykład

4

4

/4

strzałka

węzeł

Obwiednia fali stojącej

/2

węzeł

węzeł

węzeł

węzeł

strzałka

strzałka

strzałka

Rezonans

Rezonans

Wykład

Wykład

4

4

v

M

v

l

w

r

=

=

Zjawisko rezonansu polega na tym, że gdy układ fizyczny zdolny

do wykonywania drgań pobudzany jest periodyczną serią impulsów o

częstości równej lub prawie równej częstości własnej układu to układ

ten zostaje wprawiony w drgania o dużej amplitudzie. Mówimy wtedy,

że układ znajduje się w rezonansie z przykładanymi impulsami.

impulsy

wymuszające

2

1,2,3,

2

l

l n

n

n

l

l

=

=

=

K

/2

sznur o długości l

częstość

moduł

sprężystości

prędkość

fazowa

gęstość

2

n M

l

w

r

=

Istnieje wiele częstości własnych

rozpatrywanego układu.

Jeżeli częstość wymuszająca jest

bliska jednej z częstości własnych

to sznur drga z tą częstością i

bardzo dużą amplitudą

Rezonans

Rezonans

Wykład

Wykład

4

4

2

2

0

1

2

r

b

w

w

=

-

2

n M

l

w

r

=

Drgający sznur - wiele częstości

rezonansowych.

Każdy element sznura ma zarówno

bezwładność jak i sprężystość.

O układach tego typu mówimy, że mają

elementy rozłożone.

W napiętym sznurze elementy podobne do

masy i sprężyny są rozłożone

równomiernie wzdłuż sznura. Istnieje wiele

sposobów wymiany pomiędzy kinetyczną i

potencjalną formą energii w czasie drgań,

odpowiednio do różnych dopuszczalnych

wartości parametru n.

Drgająca masa - jedna częstość

rezonansowa.

Bezwładność koncentruje się w jednym

elemencie układu – masie, a sprężystość

ma tylko drugi element – np. sprężyna.

O układach tego typu mówimy, że mają

elementy skupione.

Istnienie tylko jeden sposób wymiany

energii – energia kinetyczna związana

jest z ruchem masy a energia

potencjalna z deformacją sprężyny.

Fale dźwiękowe

Fale dźwiękowe

Wykład

Wykład

4

4

Fale dźwiękowe są podłużnymi falami mechanicznymi.

Mogą się rozchodzić w ciałach stałych, cieczach i gazach. Zakres

częstości mechanicznych fal podłużnych obejmuje zakres słyszalny

(20 Hz – 20000 Hz) oraz zakres infradźwiękowy (częstości niższe od

częstości słyszalnych) i zakres ultradźwiękowy (częstości wyższe od

częstości słyszalnych).

Fale słyszalna powstają w wyniku drgań strun, słupów powietrza oraz

płyt i membran. Wszystkie te elementy drgające na przemian

zgęszczają i rozrzedzają otaczający je ośrodek.

obszar słyszalności

I

 [Hz]

10

-1

10

-5

10

-9

10

-13

10

2

10

3

10

4

próg bólu

dolny próg słyszalności

Charakterystyki dźwięku

Charakterystyki dźwięku

Wykład

Wykład

4

4

Wysokość dźwięku – wielkość związana z częstotliwością drgań

źródła. Małym częstotliwościom odpowiadają dźwięki niskie a dużym

wysokie.

Natężenie dźwięku – wielkość związana z ilością energii

przenoszonej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni

ustawionej prostopadle do promienia fali. Natężenie jest

proporcjonalne do kwadratu amplitudy źródła.

Barwa dźwięku – wielkość związana ze złożonością fali dźwiękowej.

O barwie decydują: liczba składowych tonów harmonicznych i

stosunki ich natężeń.

Fale podłużne

Fale podłużne

Wykład

Wykład

4

4

Propagacja fali podłużnej polega na przemieszczaniu się zagęszczenia

ośrodka i dlatego wygodniej jest w tym przypadku zajmować się

zmianami ciśnienia a nie jak do tej pory chwilowymi

przemieszczeniami cząstek przenoszących falę.

V

p

B

V

D

D =-

odchylenie od ciśnienia niezaburzonego

moduł ściśliwości

względna zmiana objętości

strefa

zagęszczenia

p+p

A

( )

V A x

= D

objętość warstwy płynu

gdy wszystkie cząstki

znajdują się w położeniach

równowagi

( )

V A y

D = D

zmiana objętości warstwy płynu gdy

cząstki wychylą się z położenia

równowagi pod wpływem zmiany

ciśnienia

Fale podłużne

Fale podłużne

( )

( )

A y

y

p

B

B

A x

x

D

�

D =-

=-

D

�

Wykład

Wykład

4

4

Zakładamy, że wychylenie cząstki w obszarze zagęszczenia
można opisać za pomocą funkcji harmonicznej:

(

)

cos

A

y y

kx

t

w

=

-

(

)

sin

A

y

ky

kx

t

x

w

�

=-

-

�

(

)

sin

A

p Bky

kx

t

w

D =

-

amplituda ciśnienia

Falę podłużną można traktować jako falę przemieszczeń
albo jako falę ciśnieniową. Gdy pierwsza opisana jest
funkcję cosinus to drugą wyraża sinus i odwrotnie.

Dudnienia

Dudnienia

cos

cos

2cos

cos

2

2

A B

A B

A

B

-

+

+

=

Wykład

Wykład

4

4

Dudnienie powstaje w wyniku superpozycji fal, które przebiegają ten

sam obszar przestrzeni w jednym kierunku ale posiadają różne

częstości.

( )

( )

1

1

2

2

cos

cos

A

A

y

y

t

y

y

t

w

w

=

=

(

)

1

2

cos

cos

A

y y

t

t

w

w

=

+

1

2

1

2

2

cos

cos

2

2

A

y

y

t

t

w

w

w

w

-

+

�

� �

�

=

�

�

�

�

�

� �

�

częstość drgania

wypadkowego

amplituda

drgania

wypadkowego

Dudnienia a fale stojące

Dudnienia a fale stojące

1

2

1

2

2 cos

cos

2

2

A

y

y

t

t

w w

w w

-

+

�

� �

�

=

�

�

�

�

�

� �

�

2 sin cos

A

y

y

kx

t

w

=

Wykład

Wykład

4

4

Dudnienia – interferencja w czasie

Fale stojące – interferencja w przestrzeni

amplituda zmienia się w
czasie z częstością:

1

2

2

amp

w w

w

-

=

amplituda zmienia się z
położeniem cząstki

Zjawisko Dopplera

Zjawisko Dopplera

Wykład

Wykład

4

4

Doppler, w pracy z roku 1842

zwrócił uwagę na fakt, że barwa

świecącego ciała musi się zmienić z

powodu względnego ruchu ciała i

obserwatora.

Zjawisko to nazwane zjawiskiem

Dopplera występuje dla wszystkich

fal, w tym dla fali dźwiękowej.

Zjawisko Dopplera dotyczy rozbieżności między częstością fali wysyłanej i

odbieranej w przypadku gdy nadajnik i odbiornik (lub jeden z nich)

poruszają się względem ośrodka przenoszącego falę.

Christian Johann Doppler (1803 – 1853)

0

0

1

v v

v

v

v

w w

w

-

�

�

�

=

=

-

�

�

�

�

0

v v

w

l

-

�=

Zjawisko Dopplera

Zjawisko Dopplera

0

0

1

v v

v

v

v

w w

w

+

�

�

�

=

=

+

�

�

�

�

Wykład

Wykład

4

4

Rozpatrzymy przypadek gdy odbiorca fal dźwiękowych porusza się

wzdłuż prostej łączącej go ze źródłem.

0

v v

w

l

+

�=



v

0

v

Z

=0

x

y



v

w

l

=

dla obserwatora

w spoczynku

v

0



v

Z

=0

x

y



v

Z

v

0

=0

x

y

’

’’

Zjawisko Dopplera

Zjawisko Dopplera

Z

v

v

v v

w

w

l

�

�

�

= = �

�

�

-

�

�

Wykład

Wykład

4

4

Rozpatrzymy przypadek gdy źródło fal dźwiękowych porusza się

wzdłuż prostej łączącej je z obserwatorem.

Z

v v

l

w

-

�=

v

l

w

=

dla źródła w

spoczynku

v

Z

v

0

=0

x

y

’

’’

Z

v

v

v v

w

w

l

�

�

�= = �

�

�

+

�

�

Z

v v

l

w

+

�=

Zjawisko Dopplera

Zjawisko Dopplera

0

Z

v v

v

v v

w

w

l

�

�

+

�= = �

�

�

-

�

�

Wykład

Wykład

4

4

Rozpatrzymy przypadek gdy źródło i odbiorca fal dźwiękowych

poruszają się wzdłuż łączącej ich prostej.

0

Z

v v

v

v v

w

w

l

�

�

-

�= = �

�

�

+

�

�

v

Z

v

0

x

y

’

’

v

Z

x

y

’

’

v

0

Z

v v

l

w

-

�=

0

v v

w

l

+

�=

�

Z

v v

l

w

+

�=

0

v v

w

l

-

�=

�

Fale elektromagnetyczne

Fale elektromagnetyczne



Promieniowanie elektromagnetyczne

Promieniowanie elektromagnetyczne

•

Widmo promieniowania elektromagnetycznego

Widmo promieniowania elektromagnetycznego



Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej

Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej



Energia fali elektromagnetycznej

Energia fali elektromagnetycznej



Zjawisko polaryzacji

Zjawisko polaryzacji

•

Polaryzacja przez odbicie

Polaryzacja przez odbicie

•

Polaryzacja przy załamaniu

Polaryzacja przy załamaniu

•

Skręcenie płaszczyzny polaryzacji

Skręcenie płaszczyzny polaryzacji



Zjawiska optyczne

Zjawiska optyczne



Interferencja

Interferencja

•

Doświadczenie Younga

Doświadczenie Younga

•

Spójność światła

Spójność światła

•

Interferencja w cienkich warstwach

Interferencja w cienkich warstwach



Dyfrakcja

Dyfrakcja

•

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

•

Doświadczenie Younga

Doświadczenie Younga

•

Siatka dyfrakcyjna

Siatka dyfrakcyjna

Wykład 4

Wykład 4

Promieniowanie

Promieniowanie

elektromagnetyczne

elektromagnetyczne

Wykład 4

Wykład 4

Fala elektromagnetyczne rozchodzi się w przestrzeni jako zaburzenie w

postaci zmiennych pól elektrycznego i magnetycznego, wzajemnie do

siebie prostopadłych oraz prostopadłych do kierunku ich rozchodzenia

się.

Maxwell pokazał, że wiązka światła to rozchodząca się fala

elektromagnetyczna.

James Clerk Maxwell (1831 – 1879)

x

y

z

E

B

Widmo promieniowania

Widmo promieniowania

elektromagnetycznego

elektromagnetycznego

Wykład 4

Wykład 4

W widmie elektromagnetycznym nie ma przerw i wszystkie fale

elektromagnetyczne, niezależnie od tego, do jakiego zakresu widma

należą, rozchodzą się w próżni z tą samą prędkością c.

Rozchodzenie się fali

Rozchodzenie się fali

elektromagnetycznej

elektromagnetycznej

niezwykła fala

niezwykła fala

Wykład 4

Wykład 4

Fala elektro magnetyczna nie potrzebuje żadnego ośrodka aby się

rozchodzić.

x

y

z

E

B

natężenie pola elektrycznego zmienia się sinusoidalnie

pole elektryczne indukuje prostopadłe pole magnetyczne, którego indukcja zmienia się sinusoidalnie

pole magnetyczne indukuje prostopadłe pole elektryczne, którego indukcja zmienia się sinusoidalnie

i tak dalej

Rozchodzenie się fali

Rozchodzenie się fali

elektromagnetycznej

elektromagnetycznej

niezwykła fala

niezwykła fala

Wykład 4

Wykład 4

Powstanie fali elektromagnetycznej wymaga istnienia zmiennego ruchu

ładunków.

Fala, która już powstała, samej sobie zawdzięcza zdolność rozchodzenia

się w przestrzeni (warunek braku absorpcji) na nieskończone odległości i

w nieograniczonym czasie.

Fale świetlne mogą do nas dochodzić od gwiazd odległych o miliony lat

świetlnych po milionach lat od chwili ich wysłania.

Rozchodzenie się fali

Rozchodzenie się fali

elektromagnetycznej

elektromagnetycznej

Wykład 4

Wykład 4

x

y

z

E

B



czoło fali

c

(

)

(

)

sin

sin

A

A

E E

kx

t

B B

kx

t

w

w

=

-

=

-

A

A

E

c

B

=

Rozchodzenie się fali

Rozchodzenie się fali

elektromagnetycznej

elektromagnetycznej

zjawisko indukcji

zjawisko indukcji

Wykład 4

Wykład 4

Definicja: zmienny w czasie strumień indukcji magnetycznej wzbudza
wzdłuż przewodzącego obwodu zamkniętego pole

elektryczne o nie znikającym krążeniu.

Jeżeli strumień indukcji zmienia się w

czasie, to zawsze powstaje pole

elektryczne takie, że krążenie natężenia

tego pola wzdłuż krzywej zamkniętej jest

równe wziętej ze znakiem minus

szybkości zmian strumienia indukcji

magnetycznej przez powierzchnię

rozpiętą na tej krzywej – niezależnie od

tego czy pokrywa się ona z obwodem

przewodzącym, w którym popłynąłby

prąd, czy też nie.

B

E

E

E

Rozchodzenie się fali

Rozchodzenie się fali

elektromagnetycznej

elektromagnetycznej

indukowane pole elektryczne

indukowane pole elektryczne

Wykład 4

Wykład 4

(

)

Eds

E dE h Eh hdE

=

+

-

=

�

uv v

�

h

dx

x

y

z

B

E

E+dE

(

)

B

B

B hdx

d

dB

hdx

dt

dt

F =

F

=

dB

hdE

hdx

dt

=-

(

)

(

)

cos

cos

A

A

E

kE

kx

t

x

B

B

kx

t

t

w

w

w

�

=

-

�

�

=-

-

�

(

)

(

)

cos

cos

A

A

kE

kx

t

B

kx

t

w

w

w

-

=

-

A

A

E

c

B

k

w

= =

B

d

Eds

dt

F

=-

�

uv v

�

Prawo indukcji Faradaya

strumień

magnetyczny

dE

dB

dx

dt

=-

x

y

z

E

Rozchodzenie się fali

Rozchodzenie się fali

elektromagnetycznej

elektromagnetycznej

indukowane pole magnetyczne

indukowane pole magnetyczne

Wykład 4

Wykład 4

(

)

Bds

B dB h EB

hdB

=-

+

-

=-

�

uv v

�

(

)

E

E

E hdx

d

dE

hdx

dt

dt

F =

F

=

0 0

dB

hdB

hdx

dt

me

-

=

(

)

(

)

0 0

cos

cos

A

A

kB

kx

t

E

kx

t

w

me w

w

-

-

=-

-

(

)

0 0

0 0

1

1

/

A

A

E

B

k

c

me w

me

=

=

0 0

E

d

Bds

dt

me

F

=

�

uv v

�

Prawo indukcji Maxwella

strumień

elektryczny

0 0

dB

dE

dx

dt

me

-

=

B

B+dB

0 0

1

c

me

=

prędkość fali

elektromagnetycznej w

próżni (światła)

h

dx

Rozchodzenie się fali

Rozchodzenie się fali

elektromagnetycznej

elektromagnetycznej

właściwości pól

właściwości pól

Wykład 4

Wykład 4

1. Wektory E i B są zawsze prostopadłe do kierunku rozchodzenia się

fali, czyli fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną.

2. Wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do

wektora indukcji pola magnetycznego.

3. Iloczyn wektorowy E i B zawsze wyznacza kierunek rozchodzenia

się fali.

4. Natężenie pola elektrycznego i indukcja pola magnetycznego

zmieniają się zawsze sinusoidalnie. Wektory pól zmieniają się z
taką samą częstością a ich oscylacje są zgodne w fazie.

Energia fali elektromagnetycznej

Energia fali elektromagnetycznej

wektor Poyntinga

wektor Poyntinga

Wykład 4

Wykład 4

_

2

0

1

2

A

S

E

cm

=

[ ]

(

)

_

2

2

2

0

0

1

1

sin

A

sr

sr

S

E

E

kx

t

c

c

w

m

m

=

=

�

-

�

�

�

0

1

S

E B

m

=

�

uv

uv uv

0

1

S

EB

m

=

2

0

1

S

E

cm

=

E

B

c

=

John Henry Poynting (1852 – 1914)

Szybkość przepływu energii fali elektromagnetycznej
przez jednostkę powierzchni określa wektor Poyntinga:

Kierunek wektor S w każdym

punkcie jest kierunkiem

rozchodzenia się fali i kierunkiem

przepływu energii w tym punkcie.

chwilowa szybkość
przepływu energii

Średnia energia przenoszona w

określonym czasie:

średnia wartość sin

2

 po całym okresie jest

równa ½.

Zjawisko polaryzacji

Zjawisko polaryzacji

Wykład 4

Wykład 4

Fala elektromagnetyczna

wytworzona przez pojedyncze

źródło

Wektory E i k leżą w płaszczyźnie drgań wektora świetlnego.

Płaszczyzna do niej prostopadła jest płaszczyzną polaryzacji.

W rzeczywistości źródła światła składają się z wielu

pojedynczych źródeł fali elektromagnetycznej. Dzięki tej

mnogości, w promieniu świetlnym biegnącym w kierunku

k występują zmiany wektora E (i B) we wszystkich

kierunkach prostopadłych do wektora falowego k.

Jeżeli potrafimy zmiany wektora E

we wszystkich falach składowych

sprowadzić do jednej płaszczyzny,

zwierającej wektor k, to mówimy, że

światło jest spolaryzowane liniowo.

k

E

B

k

E

Zjawisko polaryzacji

Zjawisko polaryzacji

Wykład 4

Wykład 4

Gdy różnica faz obu składowych nie równa się 0 ani /2 otrzymujemy w wyniku złożenia

dwóch fal spolaryzowanych liniowo promieniowanie spolaryzowane eliptycznie.

Światło częściowo spolaryzowane

Światło spolaryzowane kołowo może powstać przy nakładaniu

się dwóch promieniowań spolaryzowanych liniowo

Polaryzacja przez odbicie

Polaryzacja przez odbicie

Wykład 4

Wykład 4







promień

niespolaryzowany

promień

częściowo

spolaryzowany

promień

częściowo

spolaryzowany



B





B



B

– kąt Brewstera

Brewster wykazał, że jeżeli promień odbity i

załamany tworzą kąt 90°, to promień odbity

jest całkowicie liniowo spolaryzowany.

Polaryzacja przez odbicie

Polaryzacja przez odbicie

prawo Brewstera

prawo Brewstera

(

)

sin

tan

sin 90

B

B

B

a

a

a

=

-

Wykład 4

Wykład 4

2

1

sin

sin

B

n

n

a

b

=

Całkowita polaryzacja podczas odbicia występuje przy takim kącie

padania, którego tangens równa się współczynnikowi załamania.



B





B

n

1

n

2

Zakładając, że n

1

=1, możemy powiedzieć, że:

Co stanowi treść prawa Brewstera.

David Brewster (1781 – 1868)

Polaryzacja przez odbicie

Polaryzacja przez odbicie

padanie promienia

padanie promienia

spolaryzowanego

spolaryzowanego

Wykład 4

Wykład 4



B





B

Odbiciu ulega ta składowa promieniowania padającego, w której drgania

wektora świetlnego są prostopadłe do płaszczyzny padania.



B



Fakt ten można wykorzystać do analizy, czy promień padający na

płytkę jest spolaryzowany, czy też nie.

Polaryzacja przez odbicie

Polaryzacja przez odbicie

polaryzator - analizator

polaryzator - analizator

Wykład 4

Wykład 4



B



B



B

Płaszczyzny padania polaryzatora i

analizatora są do siebie równoległe.

Płaszczyzny padania analizatora jest prostopadła

do płaszczyzny padania polaryzatora.

Drgania wektora E

odbywają się w

płaszczyźnie prostopadłej

do płaszczyzny padania

Drgania wektora E

odbywają się w

płaszczyźnie padania

Polaryzacja przy załamaniu

Polaryzacja przy załamaniu

ośrodek izotropowy

ośrodek izotropowy

Wykład 4

Wykład 4





B

promień

częściowo

spolaryzowany

Stopień polaryzacji światła częściowo spolaryzowanego:

||

||

I

I

P

I

I

^

^

-

=

+



B

Stos kilkunastu płytek szklanych przepuszcza światło

całkowicie liniowo spolaryzowane o drganiach wektora

świetlnego w płaszczyźnie padania. Natężenie tego

światła jest większe od natężenia światła

spolaryzowanego przez odbicie.

Polaryzacja przy załamaniu

Polaryzacja przy załamaniu

ośrodek anizotropowy

ośrodek anizotropowy

Wykład 4

Wykład 4

W ośrodku optycznie anizotropowym prędkość światła, a więc i

współczynnik załamania zależą od kierunku rozchodzenia się światła w

ośrodku.

Kryształy, z wyjątkiem tych należących do układu regularnego, są

anizotropowe optycznie.

Ciała stałe mogą być anizotropowe, ze względu na wiele własności:

1. sześcienny kryształ grafitu ma różny opór elektryczny między

poszczególnymi parami przeciwległych ścian;

2. sześcian z krystalicznego niklu łatwiej magnesuje się w pewnych

kierunkach niż w innych.

Polaryzacja przy załamaniu

Polaryzacja przy załamaniu

dwójłomność

dwójłomność

Wykład 4

Wykład 4

Przy przejściu światła przez ośrodek anizotropowy optycznie powstają

na ogół dwie wiązki załamane i mówimy o zjawisku podwójnego

załamania (dwójłomność).

CaCO

3

- kalcyt

78 78

102

oś optyczna

Oś optyczna – kierunek, w którym promienie

przechodzą przez kryształ bez podwójnego

załamania, czyli dla tego kierunku kryształ

ma tylko jeden współczynnik załamania.

oś optyczna

promień

zwyczajny

promień

nadzwyczajny

Polaryzacja przy załamaniu

Polaryzacja przy załamaniu

dwójłomność

dwójłomność

Wykład 4

Wykład 4

Promień zwyczajny przechodzi przez kryształ z tą samą prędkością v

0

we wszystkich kierunkach i stosuje się do prawa załamania

obowiązującego w ośrodkach izotropowych.

Promień nadzwyczajny przechodzi przez kryształ z prędkością

zmieniającą się wraz z kierunkiem od wartości v

0

do pewnej wartości v

e

i posiada inne własności: nie leże na ogół w płaszczyźnie padania a jego

współczynnik załamania określa się jako stosunek prędkości światła w

próżni do prędkości rozchodzenia się promienia nadzwyczajnego w

danym kierunku w krysztale.

n

0

oraz n

e

noszą nazwę głównych współczynników załamania kryształu.

Miarą dwójłomności jest różnica n

e

oraz n

0

. Gdy ta różnica jest dodatnia

kryształ nazywamy optycznie dodatnim i odwrotnie.

Polaryzacja przy załamaniu

Polaryzacja przy załamaniu

powierzchnie falowe Huygensa

powierzchnie falowe Huygensa

Wykład 4

Wykład 4

o

ś

o

p

ty

cz

n

a

o

ś

o

p

ty

cz

n

a

0

0

e

e

Kryształ dodatni optycznie

Kryształ ujemny optycznie

kalcyt

Polaryzacja przy załamaniu

Polaryzacja przy załamaniu

powierzchnie falowe Huygensa

powierzchnie falowe Huygensa

Wykład 4

Wykład 4

Nie występuje żadne załamanie podwójne

ani różnica prędkości.

Nie występuje

załamanie

podwójne ale

pojawia się różnica

prędkości.

Występuje załamanie podwójne i różnica

prędkości.

Skręcenie płaszczyzny

Skręcenie płaszczyzny

polaryzacji

polaryzacji

dwójłomność kołowa

dwójłomność kołowa

Wykład 4

Wykład 4

Ciała optycznie czynne posiadają zdolność skręcania płaszczyzny

polaryzacji przy przechodzeniu przez nie światła spolaryzowanego

liniowo.

Do skręcenia płaszczyzny polaryzacji prowadzi zjawisko dwójłomności

kołowej, polegające na rozdzieleniu wiązki spolaryzowanej liniowo na

dwie składowe spolaryzowane kołowo: prawoskrętnie i lewoskrętnie.

x

y

Wiązka

spolaryzowana

liniowo

x

x

y

y

Wiązka spolaryzowana

kołowo lewoskrętnie

Wiązka spolaryzowana

kołowo prawoskrętnie

Składowe te rozchodzą się z różnymi prędkościami, w

wyniku czego wytwarza się między nimi różnica faz.

x

y

Wiązka spolaryzowana

liniowo z inną

płaszczyzną polaryzacji

p

A

roztwór

cukru

Skręcenie płaszczyzny

Skręcenie płaszczyzny

polaryzacji

polaryzacji

kąt skręcenia

kąt skręcenia

Wykład 4

Wykład 4

Do ciał optycznie czynnych należą niektóre ciała stałe (np. kwarc), ciecze,

gazy oraz roztwory (np. cukru).

Doświadczenia wykazały, że kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji w

danej temperaturze i dla danej długości fali jest dany wzorem:

0

cl

a a

=

stężenie roztworu

długość drogi promienia w roztworze

skręcalność właściwa – kąt skręcenia płaszczyzny

polaryzacji przez roztwór o stężeniu 1 kg/0.1 m

3

gdy

długość drogi promienia wynosi 0.1 m

Zjawiska optyczne

Zjawiska optyczne

Wykład 4

Wykład 4

Tęcza

Miraż

Tęcza

Tęcza

czyli słońce po deszczu

czyli słońce po deszczu

Wykład 4

Wykład 4

Miraż

Miraż

czyli gorący słoneczny dzień

czyli gorący słoneczny dzień

Wykład 4

Wykład 4

ciepłe powietrze

ciepłe powietrze

cieplejsze powietrze

cieplejsze powietrze

szybko

szybciej

s

1

s

2

/2

Interferencja

Interferencja

Wykład 4

Wykład 4

Zjawisko interferencji polega na nakładaniu się dwóch lub więcej

wiązek światła, w wyniku czego wiązki lokalnie wzmacniają się lub

osłabiają.

źródło 1

źródło 2



2

1

s

s l

-

=

2

1

0,1, 2, 3,

s

s n

n

l

-

=

=

K

+

=

s

1

s

2

źródło 1

źródło 2

+

=

2

1

2

s

s

l

-

=

(

)

2

1

2

1

2

0,1, 2, 3,

s

s

n

n

l

-

=

+

=

K

Interferencja

Interferencja

Wykład 4

Wykład 4

Interferencja konstruktywna

Doświadczenie Younga

Doświadczenie Younga

Wykład 4

Wykład 4

Thomas Young (1773 – 1829)

Young wykazał doświadczalnie, że światło jest falą.

Doświadczenie Younga

Doświadczenie Younga

spójność promieniowania

spójność promieniowania

Wykład 4

Wykład 4

Spójność lub inaczej koherencja fal wymaga ciągłości własności

falowych warunkującej możliwość obserwacji interferencji.

s

1

s

2

=s

1

s

1

s

1

s

2

=s

1

+

s

2

=s

1

+/2

Interferencję światła obserwujemy wtedy, gdy w miejscu obserwacji

utrzymuje się przez dostatecznie długi czas w porównaniu z okresem

fali stała różnica faz nakładających się fal.

O takich falach mówimy, że są spójne.

Spójność światła

Spójność światła

Wykład 4

Wykład 4

wiązka niespójna

wiązka spójna

laser

Doświadczenie Younga

Doświadczenie Younga

położenie prążków

położenie prążków

interferencyjnych

interferencyjnych

Wykład 4

Wykład 4

y

d





sin

d

q

0,1, 2, 3,

m=

K

L

tan

y L

q

=

sin

d

m

q

l

=

wzmocnienie

(

)

sin

2

1

2

d

m

l

q =

+

wygaszenie

t

Doświadczenie Younga

Doświadczenie Younga

natężenie światła w obrazie

natężenie światła w obrazie

interferencyjnym

interferencyjnym

Wykład 4

Wykład 4

(

)

2

sin

A

E

E

t

w j

=

+

(

)

2

cos

2 cos

2

A

A

E

E

E

j

b

=

=

_

2

0

1

A

S I

E

cm

= =

2

j

b b

j

b

= +

=

1

sin

A

E E

t

w

=



E

1

E

2



E

A

E

A





E

Natężeniem fali nazywamy średnią energię

przenoszoną w określonym czasie – wektor Poyntinga.

amplituda

fali

wypadkowej

2

2

0

4

cos

2

A

I

E

c

j

m

=

2

sin

d

p

j

q

l

=

różnica dróg

Interferencja w cienkich

Interferencja w cienkich

warstwach

warstwach

Wykład 4

Wykład 4

n

powietrze

n

l

l �=

Interferencja w cienkich

Interferencja w cienkich

warstwach

warstwach

zmiana fazy przy odbiciu

zmiana fazy przy odbiciu

Wykład 4

Wykład 4

n

powietrze

Zmiana fazy o 180°

zmiana fazy

o 180°

bez zmiany

fazy

Interferencja w cienkich

Interferencja w cienkich

warstwach

warstwach

warunki interferencji

warunki interferencji

Wykład 4

Wykład 4

n

powietrze

r

1

r

2

p

d

’

Wzmocnienie występuje gdy promienie 1 i

2 są zgodne w fazie:

(

)

2

2

1

2

d

m

l �

=

+

Wygaszenie występuje gdy promienie 1 i

2 są w fazach przeciwnych:

2d ml �

=

0,1, 2, 3,

m=

K

n

l

l �

=

1

2

2

m

n

d

m

n

l

l

�

�

+

�

�

�

�

=

maksima

jasna warstwa w

powietrzu

minima

ciemna warstwa

w powietrzu

n

Interferencja w cienkich

Interferencja w cienkich

warstwach

warstwach

warstwa mydła

warstwa mydła

Wykład 4

Wykład 4

r

1

r

2

d

promień 2 doświadcza zmiany

fazy czyli przesunięcia o /2

1

2

2

m

d

m

l

l

�

�

+

�

�

=�

�

maksima

minima

n

p

= 1

szkło

powietrze

szkło

Interferencja w cienkich

Interferencja w cienkich

warstwach

warstwach

krążki Newtona

krążki Newtona

Wykład 4

Wykład 4

d

R

r

1

2

0,1, 2,

2

d

m

m

l

�

�

=

+

=

�

�

�

�

K

2

2

R

r

-

1/2

2

2

2

1

r

d R

R

r

R R

R

�

�

� �

= -

-

= -

-

�

�

� �

� �

�

�

�

�

2

2

1

1

2

2

r

r

d R R

R

R

�

�

� �

= -

-

+

@

�

�

� �

� �

�

�

�

�

L

Po rozwinięciu zgodnie z twierdzeniem o kwadracie

dwumianu przy założeniu r/R << 1

Interferencja w cienkich

Interferencja w cienkich

warstwach

warstwach

krążki Newtona

krążki Newtona

Wykład 4

Wykład 4

2

1

2

2

2

r

m

R

l

�

�

=

+

�

�

�

�

1

2

r

m

R

l

�

�

=

+

�

�

�

�

Interferencja w cienkich

Interferencja w cienkich

warstwach

warstwach

pawie pióra

pawie pióra

Wykład 4

Wykład 4

Efekt interferencji światła odbitego od złożonej

powierzchni warstwowej.

Jeżeli fala napotyka na swej drodze przeszkodę, w której znajduje się

otwór o rozmiarach zbliżonych do długości fali, to ta część fali która

przechodzi przez otwór będzie ulegać ugięciu (dyfrakcji) i będzie się

rozprzestrzeniać w całym obszarze poza przeszkodą.

Dyfrakcja

Dyfrakcja

Wykład 4

Wykład 4



a=



a=3



a=5

Dyfrakcja stanowi ograniczenie optyki geometrycznej, w której falę

elektromagnetyczną przedstawiamy jako promień świetlny.

Zjawisko dyfrakcji to więcej niż tylko rozprzestrzenianie się światła. W

wyniku dyfrakcji powstaje złożony z prążków obraz interferencyjny,

zwany obrazem dyfrakcyjnym.

Dyfrakcja na pojedynczej

Dyfrakcja na pojedynczej

szczelinie

szczelinie

Wykład 4

Wykład 4



S

n

S

2

S

1

d



Powstaje n źródeł zgodnych w

fazie.

x

y

Dyfrakcja na pojedynczej

Dyfrakcja na pojedynczej

szczelinie

szczelinie

interferencja fal z wielu źródeł

interferencja fal z wielu źródeł

Wykład 4

Wykład 4

S

n

S

2

S

1

d



r

n

r

2

r

1

(

)

(

)

(

)

1

2

cos

cos

cos

1

A

A

n

A

E

E

t

E

E

t

E

E

t

n

w

w j

w

j

=

=

+

=

+ -

M

2

sin

d

p

j

q

l

=

różnica faz między dwoma sąsiednimi źródłami

1

2

n

E E E

E

= + + +

L

E

A



E

A



E

A



E

A



E

A

r



n/2

(

)

(

)

sin

/2

sin /2

w

A

n

E

E

j

j

=

2

0

1

w

I

E

cm

=

(

)

(

)

2

2

2

0

sin

/2

sin

/2

A

n

E

I

c

j

m

j

=

0

0

d

n

j

��

��

(

)

(

)

2

2

0

sin /2

/2

A

E

I

c

j

m

j

�

�

=

�

�

�

�

�

�

2 sin

2

2 sin

2

A

w

E

r

n

E

r

j

j

=

=

Dyfrakcja na pojedynczej

Dyfrakcja na pojedynczej

szczelinie

szczelinie

Wykład 4

Wykład 4

a/2



a/2

D





sin

2

2

a

l

q =

sin

a

q l

=

położenie

pierwszego

minimum

sin

2

a

q

l

=

położenie drugiego minimum

Dyfrakcja na pojedynczej

Dyfrakcja na pojedynczej

szczelinie

szczelinie

sin

4

2

a

l

q =

Wykład 4

Wykład 4



D

sin

a

q l

=

położenie

pierwszego

minimum







a/4

a/4

a/4

a/4

sin

1, 2, 3,

a

m

m

q

l

=

=

K

W doświadczeniu nad dyfrakcją na

pojedynczej szczelinie ciemne prążki

powstają tam, gdzie różnica dróg między

skrajnymi promieniami wychodzącymi ze

szczeliny jest równa całkowitej

wielokrotności długości fali użytego

światła.

Dyfrakcja na pojedynczej

Dyfrakcja na pojedynczej

szczelinie

szczelinie

sin

1, 2, 3,

m

m

a

l

q =

=

K

Wykład 4

Wykład 4

1. Kąt ugięcia zależy od długości fali – ze wzrostem długości fali kąt

ugięcia rośnie, a ze wzrostem kąta ugięcia rośnie odległość
badanego prążka od prążka centralnego.

2. Kąt ugięcia zależy od szerokości szczeliny.

sin

1

1

a

m

m

l

q

=

=

=

1

5

sin

1, 2, 3, 4, 5.

5

a

m

m

l

q

=

=

=

Dyfrakcja światła nie ogranicza się tylko do sytuacji, kiedy światło

przechodzi przez wąskie szczeliny. Dochodzi do niej również na

krawędziach nieprzezroczystych przesłon, takich jak krawędzie żyletki.

Dyfrakcja

Dyfrakcja

Wykład 4

Wykład 4

(

)

(

)

2

2

0

sin

/2

cos

/2

2

d

i

d

I I

j

j

j

�

�

= �

�

�

�

�

�







5

5

10

10

20

Doświadczenie Younga

Doświadczenie Younga

Wykład 4

Wykład 4

Założenie – szczeliny wąskie w

porównaniu z długością fali,

czyli centralne maksimum

dyfrakcyjne każdej szczeliny

pokrywa cały ekran.

2

0

cos

2

i

I I

j

=

(

)

(

)

2

0

sin

/2

/2

d

d

I I

j

j

�

�

= �

�

�

�

�

�

2

sin

i

d

p

j

q

l

=

2

sin

d

a

p

j

q

l

=

Doświadczenie Younga

Doświadczenie Younga

Wykład 4

Wykład 4

a=

a=5

a=10

Siatka dyfrakcyjna

Siatka dyfrakcyjna

Wykład 4

Wykład 4

Siatka dyfrakcyjna jest to zbiór równoległych do siebie szczelin

przepuszczających światło, rozmieszczonych w jednakowych odstępach.



d



f

Dobre siatki mają do 2000 rys

szczelin na milimetrze.

Każda szczelina z osobna daje obraz dyfrakcyjny.

Wszystkie szczeliny działając łącznie dają wspólny

obraz interferencyjny.

sin

0,1, 2,

d

m

m

q

l

=

=

m=0

m=1

m=2

m=3

nie monochromatyczna wiązka padająca

Siatka dyfrakcyjna

Siatka dyfrakcyjna

Wykład 4

Wykład 4

Siatki dyfrakcyjne są powszechnie używane do wyznaczania długości fali

światła przez różne źródła, od lamp po gwiazdy.

Dyfrakcja –

Dyfrakcja –

metoda

metoda

określania

określania

struktur

struktur

krystalicznych

krystalicznych



Zjawisko dyfrakcji - rozpraszanie

Zjawisko dyfrakcji - rozpraszanie

•

Rozpraszanie na atomie

Rozpraszanie na atomie

•

Rozpraszanie na krysztale

Rozpraszanie na krysztale



Prawo Bragga

Prawo Bragga

•

Warunek dyfrakcji a prawo Bragga

Warunek dyfrakcji a prawo Bragga



Rozpraszanie promieni X

Rozpraszanie promieni X

•

Określanie struktur powierzchniowych

Określanie struktur powierzchniowych



Rozpraszanie cząstek

Rozpraszanie cząstek

•

Rozpraszanie neutronów

Rozpraszanie neutronów

•

Rozpraszanie elektronów

Rozpraszanie elektronów

Wykład 4

Wykład 4

Zjawisko dyfrakcji

Zjawisko dyfrakcji

Wykład 4

Wykład 4

Strukturę krystaliczną bada się wykorzystując zjawisko dyfrakcji fotonów,

neutronów lub elektronów Jeżeli długość fali po dyfrakcji pozostaje nie

zmieniona to mówimy o rozpraszaniu elastycznym.

Wielkość kąta, pod którym fala ugina się na krysztale zależy głównie od

struktury krystalicznej i od długości fali padającej.

Proces rozpraszania na krysztale może być, w

naturalny sposób podzielony na dwa etapy:

- rozpraszanie na poszczególnych atomach

- interferencja pomiędzy falami rozproszonymi.

Rozpraszanie na atomie

Rozpraszanie na atomie

jeden elektron

jeden elektron

Wykład 4

Wykład 4

Każdy atom posiada elektrony, które absorbują energię

padającej fali a następnie wypromieniowują ją we wszystkich

kierunkach w postaci fali kulistej.

(

)

0

exp

u A

i k r

t

w

�

�

=

� -

�

�

uu

v v

(

)

exp

e

A

u

fi

kD

t

D

w

�

=

-

�

�

�

�

Dlaczego atom rozprasza padającą na niego fale elektromagnetyczną?

amplituda fali

padającej

wektor falowy – k

0

= 2/

częstość kątowa

długość rozpraszania

elektronu

odległość od

centrom

rozpraszającego

liczba falowa fali

rozproszonej

Rozpraszanie na atomie

Rozpraszanie na atomie

dwa elektrony

dwa elektrony

Wykład 4

Wykład 4

Elektrony formują wokół jądra atomowego chmurę elektronową, tak że rozpatrując

rozpraszanie na atomie należy wziąć pod uwagę różnice faz pomiędzy falami

pochodzącymi od różnych rejonów chmury elektronowej.

(

)

(

)

1 exp

exp

e

A

u

fi

s r

ikD

D

�

�

�

=

+

�

�

�

v v

( )

(

)

exp

exp

e

A

u

fi

kD

i kD

D

d

�

=

+

+

�

�

�

�

2

k

k

0

s

opóźnienie fazowe fali od

elektronu 1 w stosunku do

elektronu 2

S

0

S

1

2

N

(

)

(

)

0

2

1

2

N

N

r S r S k s r

p

d

l

=

-

= � - �

= �

v uv v uuv

v v

(

)

0

0

s k S S

k k

=

-

= -

v

uv uu

v

v uu

v

2 sin

s

k

q

=

wektor określający pozycję elektronu 2 względem elektronu 1

znajdującego się w początku układu współrzędnych

Rozpraszanie na atomie

Rozpraszanie na atomie

dowolna ilość elektronów

dowolna ilość elektronów

Wykład 4

Wykład 4

Wybierzmy teraz początek układu współrzędnych w dowolnym punkcie przestrzeni.

(

)

(

)

(

)

1

2

exp

exp

exp

e

A

u

fi

s r

is r

ikD

D

�

�

�

=

� +

�

�

�

v uv

v uv

(

)

(

)

exp

exp

e

l

l

A

u

fi

kD

is r

D

�

=

�

�

v uv

(

)

2

2

2

exp

e

l

l

I

ff

is r

@

=

�

�

v uv

(

)

exp

e

l

l

ff

is r

=

�

�

v uv

położenie l-tego elektronu

zdolność rozpraszająca układu l elektronów – amplituda rozpraszania

Natężenie fali rozproszonej w danym

kierunku jest proporcjonalne do kwadratu

amplitudy rozpraszania.

Rozpraszanie na atomie

Rozpraszanie na atomie

dowolna ilość elektronów

dowolna ilość elektronów

Wykład 4

Wykład 4

Co oznacza to równanie?

2

e

I

Nf

@

(

)

2

2

2

exp

e

l

l

I

ff

is r

@

=

�

�

v uv

2

1 cos 2

2

e

e

f

r

q

�

�

+

= �

�

�

�

Oznacza ono, że centra rozpraszające (elektrony) wykazują wzajemne zależności fazowe czyli

są układem z właściwością koherencji. Tylko wtedy możemy rozważać interferencję fal

rozproszonych na poszczególnych elektronach. Fale takie nazywamy falami parcjalnymi.

Gdyby centra rozpraszające drgały

przypadkowo, niekoherentnie, to fale

parcjalne nie mogłyby interferować i

natężenie fali rozproszonej przez układ

byłoby prostą sumą natężeń parcjalnych.

ilość centrów

rozpraszających

klasyczny promień

elektronu 10

-15

m

Długość rozpraszania elektronu wyraża się

wzorem, którego wyprowadzenie pochodzi z

elektromagnetyzmu:

Rozpraszanie na atomie

Rozpraszanie na atomie

Wykład 4

Wykład 4

Zauważmy, że elektrony w atomie nie maję ściśle określonych pozycji tworząc

chmurę elektronową w całej objętości atomu ze stałem rozkładem ładunku.

Tak więc przechodząc do rozpraszania przez pojedynczy atom, należy zamienić

sumą fal parcjalnych na całkę.

(

)

( )

(

)

3

exp

exp

e

l

A

u

fi

kD

d r

r

is r

D

r

�

=

�

�

v

v u

v

(

)

( ) (

)

3

exp

exp

e

l

e

l

l

fi

s r

f

r

is r d r

r

� �

�

�

�

v uv

v

v uv

gęstość elektronowa – ilość

elektronów na jednostkę objętości

czynnik rozpraszania atomowego

Jeżeli przyjąć, że gęstość elektronowa ma

symetrię sferyczną to całkowanie po części

radialnej objętości może być łatwo wykonane:

( )

2

0

sin

4

R

a

sr

f

r

r

dr

sr

p r

=

�

Rozpraszanie na atomie

Rozpraszanie na atomie

Wykład 4

Wykład 4

( )

2

0

4

R

a

f

r

r dr

p r

=

�

( )

2

0

sin

4

R

a

sr

f

r

r

dr

sr

p r

=

�

promień atomu

Czynnik rozpraszania atomowego zależy od kata rozpraszania s = 2k sin

. Długość fali oscylacji

jest odwrotnie proporcjonalna do s co oznacza, że im szybsze oscylacje (mniejsza długość fali)

tym mniejszy czynnik rozpraszania atomowego ze względu na interferencję pomiędzy falami

parcjalnymi powstającymi w wyniku rozpraszania w różnych rejonach chmury elektronowej.

czynnik oscylacyjny

2 sin

s

k

q

=

Jeżeli wzrasta kąt rozpraszania

2

, czyli wzrasta s, to czynnik

rozpraszania maleje.

Łatwo jest policzyć czynnik rozpraszania dla kierunku „do

przodu” (

 = 0, s = 0):

(

)

0

a

f

Z

q = =

ilość elektronów w

atomie - liczba atomowa

W kierunku do przodu wszystkie fale parcjalne są

w fazie i interferują konstruktywnie.

Rozpraszanie na krysztale

Rozpraszanie na krysztale

Wykład 4

Wykład 4

(

)

exp

aj

j

j

F

fi

s d

=

�

�

v uu

v

(

)

exp

kr

l

l

fi

s r

=

�

�

v uv

(

)

exp

k

l

l

S

is R

=

�

�

uuv

v

Czynnik rozpraszania kryształu można zdefiniować przez analogię do czynnika atomowego

sumując po wszystkich elektronach kryształu.

(

)

exp

kr

al

l

l

ff

is R

=

�

�

v uu

v

Sumowanie można przeprowadzić w dwóch etapach: sumowanie po wszystkich

elektronach atomu + sumowanie po atomach tworzących kryształ. Pierwsze sumowanie

prowadzi do czynnika rozpraszania atomowego.

położenie l-ego atomu

sumowanie po

wszystkich atomach

komórki elementarnej

Geometryczny czynnik strukturalny

względne położenie j-ego

atomu w komórce

Sieciowy czynnik strukturalny

sumowanie po wszystkich

komórkach elementarnych

położenie l-ej

komórki w krysztale

Rozpraszanie na krysztale

Rozpraszanie na krysztale

Wykład 4

Wykład 4

kr

f

F S

=

Nastąpiła separacja własności czysto strukturalnych sieci (S) i własności

atomowych związanych ze zdolnościami rozproszeniowymi (F).

Wielkość zależna od kształtu

geometrycznego i od zawartości komórki
elementarnej. W szczególnym przypadku

komórki prostej, czyli zawierającej jeden

atom czynnik geometryczny jest równy

czynnikowi rozpraszania atomowego.

Wielkość zależna tylko od struktury

krystalograficznej.

Prawo Bragga

Prawo Bragga

Wykład 4

Wykład 4

2 sin

d

n

q

l

=

2

AB BC AC

AB AC

�

�

D=

+

-

=

-

sin

2

cos

cos

tan

d

AB

d

AC

AC

q

q

q

q

=

�=

=

,

1,2,3, ,

n

n

l

D=

=

K

Model Bragga

Fale padające na kryształ ulegają odbici zwierciadlanemu od równoległych

płaszczyzn atomowych kryształu, z tym, że każda płaszczyzna odbija jedynie małą

część promieniowania. Wiązki ugięte występują tylko wtedy gdy odbicia od

równoległych płaszczyzn atomowych dają interferencję konstruktywną.





d

A

B

C

C`

Interferencja jest konstruktywna tylko

wtedy gdy różnica dróg przebytych przez

dwa sąsiednie promienie jest całkowitą

wielokrotnością długości fali.

Kąty, które wyznacza to

równanie są jedynymi

kątami pod którymi

obserwujemy odbicie.

Prawo Bragga wypływa z
ogólnych rozważań teorii

rozpraszania, czyli uzasadnione

jest używanie modelu Bragga i

mówienie o odbiciu od

płaszczyzn atomowych.

Rozpraszanie promieni X

Rozpraszanie promieni X

Wykład 4

Wykład 4

2

sin

hkl

d

q l

=

Długość fali promieniowania X jest

rzędu wielkości stałych sieci

kryształów i dlatego promieniowanie

to znalazło zastosowanie w analizie

strukturalnej.

około 1Å

elektrony

pierwotna wiązka

promieni X

układ

skupiający

(100)

(111)

(200)

Rozpraszanie cząstek

Rozpraszanie cząstek

Wykład 4

Wykład 4

2

2

p

h

h

E

m

p mv

l

=

= =

h

h

E h

p

k

c

n

n

w

l

=

=

=

= =

h

h

De Broglie założył, że powyższe równania dotyczą również cząstek.

Einstein założył, że promieniowanie elektromagnetyczne składa się z fotonów.

2

2

h

k

p

p

l

=

=

h

Rozpraszanie neutronów

Rozpraszanie neutronów

Wykład 4

Wykład 4

Mechanizm rozpraszania neutronów jest związany z ich oddziaływaniem z jądrami

atomów tworzących kryształ. Neutrony nie oddziałują z elektronami jako cząstki

elektrycznie obojętne.

0.28

E

l =

Szczegóły rozpraszania neutronów są identyczne jak w przypadku teorii

rozpraszania promieniowania X. Różnica polega na wprowadzeniu długości

rozpraszania neutronów w miejsce długości rozpraszania elektronów.

długość fali ~1Å

energia ~0.08eV

Rozpraszanie neutronów

Rozpraszanie neutronów

Wykład 4

Wykład 4

Korzyści wynikające z zastosowania neutronów do badania struktur

krystalicznych:

1. Możliwość lepszej obserwacji lekkich atomów – atomy takie posiadają mało

elektronów przez co słabo uczestniczą w rozpraszaniu promieni X.

2. W obrazie dyfrakcyjnym neutronów rozróżnia się izotopy.

3. Dyfrakcja neutronów niesie informację na temat materiałów magnetycznych;

neutrony posiadając własny moment magnetyczny „odczuwają” pole

magnetyczne generowane przez elektrony materiałów magnetycznych.

4. Technika rozpraszania neutronów pozwala w sposób efektywniejszy badać

drgania sieci krystalicznej.

Problemy:

1. Konieczność wykorzystania reaktora jądrowego.

2. Kłopoty z detekcją elektrycznie obojętnych neutronów.

Rozpraszanie elektronów

Rozpraszanie elektronów

Wykład 4

Wykład 4

Mechanizm rozpraszania elektronów jest związany z ich oddziaływaniem z polem

elektrycznym atomów tworzących kryształ. Pole jest produkowane zarówno przez

jądra jak i przez elektrony. Pole to jest duże w pobliżu jąder i szybko maleje z

odległością gdzie jądro jest ekranowane przez elektrony orbitalne.

12.26

E

l =

Długość rozpraszania związana z rozpraszaniem elektronu przez atom jest duża,

co oznacza że elektrony są silnie rozpraszane czyli słabo wnikają do wnętrza

próbki. Na przykład dla E=50eV głębokość wnikania równa jest ok. 50Å – badanie

rejonu powierzchniowego.

długość fali ~1Å

energia ~150eV